विस्तृत हल

विस्तृत हल: CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 1

प्रश्न पत्र के सभी लिखित प्रश्न (2, 3, 4 और 5 अंक) यहाँ क्रम से हल किए गए हैं, हर चरण के अंकों के साथ, ताकि आप अपनी उत्तर पुस्तिका परीक्षक की तरह जाँच सकें। जहाँ आंतरिक विकल्प (अथवा) है, वहाँ दोनों विकल्प हल किए गए हैं। 1 अंक वाले प्रश्नों के उत्तर व्याख्या सहित प्रश्न पत्र वाले पृष्ठ की क्विज़ में हैं।

खंड ख (10 अंक)

प्रश्न 21 (2 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $5 - 2\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

1. माना $5 - 2\sqrt{3} = r$, एक परिमेय संख्या है; तब $\sqrt{3} = \frac{5 - r}{2}$ — 1 अंक
2. दायाँ पक्ष परिमेय है, जबकि $\sqrt{3}$ अपरिमेय है - यह विरोधाभास है; अतः $5 - 2\sqrt{3}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 22 (2 अंक)

$\triangle PQR$ में $S$ और $T$ क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $ST \parallel QR$ है। यदि $PS = x$ cm, $SQ = (x - 2)$ cm, $PT = (x + 2)$ cm और $TR = (x - 1)$ cm है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $\frac{x}{x - 2} = \frac{x + 2}{x - 1}$ — 1 अंक
2. $x^2 - x = x^2 - 4$, अतः $x = 4$ — 1 अंक

प्रश्न 23 (2 अंक)

$y$ के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए बिंदुओं $P(1, 2)$ और $Q(4, y)$ के बीच की दूरी 5 मात्रक है।

उत्तर।

1. $(4 - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25$, अतः $(y - 2)^2 = 16$ — 1 अंक
2. $y - 2 = \pm 4$, अतः $y = 6$ या $y = -2$ — 1 अंक

प्रश्न 24 (2 अंक)

मान ज्ञात कीजिए: $(\sin^2 30^\circ + 4\cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ)(\text{cosec}^2 45^\circ \sec^2 30^\circ)$

उत्तर।

1. $= \left(\frac{1}{4} + 4 - 4\right)\left(2 \times \frac{4}{3}\right)$ — 1 अंक
2. $= \frac{1}{4} \times \frac{8}{3} = \frac{2}{3}$ — 1 अंक

अथवा

यदि $\sin(A - B) = \frac{1}{2}$ और $\cos(A + B) = 0$ है, जहाँ $0^\circ < A + B \leq 90^\circ$ तथा $A > B$ है, तो $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $A - B = 30^\circ$ और $A + B = 90^\circ$ — 1 अंक
2. जोड़ने पर $A = 60^\circ$; तब $B = 30^\circ$ — 1 अंक

प्रश्न 25 (2 अंक)

एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $\angle PAB = 50^\circ$ है, तो $\angle AOB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $PA = PB$, अतः $\angle PBA = \angle PAB = 50^\circ$ और $\angle APB = 80^\circ$ — 1 अंक
2. चतुर्भुज $OAPB$ में $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$, अतः $\angle AOB = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$ — 1 अंक

अथवा

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 13 cm और 5 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

उत्तर।

1. स्पर्श बिंदु पर छोटे वृत्त की त्रिज्या जीवा पर लंब होती है और उसे समद्विभाजित करती है; आधी जीवा $= \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$ cm — 1 अंक
2. जीवा $= 2 \times 12 = 24$ cm — 1 अंक

खंड ग (18 अंक)

प्रश्न 26 (3 अंक)

कक्षा 10 के विद्यार्थी 120 m, 168 m और 240 m लंबे तीन सीधे रास्तों के किनारे पौधे लगा रहे हैं। प्रत्येक रास्ते पर पौधे बराबर दूरी पर लगाए जाते हैं, रास्ते के दोनों सिरों पर एक-एक पौधा लगाया जाता है, और दो क्रमागत पौधों के बीच की दूरी तीनों रास्तों पर समान है। दो क्रमागत पौधों के बीच की अधिकतम संभव दूरी क्या है? कुल कितने पौधों की आवश्यकता होगी?

