विस्तृत हल

विस्तृत हल: CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 3

प्रश्न पत्र के सभी लिखित प्रश्न (2, 3, 4 और 5 अंक) यहाँ क्रम से हल किए गए हैं, हर चरण के अंकों के साथ, ताकि आप अपनी उत्तर पुस्तिका परीक्षक की तरह जाँच सकें। जहाँ आंतरिक विकल्प (अथवा) है, वहाँ दोनों विकल्प हल किए गए हैं। 1 अंक वाले प्रश्नों के उत्तर व्याख्या सहित प्रश्न पत्र वाले पृष्ठ की क्विज़ में हैं।

खंड ख (10 अंक)

प्रश्न 21 (2 अंक)

एक विद्यालय की कंप्यूटर प्रयोगशाला का फर्श 5.4 m लंबा और 4.2 m चौड़ा एक आयत है। इसे एक जैसी वर्गाकार टाइलों से ढकना है, और कोई टाइल काटी नहीं जाएगी। प्रयोग की जा सकने वाली सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा और ऐसी टाइलों की आवश्यक संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. cm में: $540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$ और $420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7$; सबसे बड़ी भुजा = HCF $= 2^2 \times 3 \times 5 = 60$ cm — 1 अंक
2. टाइलों की संख्या $= \frac{540}{60} \times \frac{420}{60} = 9 \times 7 = 63$ — 1 अंक

प्रश्न 22 (2 अंक)

द्विघात बहुपद $x^2 - 9x + k$ का एक शून्यक दूसरे का दोगुना है। शून्यक और $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना शून्यक $\alpha$ और $2\alpha$ हैं; योग $= 3\alpha = 9$, अतः $\alpha = 3$ और शून्यक $3$ और $6$ हैं — 1 अंक
2. $k =$ शून्यकों का गुणनफल $= 3 \times 6 = 18$ — 1 अंक

अथवा

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $-\frac{1}{4}$ और $-\frac{3}{4}$ हैं। इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. बहुपद $= k\left(x^2 + \frac{1}{4}x - \frac{3}{4}\right)$; $k = 4$ लेने पर यह $4x^2 + x - 3$ है — 1 अंक
2. $4x^2 + x - 3 = 4x^2 + 4x - 3x - 3 = (4x - 3)(x + 1)$, अतः शून्यक $\frac{3}{4}$ और $-1$ हैं — 1 अंक

प्रश्न 23 (2 अंक)

आकृति में $D$ और $E$, $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है, तथा $F$, $AD$ पर ऐसा बिंदु है कि $EF \parallel CD$ है। यदि $AF = 4$ cm और $FD = 6$ cm है, तो $DB$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\triangle ADC$ में $FE \parallel DC$, अतः $\frac{AF}{FD} = \frac{AE}{EC}$ (आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय); $\triangle ABC$ में $DE \parallel BC$, अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$ — 1 अंक
2. अतः $\frac{AD}{DB} = \frac{AF}{FD}$, अर्थात् $\frac{10}{DB} = \frac{4}{6}$, अतः $DB = 15$ cm — 1 अंक

प्रश्न 24 (2 अंक)

यदि $\sec A = \frac{29}{21}$ है, जहाँ $A$ एक न्यून कोण है, तो $\frac{1 + \sin A}{\cos A}$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\cos A = \frac{21}{29}$ और $\sin A = \sqrt{1 - \frac{441}{841}} = \frac{20}{29}$ — 1 अंक
2. $\frac{1 + \sin A}{\cos A} = \frac{1 + \frac{20}{29}}{\frac{21}{29}} = \frac{49}{21} = \frac{7}{3}$ — 1 अंक

प्रश्न 25 (2 अंक)

आकृति में केंद्र $O$ वाला एक वृत्त $\triangle ABC$ के अंतर्गत खींचा गया है, जिसमें $B$ पर समकोण है। वृत्त $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $P$, $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 8$ cm और $BC = 15$ cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $AC = \sqrt{8^2 + 15^2} = 17$ cm; $OP \perp AB$, $OQ \perp BC$ और $OP = OQ$, अतः $OPBQ$ एक वर्ग है और $BP = BQ = r$ — 1 अंक
2. $A$ और $C$ से स्पर्श रेखाएँ: $AR = AP = 8 - r$ और $CR = CQ = 15 - r$; $(8 - r) + (15 - r) = 17$, अतः $r = 3$ cm — 1 अंक

