प्रश्न पत्र

CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 1

समय: 3 घंटे · अधिकतम अंक: 80

सामान्य निर्देश

1. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
2. यह प्रश्न पत्र पाँच खंडों में विभाजित है: क, ख, ग, घ और ङ।
3. खंड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं तथा प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
4. खंड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।
5. खंड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।
6. खंड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।
7. खंड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन (केस स्टडी) आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है, जिसके उप-भाग 1, 1 और 2 अंकों के हैं।
8. प्रश्न पत्र में समग्र विकल्प नहीं है। तथापि, खंड ख, ग और घ के 2-2 प्रश्नों में तथा खंड ङ के प्रत्येक प्रश्न के 2 अंकों वाले उप-भाग में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
9. जहाँ आवश्यक हो, स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। यदि अन्यथा न कहा गया हो, तो जहाँ आवश्यक हो π = 22/7 लीजिए।
10. कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

इस प्रश्न पत्र का उपयोग कैसे करें: 3 घंटे का टाइमर लगाइए और बोर्ड परीक्षा की तरह सभी उत्तर कॉपी पर लिखिए। पूरा करने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दी गई क्विज़ से अपने वस्तुनिष्ठ (बहुविकल्पीय) उत्तरों का स्कोर तुरंत देखिए, फिर विस्तृत हल खोलकर बाकी उत्तर चरण-दर-चरण, हर चरण के अंकों के साथ मिलाइए।

खंड क (20 अंक)

इस खंड में 18 बहुविकल्पीय प्रश्न और 2 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।

1. दो संख्याओं का HCF 18 है और उनका गुणनफल 3240 है। उनका LCM है

(a) 180
(b) 162
(c) 216
(d) 90

2. यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $p(x) = x^2 - 5x + k$ के शून्यक हैं तथा $\alpha - \beta = 1$ है, तो $k$ का मान है

(a) 4
(b) 6
(c) 8
(d) -6

3. आकृति में $y = p(x)$ का आलेख दिखाया गया है। $p(x)$ के शून्यकों की संख्या है

(a) 0
(b) 1
(c) 2
(d) 3

4. समीकरण युग्म $2x + 3y = 7$ और $6x + ky = 21$ के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे, यदि $k$ का मान है

(a) -9
(b) 3
(c) 6
(d) 9

5. $k$ के वे मान, जिनके लिए द्विघात समीकरण $2x^2 + kx + 8 = 0$ के दो बराबर वास्तविक मूल हैं, हैं

(a) केवल $8$
(b) $\pm 4$
(c) $\pm 8$
(d) केवल $16$

6. समांतर श्रेढ़ी $7, 3, -1, -5, \ldots$ का 15वाँ पद है

(a) $-49$
(b) $-53$
(c) $-45$
(d) $63$

7. आकृति में $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$ है। यदि $AD = 2$ cm, $DB = 3$ cm और $AE = 3.2$ cm है, तो $EC$ बराबर है

(a) 2.4 cm
(b) 3.6 cm
(c) 4.8 cm
(d) 5.2 cm

8. x-अक्ष पर स्थित वह बिंदु, जो बिंदुओं $A(2, 3)$ और $B(6, -1)$ से समदूरस्थ है, है

(a) $(2, 0)$
(b) $(3, 0)$
(c) $(4, 0)$
(d) $(0, -3)$

9. आकृति में केंद्र $O$ वाले वृत्त पर $PA$ और $PB$ स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $\angle APB = 50^\circ$ है, तो $\angle AOB$ बराबर है

(a) $40^\circ$
(b) $50^\circ$
(c) $100^\circ$
(d) $130^\circ$

10. 5 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा $PQ$ केंद्र $O$ से जाने वाली एक रेखा को बिंदु $Q$ पर इस प्रकार मिलती है कि $OQ = 13$ cm है। $PQ$ की लंबाई है

(a) 12 cm
(b) 8 cm
(c) $\sqrt{119}$ cm
(d) 18 cm

11. यदि $5 \tan A = 4$ है, तो $\frac{5 \sin A - 3 \cos A}{5 \sin A + 2 \cos A}$ का मान है

(a) $\frac{1}{6}$
(b) $\frac{1}{3}$
(c) $\frac{7}{6}$
(d) $0$

12. यदि $\sec\theta + \tan\theta = 3$ है, तो $\sec\theta - \tan\theta$ का मान है

(a) $3$
(b) $\frac{1}{3}$
(c) $-\frac{1}{3}$
(d) $2$

13. 6 m ऊँचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे की समतल भूमि पर छाया की लंबाई $2\sqrt{3}$ m है। सूर्य का उन्नयन कोण है

