प्रश्न पत्र

CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 2

समय: 3 घंटे · अधिकतम अंक: 80

सामान्य निर्देश

1. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
2. यह प्रश्न पत्र पाँच खंडों में विभाजित है: क, ख, ग, घ और ङ।
3. खंड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं तथा प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
4. खंड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।
5. खंड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।
6. खंड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।
7. खंड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन (केस स्टडी) आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है, जिसके उप-भाग 1, 1 और 2 अंकों के हैं।
8. प्रश्न पत्र में समग्र विकल्प नहीं है। तथापि, खंड ख, ग और घ के 2-2 प्रश्नों में तथा खंड ङ के प्रत्येक प्रश्न के 2 अंकों वाले उप-भाग में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
9. जहाँ आवश्यक हो, स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। यदि अन्यथा न कहा गया हो, तो जहाँ आवश्यक हो π = 22/7 लीजिए।
10. कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

इस प्रश्न पत्र का उपयोग कैसे करें: 3 घंटे का टाइमर लगाइए और बोर्ड परीक्षा की तरह सभी उत्तर कॉपी पर लिखिए। पूरा करने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दी गई क्विज़ से अपने वस्तुनिष्ठ (बहुविकल्पीय) उत्तरों का स्कोर तुरंत देखिए, फिर विस्तृत हल खोलकर बाकी उत्तर चरण-दर-चरण, हर चरण के अंकों के साथ मिलाइए।

खंड क (20 अंक)

इस खंड में 18 बहुविकल्पीय प्रश्न और 2 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।

1. यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $2x^2 - 7x + 3$ के शून्यक हैं, तो $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}$ का मान है

(a) $\frac{7}{3}$
(b) $\frac{3}{7}$
(c) $\frac{7}{2}$
(d) $-\frac{7}{3}$

2. बहुपद $p(x) = x^2 - 2x - 8$ के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

(a) इसके शून्यक $2$ और $-4$ हैं।
(b) इसके शून्यकों का योग $-2$ है।
(c) इसके शून्यकों का गुणनफल $-8$ है।
(d) $y = p(x)$ का आलेख x-अक्ष से नहीं मिलता है।

3. रैखिक समीकरण युग्म $3x - 2y = 5$ और $6x - 4y = 7$ का

(a) एक अद्वितीय हल है
(b) ठीक दो हल हैं
(c) अपरिमित रूप से अनेक हल हैं
(d) कोई हल नहीं है

4. यदि $x = 2$, $y = 1$ समीकरण युग्म $ax + 3y = 11$ और $2x - by = 1$ का हल है, तो

(a) $a = 3$, $b = 4$
(b) $a = 4$, $b = 3$
(c) $a = 4$, $b = -3$
(d) $a = -4$, $b = 3$

5. यदि $x = 2$ द्विघात समीकरण $2x^2 + kx - 6 = 0$ का एक मूल है, तो इसका दूसरा मूल है

(a) $-\frac{3}{2}$
(b) $\frac{3}{2}$
(c) $-3$
(d) $-1$

6. समांतर श्रेढ़ी $8, 13, 18, \ldots, 108$ में पदों की संख्या है

(a) 20
(b) 22
(c) 21
(d) 25

7. आकृति में $D$, $\triangle ABC$ की भुजा $AC$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $\angle ABD = \angle ACB$ है। यदि $AD = 4$ cm और $DC = 5$ cm है, तो $AB$ बराबर है

(a) 4.5 cm
(b) 5 cm
(c) $2\sqrt{5}$ cm
(d) 6 cm

8. बिंदुओं $P(-3, 5)$ और $Q(7, -5)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $2 : 3$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करने वाले बिंदु के निर्देशांक हैं

(a) $(3, -1)$
(b) $(1, 1)$
(c) $(2, 0)$
(d) $(1, -1)$

9. आकृति में $O$ वृत्त का केंद्र है, $PQ$ एक जीवा है और $PT$ बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा है। यदि $\angle POQ = 110^\circ$ है, तो $\angle TPQ$ बराबर है

(a) $55^\circ$
(b) $35^\circ$
(c) $70^\circ$
(d) $110^\circ$

10. एक बाह्य बिंदु $P$ से एक वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $PA = 6$ cm और $\angle APB = 60^\circ$ है, तो जीवा $AB$ की लंबाई है

