विस्तृत हल

विस्तृत हल: CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 2

प्रश्न पत्र के सभी लिखित प्रश्न (2, 3, 4 और 5 अंक) यहाँ क्रम से हल किए गए हैं, हर चरण के अंकों के साथ, ताकि आप अपनी उत्तर पुस्तिका परीक्षक की तरह जाँच सकें। जहाँ आंतरिक विकल्प (अथवा) है, वहाँ दोनों विकल्प हल किए गए हैं। 1 अंक वाले प्रश्नों के उत्तर व्याख्या सहित प्रश्न पत्र वाले पृष्ठ की क्विज़ में हैं।

खंड ख (10 अंक)

प्रश्न 21 (2 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

1. माना $3 + 2\sqrt{5} = r$, एक परिमेय संख्या है; तब $\sqrt{5} = \frac{r - 3}{2}$ — 1 अंक
2. दायाँ पक्ष परिमेय है, जबकि $\sqrt{5}$ अपरिमेय है - यह विरोधाभास है; अतः $3 + 2\sqrt{5}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 22 (2 अंक)

आकृति में $AB \parallel DE$ है तथा रेखाखंड $AE$ और $BD$ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $AB = 7.5$ cm, $AC = 6$ cm, $CE = 4$ cm और $CD = 3.2$ cm है, तो $DE$ और $BC$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\angle BAC = \angle DEC$ (एकांतर कोण) और $\angle ACB = \angle ECD$ (शीर्षाभिमुख कोण), अतः $\triangle ACB \sim \triangle ECD$ (AA) — 1 अंक
2. $\frac{AB}{ED} = \frac{AC}{EC} = \frac{BC}{DC}$: $DE = \frac{7.5 \times 4}{6} = 5$ cm और $BC = \frac{3.2 \times 6}{4} = 4.8$ cm — 1 अंक

अथवा

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है। यदि $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 5$ cm, $DE = 6$ cm और $EF = (x + 3)$ cm है, तो $x$ का मान और $\triangle DEF$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\frac{DE}{AB} = \frac{EF}{BC} = \frac{FD}{CA} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$, अतः $EF = 9$ cm और $x + 3 = 9$, $x = 6$ — 1 अंक
2. $FD = \frac{3}{2} \times 5 = 7.5$ cm; परिमाप $= 6 + 9 + 7.5 = 22.5$ cm — 1 अंक

प्रश्न 23 (2 अंक)

द्विघात बहुपद $3x^2 + 4x - 4$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए।

उत्तर।

1. $3x^2 + 6x - 2x - 4 = (3x - 2)(x + 2)$, अतः शून्यक $\frac{2}{3}$ और $-2$ हैं — 1 अंक
2. योग $= \frac{2}{3} - 2 = -\frac{4}{3} = -\frac{b}{a}$; गुणनफल $= \frac{2}{3} \times (-2) = -\frac{4}{3} = \frac{c}{a}$ — 1 अंक

प्रश्न 24 (2 अंक)

प्रिया ने $\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ}$ का मान इस प्रकार निकाला।

चरण 1: $\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$

चरण 2: $= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

उसने किस चरण में गलती की? व्यंजक का सही मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. गलती चरण 1 में है: $\tan^2 30^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{1}{3}$ होता है, न कि $\frac{1}{\sqrt{3}}$ — 1 अंक
2. सही मान $= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \times \frac{3}{2} = \sqrt{3}$ — 1 अंक

अथवा

मान ज्ञात कीजिए: $\frac{4\sin^2 60^\circ + 3\tan^2 30^\circ + 8\sin 45^\circ \cos 45^\circ}{\text{cosec}^2 30^\circ - \cot^2 45^\circ}$

उत्तर।

1. अंश $= 4 \times \frac{3}{4} + 3 \times \frac{1}{3} + 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 3 + 1 + 4 = 8$ — 1 अंक
2. हर $= 4 - 1 = 3$; मान $= \frac{8}{3}$ — 1 अंक