अथवा

एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $PA = 12$ cm और $OP = 15$ cm है, तो चतुर्भुज $OAPB$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $OA \perp PA$, अतः $OA = \sqrt{15^2 - 12^2} = 9$ cm; साथ ही $OB = 9$ cm और $PB = PA = 12$ cm — 1 अंक
2. परिमाप $= 9 + 12 + 12 + 9 = 42$ cm — 1 अंक

खंड ग (18 अंक)

प्रश्न 26 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

1. माना $\sqrt{5}$ परिमेय है: $\sqrt{5} = \frac{a}{b}$, जहाँ $a$ और $b$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं और $b \neq 0$; वर्ग करने पर $5b^2 = a^2$ — 1 अंक
2. अतः 5, $a^2$ को विभाजित करता है, इसलिए 5, $a$ को भी विभाजित करता है। $a = 5c$ लिखने पर $25c^2 = 5b^2$, अर्थात् $b^2 = 5c^2$, अतः 5, $b^2$ को और इसलिए $b$ को भी विभाजित करता है — 1 अंक
3. 5, $a$ और $b$ का एक सार्व गुणनखंड है, जो उनके सहअभाज्य होने का विरोधाभास है; अतः $\sqrt{5}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 27 (3 अंक)

बिंदुओं $A(-2, -3)$ और $B(7, 9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। यह भी जाँचिए कि $A$ के निकट वाले समत्रिभाजन बिंदु की $A$ से दूरी, $AB$ की एक-तिहाई है।

उत्तर।

1. ये बिंदु $AB$ को $1 : 2$ और $2 : 1$ के अनुपातों में विभाजित करते हैं; $P = \left(\frac{1(7) + 2(-2)}{3}, \frac{1(9) + 2(-3)}{3}\right) = (1, 1)$ — 1 अंक
2. $Q = \left(\frac{2(7) + 1(-2)}{3}, \frac{2(9) + 1(-3)}{3}\right) = (4, 5)$ — 1 अंक
3. $AP = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ और $AB = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15$, अतः $AP = \frac{1}{3}AB$ — 1 अंक

प्रश्न 28 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए: $\sec^4 A - \sec^2 A = \tan^4 A + \tan^2 A$

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \sec^2 A(\sec^2 A - 1)$ — 1 अंक
2. $= (1 + \tan^2 A)\tan^2 A$, क्योंकि $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ — 1 अंक
3. $= \tan^2 A + \tan^4 A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

अथवा

सिद्ध कीजिए: $(\sec A - \cos A)(\cot A + \tan A) = \tan A \sec A$

उत्तर।

1. $\sec A - \cos A = \frac{1 - \cos^2 A}{\cos A} = \frac{\sin^2 A}{\cos A}$ — 1 अंक
2. $\cot A + \tan A = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{\sin A \cos A} = \frac{1}{\sin A \cos A}$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= \frac{\sin^2 A}{\cos A} \times \frac{1}{\sin A \cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} \times \frac{1}{\cos A} = \tan A \sec A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 29 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इस परिणाम का प्रयोग करके आकृति में $\triangle PXY$ का परिमाप ज्ञात कीजिए, जहाँ $PA$ और $PB$ बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, और वृत्त के बिंदु $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $PA$ को $X$ पर तथा $PB$ को $Y$ पर मिलती है। दिया है कि $PA = 10$ cm है।

उत्तर।

1. आकृति, दिया है और सिद्ध करना है; $OA$, $OB$ और $OP$ को मिलाइए; $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$ (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है) — 1 अंक
2. $\triangle OAP$ और $\triangle OBP$ में: $OA = OB$ (त्रिज्याएँ) और $OP$ उभयनिष्ठ है, अतः $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ (RHS) और $PA = PB$ — 1 अंक
3. $XA = XC$ और $YB = YC$; परिमाप $= PX + XC + CY + YP = PX + XA + YB + PY = PA + PB = 20$ cm — 1 अंक

प्रश्न 30 (3 अंक)

आकृति में $PQ$, केंद्र $O$ और त्रिज्या 6 cm वाले वृत्त की एक जीवा है तथा $\angle POQ = 120^\circ$ है। छायांकित लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times 3.14 \times 6 \times 6 = 37.68 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. $OM \perp PQ$ खींचिए: $\angle POM = 60^\circ$, $OM = 6\cos 60^\circ = 3$ cm, $PM = 6\sin 60^\circ = 3\sqrt{3}$ cm; त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 6\sqrt{3} \times 3 = 9\sqrt{3} = 15.57 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 37.68 - 15.57 = 22.11 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