(a) $30^\circ$
(b) $45^\circ$
(c) $60^\circ$
(d) $90^\circ$

14. 14 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, जिसका केंद्रीय कोण $45^\circ$ है, है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) $11 \text{ cm}^2$
(b) $38.5 \text{ cm}^2$
(c) $44 \text{ cm}^2$
(d) $77 \text{ cm}^2$

15. एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 21 cm है। 20 मिनट में सुई की नोक द्वारा तय की गई दूरी है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) 22 cm
(b) 44 cm
(c) 66 cm
(d) 462 cm

16. एक ठोस अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $77 \text{ cm}^2$ है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है

(a) $38.5 \text{ cm}^2$
(b) $77 \text{ cm}^2$
(c) $115.5 \text{ cm}^2$
(d) $154 \text{ cm}^2$

17. किसी बंटन का माध्य 24 और माध्यिका 26 है। आनुभविक संबंध का प्रयोग करने पर बहुलक है

(a) 22
(b) 25
(c) 28
(d) 30

18. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। इसके लाल रंग का चित्र पत्ता (फेस कार्ड) होने की प्रायिकता है

(a) $\frac{1}{26}$
(b) $\frac{3}{26}$
(c) $\frac{3}{13}$
(d) $\frac{6}{13}$

निर्देश: प्रश्न संख्या 19 और 20 में एक अभिकथन (A) के बाद एक तर्क (R) दिया गया है। सही विकल्प चुनिए।

19. अभिकथन (A): वह द्विघात बहुपद, जिसके शून्यक $3$ और $-5$ हैं, $x^2 + 2x - 15$ है।

तर्क (R): शून्यकों $\alpha$ और $\beta$ वाला एक द्विघात बहुपद $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta$ होता है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

20. अभिकथन (A): एक पासे को एक बार फेंकने पर अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।

तर्क (R): एक पासे के फलकों पर 3 अभाज्य संख्याएँ और 3 भाज्य संख्याएँ होती हैं।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

खंड ख (10 अंक)

इस खंड में 5 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।

21. दिया गया है कि $\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $5 - 2\sqrt{3}$ एक अपरिमेय संख्या है। (2 अंक)

22. $\triangle PQR$ में $S$ और $T$ क्रमशः भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $ST \parallel QR$ है। यदि $PS = x$ cm, $SQ = (x - 2)$ cm, $PT = (x + 2)$ cm और $TR = (x - 1)$ cm है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

23. $y$ के वे मान ज्ञात कीजिए, जिनके लिए बिंदुओं $P(1, 2)$ और $Q(4, y)$ के बीच की दूरी 5 मात्रक है। (2 अंक)

24. मान ज्ञात कीजिए: $(\sin^2 30^\circ + 4\cot^2 45^\circ - \sec^2 60^\circ)(\text{cosec}^2 45^\circ \sec^2 30^\circ)$ (2 अंक)

अथवा

यदि $\sin(A - B) = \frac{1}{2}$ और $\cos(A + B) = 0$ है, जहाँ $0^\circ < A + B \leq 90^\circ$ तथा $A > B$ है, तो $A$ और $B$ ज्ञात कीजिए।

25. एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $\angle PAB = 50^\circ$ है, तो $\angle AOB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 13 cm और 5 cm हैं। बड़े वृत्त की उस जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए, जो छोटे वृत्त को स्पर्श करती है।

खंड ग (18 अंक)

इस खंड में 6 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।

26. कक्षा 10 के विद्यार्थी 120 m, 168 m और 240 m लंबे तीन सीधे रास्तों के किनारे पौधे लगा रहे हैं। प्रत्येक रास्ते पर पौधे बराबर दूरी पर लगाए जाते हैं, रास्ते के दोनों सिरों पर एक-एक पौधा लगाया जाता है, और दो क्रमागत पौधों के बीच की दूरी तीनों रास्तों पर समान है। दो क्रमागत पौधों के बीच की अधिकतम संभव दूरी क्या है? कुल कितने पौधों की आवश्यकता होगी? (3 अंक)

27. वह अनुपात ज्ञात कीजिए, जिसमें x-अक्ष बिंदुओं $A(3, -4)$ और $B(-2, 6)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को विभाजित करता है। विभाजन बिंदु के निर्देशांक भी ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

28. सिद्ध कीजिए: $\frac{\cos A}{1 - \tan A} + \frac{\sin A}{1 - \cot A} = \sin A + \cos A$ (3 अंक)

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\sec A - 1}{\sec A + 1} = \left(\frac{\sin A}{1 + \cos A}\right)^2$

29. $\triangle ABC$ के अंतर्गत एक वृत्त खींचा गया है, जो भुजाओं $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $F$, $D$ और $E$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 13$ cm, $BC = 14$ cm और $CA = 15$ cm है, तो $AF$, $BD$ और $CE$ की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