प्रश्न 25 (2 अंक)

आकृति में केंद्र $O$ वाला एक वृत्त $\triangle ABC$ के अंतर्गत खींचा गया है, जो भुजाओं $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $P$, $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 9$ cm, $CA = 11$ cm, $AP = 5$ cm और $BC = (3x + 1)$ cm है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: $AR = AP = 5$ cm, अतः $BQ = BP = 9 - 5 = 4$ cm और $CQ = CR = 11 - 5 = 6$ cm — 1 अंक
2. $BC = 4 + 6 = 10$ cm, अतः $3x + 1 = 10$ और $x = 3$ — 1 अंक

खंड ग (18 अंक)

प्रश्न 26 (3 अंक)

एक मंदिर की तीन घंटियाँ क्रमशः 18 मिनट, 24 मिनट और 32 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे सुबह 6:00 बजे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कितने बजे बजेंगी? उसी दिन सुबह 6:00 बजे से शाम 6:00 बजे तक, सुबह 6:00 बजे की घंटी को भी गिनते हुए, वे कुल कितनी बार एक साथ बजेंगी?

उत्तर।

1. $18 = 2 \times 3^2$, $24 = 2^3 \times 3$, $32 = 2^5$ — 1 अंक
2. LCM $= 2^5 \times 3^2 = 288$ मिनट $=$ 4 घंटे 48 मिनट; अगली बार सुबह 10:48 बजे एक साथ — 1 अंक
3. 12 घंटे (720 मिनट) में वे सुबह 6:00, सुबह 10:48 और दोपहर 3:36 बजे एक साथ बजती हैं (अगली बार रात 8:24 बजे होगी), अतः 3 बार — 1 अंक

प्रश्न 27 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} = (\sec\theta - \tan\theta)^2$।

उत्तर।

1. दायाँ पक्ष $= \left(\frac{1}{\cos\theta} - \frac{\sin\theta}{\cos\theta}\right)^2 = \frac{(1 - \sin\theta)^2}{\cos^2\theta}$ — 1 अंक
2. $= \frac{(1 - \sin\theta)^2}{1 - \sin^2\theta} = \frac{(1 - \sin\theta)^2}{(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)}$ — 1 अंक
3. $= \frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} =$ बायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 28 (3 अंक)

केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर बाह्य बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $PO$, $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है।

उत्तर।

1. आकृति; $OA$ और $OB$ को मिलाइए। $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है) — 1 अंक
2. $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ में: $OA = OB$ (त्रिज्याएँ), $OP$ उभयनिष्ठ और समकोण बराबर हैं; अतः $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ (RHS) — 1.5 अंक
3. अतः $\angle APO = \angle BPO$ (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग (CPCT)), अर्थात् $PO$, $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है — 0.5 अंक

अथवा

20 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा $PQ$ की लंबाई 24 cm है। $P$ और $Q$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $TP$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $TP = TQ$ और $OP = OQ$, अतः $OT$, $PQ$ का लंब समद्विभाजक है; माना यह $PQ$ से $R$ पर मिलता है। $PR = 12$ cm, $OR = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$ cm — 1 अंक
2. माना $TR = y$। समकोण $\triangle OPT$ में $OT^2 = TP^2 + OP^2$: $(y + 16)^2 = (y^2 + 144) + 400$, अतः $32y = 288$, $y = 9$ — 1 अंक
3. $TP = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$ cm — 1 अंक

प्रश्न 29 (3 अंक)