उत्तर।

1. $120 = 2^3 \times 3 \times 5$, $168 = 2^3 \times 3 \times 7$, $240 = 2^4 \times 3 \times 5$ — 1 अंक
2. अधिकतम दूरी = HCF $= 2^3 \times 3 = 24$ m — 1 अंक
3. पौधे $= \left(\frac{120}{24} + 1\right) + \left(\frac{168}{24} + 1\right) + \left(\frac{240}{24} + 1\right) = 6 + 8 + 11 = 25$ — 1 अंक

प्रश्न 27 (3 अंक)

वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें x-अक्ष बिंदुओं $A(3, -4)$ और $B(-2, 6)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना अनुपात $k : 1$ है; बिंदु $\left(\frac{-2k + 3}{k + 1}, \frac{6k - 4}{k + 1}\right)$ है — 1 अंक
2. x-अक्ष पर $6k - 4 = 0$, अतः $k = \frac{2}{3}$, अर्थात् अनुपात $2 : 3$ है — 1 अंक
3. $x = \frac{2(-2) + 3(3)}{5} = 1$; बिंदु $(1, 0)$ है — 1 अंक

प्रश्न 28 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए: $\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A} = \sin A + \cos A$

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \frac{\cos^2 A}{\cos A - \sin A} + \frac{\sin^2 A}{\sin A - \cos A}$ — 1 अंक
2. $= \frac{\cos^2 A - \sin^2 A}{\cos A - \sin A}$ — 1 अंक
3. $= \frac{(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)}{\cos A - \sin A} = \sin A + \cos A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\sec A - 1}{\sec A + 1} = \left(\frac{\sin A}{1 + \cos A}\right)^2$

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \frac{\frac{1}{\cos A} - 1}{\frac{1}{\cos A} + 1} = \frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}$ — 1 अंक
2. $= \frac{(1 - \cos A)(1 + \cos A)}{(1 + \cos A)^2} = \frac{1 - \cos^2 A}{(1 + \cos A)^2}$ — 1 अंक
3. $= \frac{\sin^2 A}{(1 + \cos A)^2} =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 29 (3 अंक)

$\triangle ABC$ के अंतर्गत एक वृत्त खींचा गया है, जो भुजाओं $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $F$, $D$ और $E$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 13$ cm, $BC = 14$ cm और $CA = 15$ cm है, तो $AF$, $BD$ और $CE$ की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: माना AF = AE = x, BF = BD = y, CD = CE = z — 1 अंक
2. x + y = 13, y + z = 14, z + x = 15; जोड़ने पर x + y + z = 21 — 1 अंक
3. x = 21 - 14 = 7, y = 21 - 15 = 6, z = 21 - 13 = 8 — 1 अंक

प्रश्न 30 (3 अंक)

14 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 14 \times 14 = 98 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 154 - 98 = 56 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

अथवा

एक गाय 21 m भुजा वाले एक वर्गाकार खेत के एक कोने पर लगे खूँटे से 14 m लंबी रस्सी से बँधी है। खेत के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें गाय घास चर सकती है। यदि रस्सी 21 m लंबी होती, तो चरने के क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होती? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. गाय 14 m त्रिज्या वाले एक चतुर्थांश में चरती है (कोने का कोण $90^\circ$ है) — 0.5 अंक
2. चरा गया क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \text{ m}^2$ — 1 अंक
3. 21 m रस्सी से: $\frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 346.5 \text{ m}^2$; वृद्धि $= 346.5 - 154 = 192.5 \text{ m}^2$ — 1.5 अंक

प्रश्न 31 (3 अंक)

एक डिब्बे में 50 कार्ड हैं, जिन पर संख्याएँ 3, 4, 5, …, 52 अंकित हैं। डिब्बे में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर अंकित संख्या (i) एक पूर्ण वर्ग है, (ii) 7 का एक गुणज है, (iii) 2 और 5 दोनों से विभाज्य है।

उत्तर।

1. (i) पूर्ण वर्ग: 4, 9, 16, 25, 36, 49; $P = \frac{6}{50} = \frac{3}{25}$ — 1 अंक
2. (ii) 7 के गुणज: 7, 14, …, 49 (7 संख्याएँ); $P = \frac{7}{50}$ — 1 अंक
3. (iii) 10 के गुणज: 10, 20, 30, 40, 50; $P = \frac{5}{50} = \frac{1}{10}$ — 1 अंक

खंड घ (20 अंक)

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक पार्किंग स्थल कार के लिए प्रति घंटा एक निश्चित शुल्क लेता है और स्कूटर के लिए प्रति घंटा एक अलग निश्चित शुल्क लेता है। राकेश ने अपनी कार 3 घंटे और अपना स्कूटर 5 घंटे पार्क किया तथा ₹ 190 का भुगतान किया। निशा ने अपनी कार 4 घंटे और अपना स्कूटर 2 घंटे पार्क किया तथा ₹ 160 का भुगतान किया। कार और स्कूटर के लिए प्रति घंटा शुल्क ज्ञात कीजिए। एक कार और एक स्कूटर को 6-6 घंटे पार्क करने पर कितना भुगतान करना होगा?