30. 14 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की एक जीवा केंद्र पर समकोण अंतरित करती है। संगत लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए) (3 अंक)

अथवा

एक गाय 21 m भुजा वाले एक वर्गाकार खेत के एक कोने पर लगे खूँटे से 14 m लंबी रस्सी से बँधी है। खेत के उस भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसमें गाय घास चर सकती है। यदि रस्सी 21 m लंबी होती, तो चरने के क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होती? ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

31. एक डिब्बे में 50 कार्ड हैं, जिन पर संख्याएँ 3, 4, 5, …, 52 अंकित हैं। डिब्बे में से एक कार्ड यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कार्ड पर अंकित संख्या (i) एक पूर्ण वर्ग है, (ii) 7 का एक गुणज है, (iii) 2 और 5 दोनों से विभाज्य है। (3 अंक)

खंड घ (20 अंक)

इस खंड में 4 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।

32. एक पार्किंग स्थल कार के लिए प्रति घंटा एक निश्चित शुल्क लेता है और स्कूटर के लिए प्रति घंटा एक अलग निश्चित शुल्क लेता है। राकेश ने अपनी कार 3 घंटे और अपना स्कूटर 5 घंटे पार्क किया तथा ₹ 190 का भुगतान किया। निशा ने अपनी कार 4 घंटे और अपना स्कूटर 2 घंटे पार्क किया तथा ₹ 160 का भुगतान किया। कार और स्कूटर के लिए प्रति घंटा शुल्क ज्ञात कीजिए। एक कार और एक स्कूटर को 6-6 घंटे पार्क करने पर कितना भुगतान करना होगा? (5 अंक)

अथवा

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए: $x + y = 5$ और $2x - y = 4$। इन रेखाओं और x-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

33. एक दुकानदार ₹ 1200 में कुछ कॉपियाँ खरीदता है। यदि वह उसी राशि में 10 कॉपियाँ और खरीदता, तो प्रत्येक कॉपी का मूल्य ₹ 20 कम होता। उसके द्वारा खरीदी गई कॉपियों की संख्या और प्रत्येक कॉपी का मूल्य ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

34. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और उसे सिद्ध कीजिए। इसका प्रयोग करके $AE$ ज्ञात कीजिए, यदि $\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$, $\frac{AD}{DB} = \frac{3}{5}$ और $AC = 5.6$ cm है। (5 अंक)

35. नीचे दी गई सारणी में एक कक्षा के 50 विद्यार्थियों द्वारा किसी एक दिन एक लर्निंग ऐप पर बिताया गया समय (मिनटों में) दिया गया है।

आँकड़ों का माध्य और बहुलक ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

एक स्वास्थ्य शिविर में आए 100 व्यक्तियों की आयु के निम्नलिखित बंटन की माध्यिका 32 वर्ष है। $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

खंड ङ (12 अंक)

इस खंड में 3 प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

36. एक विद्यालय के सभागार में सीटें 20 पंक्तियों में लगी हैं। पहली पंक्ति में 18 सीटें हैं और प्रत्येक पंक्ति में उससे आगे वाली पंक्ति से 3 सीटें अधिक हैं।

(i) 10वीं पंक्ति में कितनी सीटें हैं? (1 अंक)

(ii) किस पंक्ति में 63 सीटें हैं? (1 अंक)

(iii) सभागार में कुल सीटों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) अंतिम 5 पंक्तियों में कुल मिलाकर कितनी सीटें हैं? (2 अंक)

37. एक भवन की समतल छत पर, छत के उस किनारे पर जो $P$ की ओर है, एक मोबाइल टावर लगा है। समतल भूमि पर भवन के पाद से 30 m दूर स्थित बिंदु $P$ से भवन के शिखर का उन्नयन कोण $30^\circ$ और टावर के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

(i) भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) टावर के शिखर से $P$ की दूरी ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) $P$ पर खड़ा एक प्रेक्षक भवन की ओर तब तक चलता है, जब तक भवन के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ न हो जाए। प्रेक्षक कितनी दूरी चलता है? (2 अंक)

38. स्काउट शिविर में लगा एक तंबू एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार का है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या वाला एक लंब वृत्तीय शंकु अध्यारोपित है। आधार की त्रिज्या 3.5 m, बेलनाकार भाग की ऊँचाई 3 m और शंक्वाकार भाग की ऊँचाई 1.2 m है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) शंक्वाकार भाग की तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) बेलनाकार भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) तंबू बनाने में लगे कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए (फर्श को छोड़कर)। ₹ 100 प्रति $\text{m}^2$ की दर से इसका मूल्य भी ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) तंबू के अंदर की हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (2 अंक)