एक खेत पर अनाज रखने की एक कोठी एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार की है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या का एक अर्धगोलाकार गुंबद अध्यारोपित है। कोठी का व्यास 4.2 m है और बेलनाकार भाग की ऊँचाई 4.9 m है। कोठी के बाहरी वक्र पृष्ठ (बेलनाकार दीवार और गुंबद, आधार नहीं) को ₹ 20 प्रति $\text{m}^2$ की दर से पेंट किया जाना है। पेंट करने का खर्च ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. $r = 2.1$ m; बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi rh = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 4.9 = 64.68 \text{ m}^2$ — 1 अंक
2. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 27.72 \text{ m}^2$ — 1 अंक
3. पेंट किया जाने वाला क्षेत्रफल $= 64.68 + 27.72 = 92.4 \text{ m}^2$; खर्च $= 92.4 \times 20 =$ ₹ 1848 — 1 अंक

अथवा

7 cm त्रिज्या और 30 cm ऊँचाई वाले एक ठोस बेलन के एक सिरे से, समान त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई वाली एक शंक्वाकार गुहा खोदकर निकाली जाती है। शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. शंकु की तिर्यक ऊँचाई $= \sqrt{7^2 + 24^2} = 25$ cm — 1 अंक
2. पृष्ठ: बेलन का वक्र पृष्ठ $2\pi \times 7 \times 30 = 420\pi$, दूसरा समतल सिरा $\pi \times 7^2 = 49\pi$, गुहा का वक्र पृष्ठ $\pi \times 7 \times 25 = 175\pi$ — 1 अंक
3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 420\pi + 49\pi + 175\pi = 644\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 30 (3 अंक)

अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से सभी काले चित्र पत्ते (फेस कार्ड) हटा दिए जाते हैं। फिर बचे हुए पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता (i) लाल रंग का है, (ii) चित्र पत्ता है, (iii) हुकुम का पत्ता या इक्का है।

उत्तर।

1. काले चित्र पत्ते $= 6$, अतः 46 पत्ते बचते हैं। (i) लाल पत्ते $= 26$: $P = \frac{26}{46} = \frac{13}{23}$ — 1 अंक
2. (ii) केवल 6 लाल चित्र पत्ते बचे हैं: $P = \frac{6}{46} = \frac{3}{23}$ — 1 अंक
3. (iii) बचे हुकुम $= 13 - 3 = 10$ (हुकुम के इक्के सहित), अन्य इक्के $= 3$: $P = \frac{13}{46}$ — 1 अंक

प्रश्न 31 (3 अंक)

एक T20 मैच में एक बल्लेबाज़ ने 16 बाउंड्री लगाईं, जिनमें से प्रत्येक या तो चौका थी या छक्का, और इन बाउंड्री से 76 रन बनाए। बल्लेबाज़ ने कितने चौके और कितने छक्के लगाए? छक्कों से कितने रन बने?

उत्तर।

1. माना चौके $x$ और छक्के $y$ हैं: $x + y = 16$ और $4x + 6y = 76$ — 1 अंक
2. $x = 16 - y$ रखने पर: $64 - 4y + 6y = 76$, अतः $y = 6$ और $x = 10$ — 1.5 अंक
3. छक्कों से रन $= 6 \times 6 = 36$ — 0.5 अंक

खंड घ (20 अंक)

प्रश्न 32 (5 अंक)

राज्य परिवहन की एक बस दो कस्बों के बीच 240 km की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 10 km/h अधिक होती, तो यात्रा में 2 घंटे कम लगते। बस की सामान्य चाल और यात्रा में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना सामान्य चाल $x$ km/h है; लगा समय $= \frac{240}{x}$ घंटे — 1 अंक
2. $\frac{240}{x} - \frac{240}{x + 10} = 2$ — 1 अंक
3. $240 \times 10 = 2x(x + 10)$, अर्थात् $x^2 + 10x - 1200 = 0$ — 1 अंक
4. $(x + 40)(x - 30) = 0$, अतः $x = 30$ ($x = -40$ अस्वीकार्य, चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती) — 1 अंक
5. सामान्य चाल 30 km/h; समय $= \frac{240}{30} = 8$ घंटे — 1 अंक

प्रश्न 33 (5 अंक)