उत्तर।

1. माना प्रति घंटा शुल्क ₹ $x$ (कार) और ₹ $y$ (स्कूटर) है: $3x + 5y = 190$ और $4x + 2y = 160$ — 2 अंक
2. गुणा करने पर $6x + 10y = 380$ और $20x + 10y = 800$; घटाने पर $14x = 420$, अतः $x = 30$ — 1 अंक
3. $5y = 190 - 90 = 100$, अतः $y = 20$ — 1 अंक
4. 6-6 घंटे के लिए: $6(30 + 20) =$ ₹ 300 — 1 अंक

अथवा

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए: $x + y = 5$ और $2x - y = 4$। इन रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $x + y = 5$ के लिए मानों की सारणी: $(0, 5), (5, 0), (2, 3)$ — 1 अंक
2. $2x - y = 4$ के लिए मानों की सारणी: $(0, -4), (2, 0), (3, 2)$ — 1 अंक
3. एक ही ग्राफ पर दोनों रेखाएँ सही खींचना — 1 अंक
4. हल $x = 3$, $y = 2$; शीर्ष $(3, 2)$, $(5, 0)$ और $(2, 0)$ — 1 अंक
5. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 3 \times 2 = 3$ वर्ग मात्रक — 1 अंक

प्रश्न 33 (5 अंक)

एक दुकानदार ₹ 1200 में कुछ कॉपियाँ खरीदता है। यदि वह उसी राशि में 10 कॉपियाँ और खरीदता, तो प्रत्येक कॉपी का मूल्य ₹ 20 कम होता। उसके द्वारा खरीदी गई कॉपियों की संख्या और प्रत्येक कॉपी का मूल्य ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना कॉपियों की संख्या $x$ है; एक कॉपी का मूल्य $= \frac{1200}{x}$ — 1 अंक
2. $\frac{1200}{x} - \frac{1200}{x + 10} = 20$ — 1 अंक
3. $1200 \times 10 = 20x(x + 10)$, अर्थात् $x^2 + 10x - 600 = 0$ — 1 अंक
4. $(x + 30)(x - 20) = 0$, अतः $x = 20$ ($x = -30$ अस्वीकार्य) — 1 अंक
5. प्रत्येक कॉपी का मूल्य $= \frac{1200}{20} =$ ₹ 60 — 1 अंक

प्रश्न 34 (5 अंक)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और उसे सिद्ध कीजिए। इसका प्रयोग करके $AE$ ज्ञात कीजिए, यदि $\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$, $\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5}$ और $AC = 5.6$ cm है।

उत्तर।

1. प्रमेय का सही कथन — 1 अंक
2. दिया है, सिद्ध करना है, रचना (BE और CD को मिलाइए, EN ⊥ AB और DM ⊥ AC खींचिए) तथा आकृति — 1 अंक
3. $\frac{ar(ADE)}{ar(BDE)} = \frac{AD}{DB}$ और $\frac{ar(ADE)}{ar(DEC)} = \frac{AE}{EC}$; $ar(BDE) = ar(DEC)$ (एक ही आधार DE और समान समांतर रेखाओं के बीच) - अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
4. $\frac{AE}{EC} = \frac{3}{5}$, अतः $AE = \frac{3}{8} \times AC$ — 1 अंक
5. $AE = \frac{3}{8} \times 5.6 = 2.1$ cm — 1 अंक

प्रश्न 35 (5 अंक)

नीचे दी गई सारणी में एक कक्षा के 50 विद्यार्थियों द्वारा किसी एक दिन एक लर्निंग ऐप पर बिताया गया समय (मिनटों में) दिया गया है।

आँकड़ों का माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. वर्ग चिह्न 10, 30, 50, 70, 90, 110; $\sum f_i x_i = 40 + 240 + 700 + 840 + 630 + 550 = 3000$ — 1.5 अंक
2. माध्य $= \frac{3000}{50} = 60$ मिनट — 1 अंक
3. बहुलक वर्ग 40-60; $l = 40$, $f_1 = 14$, $f_0 = 8$, $f_2 = 12$, $h = 20$ — 1 अंक
4. बहुलक $= 40 + \frac{14 - 8}{28 - 8 - 12} \times 20 = 40 + 15 = 55$ मिनट — 1.5 अंक