(a) 3 cm
(b) $3\sqrt{3}$ cm
(c) 6 cm
(d) $6\sqrt{3}$ cm

11. यदि $\tan\theta = \frac{8}{15}$ है, जहाँ $\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\text{cosec}\,\theta - \cot\theta$ का मान है

(a) $4$
(b) $\frac{1}{4}$
(c) $\frac{3}{5}$
(d) $\frac{7}{8}$

12. 12 m लंबी एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी है और समतल भूमि के साथ $60^\circ$ का कोण बनाती है। दीवार पर वह ऊँचाई, जहाँ सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार को छूता है, है

(a) 6 m
(b) $12\sqrt{3}$ m
(c) $4\sqrt{3}$ m
(d) $6\sqrt{3}$ m

13. 7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के उस त्रिज्यखंड का परिमाप, जिसका केंद्रीय कोण $90^\circ$ है, है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) 25 cm
(b) 11 cm
(c) 18 cm
(d) 38.5 cm

14. 6 cm किनारे वाले दो सर्वसम घनों को सिरे से सिरा मिलाकर जोड़ा गया है। इससे बने घनाभ का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है

(a) $432 \text{ cm}^2$
(b) $288 \text{ cm}^2$
(c) $360 \text{ cm}^2$
(d) $396 \text{ cm}^2$

15. एक लंब वृत्तीय बेलन और एक लंब वृत्तीय शंकु के आधारों की त्रिज्याएँ बराबर हैं और उनके आयतन भी बराबर हैं। यदि बेलन की ऊँचाई 5 cm है, तो शंकु की ऊँचाई है

(a) 5 cm
(b) $\frac{5}{3}$ cm
(c) 10 cm
(d) 15 cm

16. निम्नलिखित बारंबारता बंटन पर विचार कीजिए।

माध्यिका वर्ग की उपरि सीमा और बहुलक वर्ग की निम्न सीमा का योग है

(a) 60
(b) 70
(c) 50
(d) 80

17. दो पासों को एक साथ फेंका जाता है। उन पर आई संख्याओं का योग 8 होने की प्रायिकता है

(a) $\frac{1}{6}$
(b) $\frac{1}{9}$
(c) $\frac{5}{36}$
(d) $\frac{7}{36}$

18. एक थैले में 4 लाल गेंदें, 6 सफ़ेद गेंदें और कुछ हरी गेंदें हैं। यदि यादृच्छया एक हरी गेंद निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है, तो थैले में हरी गेंदों की संख्या है

(a) 15
(b) 5
(c) 10
(d) 3

निर्देश: प्रश्न संख्या 19 और 20 में एक अभिकथन (A) के बाद एक तर्क (R) दिया गया है। सही विकल्प चुनिए।

19. अभिकथन (A): यदि दो संख्याओं का HCF 12, उनका LCM 360 और उनमें से एक संख्या 72 है, तो दूसरी संख्या 60 है।

तर्क (R): दो संख्याओं का HCF सदैव उनके LCM का एक गुणनखंड होता है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

20. अभिकथन (A): बिंदु $L(-2, 1)$, $M(1, 5)$ और $N(9, 11)$ संरेख हैं।

तर्क (R): यदि तीन बिंदु $A$, $B$ और $C$ इस प्रकार हैं कि $AB + BC = AC$ है, तो वे संरेख होते हैं।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

खंड ख (10 अंक)

इस खंड में 5 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।

21. दिया गया है कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $3 + 2\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। (2 अंक)

22. आकृति में $AB \parallel DE$ है तथा रेखाखंड $AE$ और $BD$ बिंदु $C$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $AB = 7.5$ cm, $AC = 6$ cm, $CE = 4$ cm और $CD = 3.2$ cm है, तो $DE$ और $BC$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

$\triangle ABC \sim \triangle DEF$ है। यदि $AB = 4$ cm, $BC = 6$ cm, $CA = 5$ cm, $DE = 6$ cm और $EF = (x + 3)$ cm है, तो $x$ का मान और $\triangle DEF$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

23. द्विघात बहुपद $3x^2 + 4x - 4$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के संबंध की सत्यता की जाँच कीजिए। (2 अंक)

24. प्रिया ने $\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ}$ का मान इस प्रकार निकाला।

चरण 1: $\frac{2\tan 30^\circ}{1 - \tan^2 30^\circ} = \frac{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}$

चरण 2: $= \frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}} = \frac{2}{\sqrt{3} - 1}$

उसने किस चरण में गलती की? व्यंजक का सही मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