आकृति में $ABCD$ एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है और इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle AOB \sim \triangle COD$।

(ii) इससे दर्शाइए कि $OA \times OD = OB \times OC$।

(iii) यदि $OA = (2x + 1)$ cm, $OC = (x + 2)$ cm, $OB = (3x - 6)$ cm और $OD = x$ cm है, तो $x$ का मान और $BD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. (i) $AB \parallel DC$: $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ (एकांतर कोण) — 1.5 अंक
2. अतः $\triangle AOB \sim \triangle COD$ (AA समरूपता) — 0.5 अंक
3. (ii) $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$, अतः $OA \times OD = OB \times OC$ — 1 अंक
4. (iii) $\frac{2x + 1}{x + 2} = \frac{3x - 6}{x}$, अतः $2x^2 + x = 3x^2 - 12$, अर्थात् $x^2 - x - 12 = 0$ — 1 अंक
5. $(x - 4)(x + 3) = 0$, अतः $x = 4$ ($x = -3$ अस्वीकार्य, क्योंकि $OD = x$ एक लंबाई है); $BD = OB + OD = 6 + 4 = 10$ cm — 1 अंक

अथवा

आकृति में $AB$ और $CD$ समतल भूमि $BD$ पर खड़े दो ऊर्ध्वाधर खंभे हैं। तार $AD$ और $CB$ एक-दूसरे को $P$ पर काटते हैं तथा $PQ \perp BD$ है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle DPQ \sim \triangle DAB$ और $\triangle BPQ \sim \triangle BCD$।

(ii) इससे दर्शाइए कि $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{PQ}$।

(iii) यदि $AB = 12$ m, $CD = 6$ m और $BD = 15$ m है, तो $PQ$ और $BQ$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. (i) $\angle PQD = \angle ABD = 90^\circ$ और $\angle D$ उभयनिष्ठ है, अतः $\triangle DPQ \sim \triangle DAB$ (AA) — 1 अंक
2. $\angle PQB = \angle CDB = 90^\circ$ और $\angle B$ उभयनिष्ठ है, अतः $\triangle BPQ \sim \triangle BCD$ (AA) — 1 अंक
3. (ii) $\frac{PQ}{AB} = \frac{DQ}{DB}$ और $\frac{PQ}{CD} = \frac{BQ}{BD}$; जोड़ने पर $\frac{PQ}{AB} + \frac{PQ}{CD} = \frac{DQ + BQ}{BD} = 1$, अतः $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{PQ}$ — 1 अंक
4. (iii) $\frac{1}{PQ} = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} = \frac{1}{4}$, अतः $PQ = 4$ m — 1 अंक
5. $\frac{BQ}{BD} = \frac{PQ}{CD}$: $BQ = \frac{4 \times 15}{6} = 10$ m — 1 अंक

प्रश्न 34 (5 अंक)

90 m ऊँची एक ऊर्ध्वाधर चट्टान $AB$ के शिखर $A$ से समुद्र में दो नावों $C$ और $D$ के अवनमन कोण क्रमशः $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। दोनों नावें चट्टान के पूर्व में हैं और चट्टान के पाद $B$ के साथ एक सीधी रेखा में हैं। (i) दोनों नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (ii) $D$ वाली नाव एकसमान चाल से चट्टान की ओर चलती है और 3 मिनट में दूसरी नाव के स्थान पर पहुँच जाती है। इसकी चाल मीटर प्रति मिनट में ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. आकृति: क्षैतिज रेखा $AX$ लेने पर $\angle XAC = 60^\circ$ और $\angle XAD = 30^\circ$, अतः $\angle ACB = 60^\circ$ और $\angle ADB = 30^\circ$ (एकांतर कोण); $AB = 90$ m — 1 अंक
2. $\triangle ABC$ में: $\tan 60^\circ = \frac{90}{BC}$, अतः $BC = \frac{90}{\sqrt{3}} = 30\sqrt{3}$ m — 1 अंक
3. $\triangle ABD$ में: $\tan 30^\circ = \frac{90}{BD}$, अतः $BD = 90\sqrt{3}$ m — 1 अंक
4. $CD = 90\sqrt{3} - 30\sqrt{3} = 60\sqrt{3} = 60 \times 1.73 = 103.8$ m — 1 अंक
5. चाल $= \frac{60\sqrt{3}}{3} = 20\sqrt{3} = 34.6$ मीटर प्रति मिनट — 1 अंक