अथवा

एक स्वास्थ्य शिविर में आए 100 व्यक्तियों की आयु के निम्नलिखित बंटन की माध्यिका 32 वर्ष है। $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. संचयी बारंबारताएँ: 10, 10 + x, 35 + x, 65 + x, 65 + x + y, 75 + x + y = 100, अतः x + y = 25 — 1.5 अंक
2. माध्यिका 32 वर्ग 30-40 में है; $l = 30$, $cf = 35 + x$, $f = 30$, $h = 10$, $\frac{n}{2} = 50$ — 1 अंक
3. $32 = 30 + \frac{50 - (35 + x)}{30} \times 10$, अतः $15 - x = 6$, $x = 9$ — 1.5 अंक
4. y = 25 - 9 = 16 — 1 अंक

खंड ङ (12 अंक)

प्रश्न 36 (4 अंक)

एक विद्यालय के सभागार में सीटें 20 पंक्तियों में लगी हैं। पहली पंक्ति में 18 सीटें हैं और प्रत्येक पंक्ति में उससे आगे वाली पंक्ति से 3 सीटें अधिक हैं।

(i) 10वीं पंक्ति में कितनी सीटें हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_{10} = 18 + 9 \times 3 = 45$ — 1 अंक

(ii) किस पंक्ति में 63 सीटें हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $18 + (n - 1)3 = 63$ से $n = 16$; 16वीं पंक्ति — 1 अंक

(iii) सभागार में कुल सीटों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_{20} = \frac{20}{2}[2 \times 18 + 19 \times 3]$ — 1 अंक
2. $= 10 \times 93 = 930$ — 1 अंक

अथवा

(iii) अंतिम 5 पंक्तियों में कुल मिलाकर कितनी सीटें हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. $a_{16} = 63$, $a_{20} = 18 + 19 \times 3 = 75$ — 1 अंक
2. योग $= \frac{5}{2}(63 + 75) = 345$ — 1 अंक

प्रश्न 37 (4 अंक)

एक भवन की समतल छत पर, छत के उस किनारे पर जो $P$ की ओर है, एक मोबाइल टावर लगा है। समतल भूमि पर भवन के पाद से 30 m दूर स्थित बिंदु $P$ से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ और टावर के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

(i) भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\tan 30^\circ = \frac{h}{30}$, अतः $h = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10\sqrt{3}$ m $= 17.3$ m — 1 अंक

(ii) टावर के शिखर से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\cos 60^\circ = \frac{30}{d}$, अतः $d = \frac{30}{1/2} = 60$ m — 1 अंक

(iii) टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. टावर का शिखर: $\tan 60^\circ = \frac{H}{30}$, अतः $H = 30\sqrt{3}$ m — 1 अंक
2. टावर $= 30\sqrt{3} - 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3} = 34.6$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) $P$ पर खड़ा एक प्रेक्षक भवन की ओर तब तक चलता है, जब तक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ न हो जाए। प्रेक्षक कितनी दूरी चलता है? (2 अंक)

उत्तर।

1. नई दूरी: $\tan 60^\circ = \frac{10\sqrt{3}}{x}$, अतः $x = 10$ m — 1 अंक
2. चली गई दूरी = 30 - 10 = 20 m — 1 अंक

प्रश्न 38 (4 अंक)

स्काउट शिविर में लगा एक तंबू एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या वाला एक लंब वृत्तीय शंकु अध्यारोपित है। आधार की त्रिज्या 3.5 m, बेलनाकार भाग की ऊँचाई 3 m और शंक्वाकार भाग की ऊँचाई 1.2 m है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $l = \sqrt{3.5^2 + 1.2^2} = \sqrt{13.69} = 3.7$ m — 1 अंक

(ii) बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3 = 66 \text{ m}^2$ — 1 अंक

(iii) तंबू बनाने में लगे कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (फर्श को छोड़कर)। ₹ 100 प्रति $\text{m}^2$ की दर से इसका मूल्य भी ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.7 = 40.7 \text{ m}^2$; कैनवास $= 66 + 40.7 = 106.7 \text{ m}^2$ — 1 अंक
2. मूल्य $= 106.7 \times 100 =$ ₹ 10670 — 1 अंक

अथवा

(iii) तंबू के अंदर की हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 = 38.5 \text{ m}^2$; बेलन $= 38.5 \times 3 = 115.5 \text{ m}^3$ — 1 अंक
2. शंकु $= \frac{1}{3} \times 38.5 \times 1.2 = 15.4 \text{ m}^3$; कुल $= 130.9 \text{ m}^3$ — 1 अंक