मान ज्ञात कीजिए: $\frac{4\sin^2 60^\circ + 3\tan^2 30^\circ + 8\sin 45^\circ \cos 45^\circ}{\text{cosec}^2 30^\circ - \cot^2 45^\circ}$

25. आकृति में केंद्र $O$ वाला एक वृत्त $\triangle ABC$ के अंतर्गत खींचा गया है, जो भुजाओं $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $P$, $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 9$ cm, $CA = 11$ cm, $AP = 5$ cm और $BC = (3x + 1)$ cm है, तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

खंड ग (18 अंक)

इस खंड में 6 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।

26. एक मंदिर की तीन घंटियाँ क्रमशः 18 मिनट, 24 मिनट और 32 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। वे सुबह 6:00 बजे एक साथ बजती हैं। वे अगली बार एक साथ कितने बजे बजेंगी? उसी दिन सुबह 6:00 बजे से शाम 6:00 बजे तक, सुबह 6:00 बजे की घंटी को भी गिनते हुए, वे कुल कितनी बार एक साथ बजेंगी? (3 अंक)

27. सिद्ध कीजिए कि $\frac{1 - \sin\theta}{1 + \sin\theta} = (\sec\theta - \tan\theta)^2$। (3 अंक)

28. केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर बाह्य बिंदु $P$ से स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। सिद्ध कीजिए कि $PO$, $\angle APB$ को समद्विभाजित करता है। (3 अंक)

अथवा

20 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त की जीवा $PQ$ की लंबाई 24 cm है। $P$ और $Q$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ एक बिंदु $T$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। $TP$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

29. एक खेत पर अनाज रखने की एक कोठी एक लंब वृत्तीय बेलन के आकार की है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या का एक अर्धगोलाकार गुंबद अध्यारोपित है। कोठी का व्यास 4.2 m है और बेलनाकार भाग की ऊँचाई 4.9 m है। कोठी के बाहरी वक्र पृष्ठ (बेलनाकार दीवार और गुंबद, आधार नहीं) को ₹ 20 प्रति $\text{m}^2$ की दर से पेंट किया जाना है। पेंट करने का खर्च ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए) (3 अंक)

अथवा

7 cm त्रिज्या और 30 cm ऊँचाई वाले एक ठोस बेलन के एक सिरे से, समान त्रिज्या और 24 cm ऊँचाई वाली एक शंक्वाकार गुहा खोदकर निकाली जाती है। शेष ठोस का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

30. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से सभी काले चित्र पत्ते (फेस कार्ड) हटा दिए जाते हैं। फिर बचे हुए पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता (i) लाल रंग का है, (ii) चित्र पत्ता है, (iii) हुकुम का पत्ता या इक्का है। (3 अंक)

31. एक T20 मैच में एक बल्लेबाज़ ने 16 बाउंड्री लगाईं, जिनमें से प्रत्येक या तो चौका थी या छक्का, और इन बाउंड्री से 76 रन बनाए। बल्लेबाज़ ने कितने चौके और कितने छक्के लगाए? छक्कों से कितने रन बने? (3 अंक)

खंड घ (20 अंक)

इस खंड में 4 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।

32. राज्य परिवहन की एक बस दो कस्बों के बीच 240 km की दूरी एकसमान चाल से तय करती है। यदि इसकी चाल 10 km/h अधिक होती, तो यात्रा में 2 घंटे कम लगते। बस की सामान्य चाल और यात्रा में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

33. आकृति में $ABCD$ एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है और इसके विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle AOB \sim \triangle COD$।

(ii) इससे दर्शाइए कि $OA \times OD = OB \times OC$।

(iii) यदि $OA = (2x + 1)$ cm, $OC = (x + 2)$ cm, $OB = (3x - 6)$ cm और $OD = x$ cm है, तो $x$ का मान और $BD$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

आकृति में $AB$ और $CD$ समतल भूमि $BD$ पर खड़े दो ऊर्ध्वाधर खंभे हैं। तार $AD$ और $CB$ एक-दूसरे को $P$ पर काटते हैं तथा $PQ \perp BD$ है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle DPQ \sim \triangle DAB$ और $\triangle BPQ \sim \triangle BCD$।

(ii) इससे दर्शाइए कि $\frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{1}{PQ}$।

(iii) यदि $AB = 12$ m, $CD = 6$ m और $BD = 15$ m है, तो $PQ$ और $BQ$ ज्ञात कीजिए।