प्रश्न 35 (5 अंक)

नीचे दी गई सारणी में एक कंपनी के 50 कर्मचारियों द्वारा अपने कार्यालय पहुँचने के लिए प्रतिदिन तय की गई दूरी (km में) दी गई है। माध्य दूरी 23.4 km है।

लुप्त बारंबारताएँ $p$ और $q$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $8 + p + 12 + q + 6 = 50$, अतः $p + q = 24$ — 1 अंक
2. वर्ग चिह्न 5, 15, 25, 35, 45; $\sum f_i x_i = 40 + 15p + 300 + 35q + 270 = 610 + 15p + 35q$ — 1.5 अंक
3. $\frac{610 + 15p + 35q}{50} = 23.4$ से $15p + 35q = 560$, अर्थात् $3p + 7q = 112$ — 1 अंक
4. $p = 24 - q$ रखने पर: $72 + 4q = 112$, अतः $q = 10$ और $p = 14$ — 1.5 अंक

अथवा

कुछ विद्यार्थियों द्वारा एक पहेली हल करने में लिए गए समय (सेकंड में) के निम्नलिखित बंटन का बहुलक 54 सेकंड है। लुप्त बारंबारता $x$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. बहुलक 54 वर्ग 50-60 में है, अतः बहुलक वर्ग 50-60 है: $l = 50$, $f_1 = x$, $f_0 = 16$, $f_2 = 12$, $h = 10$ — 1.5 अंक
2. $54 = 50 + \frac{x - 16}{2x - 16 - 12} \times 10$ — 1 अंक
3. $4(2x - 28) = 10(x - 16)$, अर्थात् $8x - 112 = 10x - 160$ — 1 अंक
4. $2x = 48$, अतः $x = 24$ — 1.5 अंक

खंड ङ (12 अंक)

प्रश्न 36 (4 अंक)

रमेश चाय की एक दुकान चलाता है। वह डाकघर की एक मासिक बचत योजना में शामिल होता है और पहले महीने ₹ 500 जमा करता है। उसके बाद हर महीने वह पिछले महीने से ₹ 100 अधिक जमा करता है।

(i) वह 10वें महीने में कितनी राशि जमा करता है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_{10} = 500 + 9 \times 100 =$ ₹ 1400 — 1 अंक

(ii) वह किस महीने में ₹ 2500 जमा करता है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $500 + (n - 1)100 = 2500$ से $n = 21$; 21वाँ महीना — 1 अंक

(iii) पहले 2 वर्षों में उसके द्वारा जमा की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_{24} = \frac{24}{2}[2 \times 500 + 23 \times 100]$ — 1 अंक
2. $= 12 \times 3300 =$ ₹ 39600 — 1 अंक

अथवा

(iii) दूसरे वर्ष में, अर्थात् 13वें महीने से 24वें महीने तक, उसके द्वारा जमा की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $a_{13} = 500 + 12 \times 100 = 1700$, $a_{24} = 500 + 23 \times 100 = 2800$ — 1 अंक
2. योग $= \frac{12}{2}(1700 + 2800) =$ ₹ 27000 — 1 अंक

प्रश्न 37 (4 अंक)

एक गाँव का नक्शा एक निर्देशांक ग्रिड पर बनाया गया है, जिसमें पंचायत भवन मूलबिंदु $O$ पर है और मुख्य सड़क x-अक्ष के अनुदिश है। ग्रिड पर 1 मात्रक 100 m को दर्शाता है। विद्यालय $S(-4, 5)$ पर, स्वास्थ्य केंद्र $H(5, -7)$ पर, बाज़ार $M(-5, -2)$ पर और मंदिर $T(7, 4)$ पर है।

(i) विद्यालय से स्वास्थ्य केंद्र कितनी दूर है (मीटर में)? (1 अंक)

उत्तर।

1. $SH = \sqrt{(5 + 4)^2 + (-7 - 5)^2} = \sqrt{81 + 144} = 15$ मात्रक $= 1500$ m — 1 अंक

(ii) बाज़ार और मंदिर के ठीक बीच में एक बस स्टॉप बनाया जाना है। इसके निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $MT$ का मध्य-बिंदु $= \left(\frac{-5 + 7}{2}, \frac{-2 + 4}{2}\right) = (1, 1)$ — 1 अंक

(iii) एक सीधी सड़क बाज़ार और मंदिर को जोड़ती है। मुख्य सड़क (x-अक्ष) रेखाखंड $MT$ को किस अनुपात में विभाजित करती है? दोनों सड़कें किस बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. माना अनुपात $k : 1$ है; y-निर्देशांक $\frac{4k - 2}{k + 1} = 0$ से $k = \frac{1}{2}$, अर्थात् $1 : 2$ — 1 अंक
2. $x = \frac{1 \times 7 + 2 \times (-5)}{3} = -1$; सड़कें $(-1, 0)$ पर काटती हैं — 1 अंक

अथवा

(iii) y-अक्ष के अनुदिश जाने वाली गली के किनारे एक पानी की टंकी $W$ इस प्रकार बनाई जानी है कि वह बाज़ार और मंदिर से समान दूरी पर हो। $W$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $W(0, y)$ है। $WM^2 = WT^2$: $(0 + 5)^2 + (y + 2)^2 = (0 - 7)^2 + (y - 4)^2$ — 1 अंक
2. $25 + 4y + 4 = 49 - 8y + 16$, अतः $12y = 36$, $y = 3$; $W(0, 3)$ — 1 अंक

प्रश्न 38 (4 अंक)

एक कार के विंडस्क्रीन वाइपर की भुजा $OB$ की लंबाई 42 cm है, जो बिंदु $O$ पर टिकी है और उसी के परितः घूमती है। रबर का ब्लेड $AB$ भुजा के बाहरी आधे भाग पर लगा है, अतः $OA = AB = 21$ cm है। एक बार घूमने में भुजा $120^\circ$ का कोण घूमती है और ब्लेड दोनों चापों के बीच के क्षेत्र (आकृति में छायांकित) को साफ़ करता है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) एक बार घूमने में सिरे $B$ द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{120}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 42 = 88$ cm — 1 अंक

(ii) एक बार घूमने में पूरी भुजा $OB$ द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = 1848 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

(iii) एक बार घूमने में ब्लेड द्वारा साफ़ किया गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। कार में इसी माप का एक दूसरा वाइपर भी है, और दोनों ब्लेडों द्वारा साफ़ किए गए क्षेत्र अलग-अलग हैं। एक बार घूमने में दोनों ब्लेड कुल कितना क्षेत्रफल साफ़ करते हैं? (2 अंक)

उत्तर।

1. 21 cm त्रिज्या का त्रिज्यखंड $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 462 \text{ cm}^2$; एक ब्लेड द्वारा साफ़ क्षेत्रफल $= 1848 - 462 = 1386 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. दोनों ब्लेड: $2 \times 1386 = 2772 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

अथवा

(iii) एक बार घूमने में एक ब्लेड द्वारा साफ़ किए गए क्षेत्र का परिमाप ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. बाहरी चाप $= 88$ cm; भीतरी चाप $= \frac{120}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 44$ cm — 1 अंक
2. परिमाप $= 88 + 44 + 21 + 21 = 174$ cm — 1 अंक