34. 90 m ऊँची एक ऊर्ध्वाधर चट्टान $AB$ के शिखर $A$ से समुद्र में दो नावों $C$ और $D$ के अवनमन कोण क्रमशः $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। दोनों नावें चट्टान के पूर्व में हैं और चट्टान के पाद $B$ के साथ एक सीधी रेखा में हैं। (i) दोनों नावों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (ii) $D$ वाली नाव एकसमान चाल से चट्टान की ओर चलती है और 3 मिनट में दूसरी नाव के स्थान पर पहुँच जाती है। इसकी चाल मीटर प्रति मिनट में ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (5 अंक)

35. नीचे दी गई सारणी में एक कंपनी के 50 कर्मचारियों द्वारा अपने कार्यालय पहुँचने के लिए प्रतिदिन तय की गई दूरी (km में) दी गई है। माध्य दूरी 23.4 km है।

लुप्त बारंबारताएँ $p$ और $q$ ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

कुछ विद्यार्थियों द्वारा एक पहेली हल करने में लिए गए समय (सेकंड में) के निम्नलिखित बंटन का बहुलक 54 सेकंड है। लुप्त बारंबारता $x$ ज्ञात कीजिए।

खंड ङ (12 अंक)

इस खंड में 3 प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

36. रमेश चाय की एक दुकान चलाता है। वह डाकघर की एक मासिक बचत योजना में शामिल होता है और पहले महीने ₹ 500 जमा करता है। उसके बाद हर महीने वह पिछले महीने से ₹ 100 अधिक जमा करता है।

(i) वह 10वें महीने में कितनी राशि जमा करता है? (1 अंक)

(ii) वह किस महीने में ₹ 2500 जमा करता है? (1 अंक)

(iii) पहले 2 वर्षों में उसके द्वारा जमा की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) दूसरे वर्ष में, अर्थात् 13वें महीने से 24वें महीने तक, उसके द्वारा जमा की गई कुल राशि ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

37. एक गाँव का नक्शा एक निर्देशांक ग्रिड पर बनाया गया है, जिसमें पंचायत भवन मूलबिंदु $O$ पर है और मुख्य सड़क x-अक्ष के अनुदिश है। ग्रिड पर 1 मात्रक 100 m को दर्शाता है। विद्यालय $S(-4, 5)$ पर, स्वास्थ्य केंद्र $H(5, -7)$ पर, बाज़ार $M(-5, -2)$ पर और मंदिर $T(7, 4)$ पर है।

(i) विद्यालय से स्वास्थ्य केंद्र कितनी दूर है (मीटर में)? (1 अंक)

(ii) बाज़ार और मंदिर के ठीक बीच में एक बस स्टॉप बनाया जाना है। इसके निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) एक सीधी सड़क बाज़ार और मंदिर को जोड़ती है। मुख्य सड़क (x-अक्ष) रेखाखंड $MT$ को किस अनुपात में विभाजित करती है? दोनों सड़कें किस बिंदु पर एक-दूसरे को काटती हैं? (2 अंक)

अथवा

(iii) y-अक्ष के अनुदिश जाने वाली गली के किनारे एक पानी की टंकी $W$ इस प्रकार बनाई जानी है कि वह बाज़ार और मंदिर से समान दूरी पर हो। $W$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

38. एक कार के विंडस्क्रीन वाइपर की भुजा $OB$ की लंबाई 42 cm है, जो बिंदु $O$ पर टिकी है और उसी के परितः घूमती है। रबर का ब्लेड $AB$ भुजा के बाहरी आधे भाग पर लगा है, अतः $OA = AB = 21$ cm है। एक बार घूमने में भुजा $120^\circ$ का कोण घूमती है और ब्लेड दोनों चापों के बीच के क्षेत्र (आकृति में छायांकित) को साफ़ करता है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) एक बार घूमने में सिरे $B$ द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) एक बार घूमने में पूरी भुजा $OB$ द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) एक बार घूमने में ब्लेड द्वारा साफ़ किया गया क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। कार में इसी माप का एक दूसरा वाइपर भी है, और दोनों ब्लेडों द्वारा साफ़ किए गए क्षेत्र अलग-अलग हैं। एक बार घूमने में दोनों ब्लेड कुल कितना क्षेत्रफल साफ़ करते हैं? (2 अंक)

अथवा

(iii) एक बार घूमने में एक ब्लेड द्वारा साफ़ किए गए क्षेत्र का परिमाप ज्ञात कीजिए। (2 अंक)