अथवा

14 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक चाप की लंबाई 22 cm है। ज्ञात कीजिए: (i) चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, (ii) चाप से बने लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, (iii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. $\frac{\theta}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 22$, अर्थात् $\frac{\theta}{360} \times 88 = 22$, अतः $\theta = 90^\circ$ — 1 अंक
2. लघु त्रिज्यखंड $= \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 14 \times 14 = 154 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. वृत्त का क्षेत्रफल $= 616 \text{ cm}^2$; दीर्घ त्रिज्यखंड $= 616 - 154 = 462 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 31 (3 अंक)

दो पासे, एक लाल और एक नीला, एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 9 है, (ii) दोनों पासों पर आई संख्याओं का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है, (iii) लाल पासे पर आई संख्या, नीले पासे पर आई संख्या से छोटी है।

उत्तर।

1. कुल परिणाम $= 36$। (i) योग 9: $(3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$; $P = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ — 1 अंक
2. (ii) गुणनफल पूर्ण वर्ग: $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6), (1, 4), (4, 1)$; $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ — 1 अंक
3. (iii) लाल पासे की संख्या नीले से छोटी: $5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$ परिणाम; $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ — 1 अंक

खंड घ (20 अंक)

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक हाउसिंग सोसाइटी के आयताकार बगीचे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 16 m अधिक है, और उसका क्षेत्रफल 1700 $\text{m}^2$ है। बगीचे के अंदर चारों भुजाओं के साथ-साथ एकसमान चौड़ाई का बजरी का एक रास्ता बनाया जाता है, जिससे बीच में 1092 $\text{m}^2$ क्षेत्रफल का एक आयताकार लॉन बचता है। बगीचे की लंबाई और चौड़ाई तथा रास्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना चौड़ाई $x$ m है: $x(x + 16) = 1700$, अर्थात् $x^2 + 16x - 1700 = 0$ — 1 अंक
2. $(x + 50)(x - 34) = 0$, अतः $x = 34$ ($x = -50$ अस्वीकार्य); बगीचा 50 m लंबा और 34 m चौड़ा है — 1 अंक
3. माना रास्ते की चौड़ाई $w$ m है: $(50 - 2w)(34 - 2w) = 1092$ — 1 अंक
4. $4w^2 - 168w + 608 = 0$, अर्थात् $w^2 - 42w + 152 = 0$ — 1 अंक
5. $(w - 4)(w - 38) = 0$; $w = 38$ अस्वीकार्य है क्योंकि $2 \times 38 > 34$, अतः रास्ता 4 m चौड़ा है — 1 अंक

प्रश्न 33 (5 अंक)

निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए: $2x + y = 8$ और $x - y + 2 = 0$। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $2x + y = 8$ के लिए मानों की सारणी: $(0, 8), (4, 0), (2, 4)$ — 1 अंक
2. $x - y + 2 = 0$ के लिए मानों की सारणी: $(0, 2), (-2, 0), (2, 4)$ — 1 अंक
3. एक ही ग्राफ पर दोनों रेखाएँ सही खींचना — 1 अंक
4. हल $x = 2$, $y = 4$; शीर्ष $(2, 4)$, $(0, 8)$ और $(0, 2)$ — 1 अंक
5. क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (8 - 2) \times 2 = 6$ वर्ग मात्रक — 1 अंक

अथवा

एक विद्यालय मेले में खाने के एक स्टॉल ने पहले दिन 45 वेज रोल और 60 गिलास नींबू पानी बेचकर ₹ 2250 एकत्र किए। दूसरे दिन उसने 60 वेज रोल और 40 गिलास नींबू पानी बेचकर ₹ 2400 एकत्र किए। एक वेज रोल और एक गिलास नींबू पानी का मूल्य ज्ञात कीजिए। 4 वेज रोल और 3 गिलास नींबू पानी के लिए एक ग्राहक को कितना भुगतान करना होगा?

उत्तर।

1. माना एक रोल का मूल्य ₹ $x$ और एक गिलास का मूल्य ₹ $y$ है: $45x + 60y = 2250$ और $60x + 40y = 2400$, अर्थात् $3x + 4y = 150$ और $3x + 2y = 120$ — 2 अंक
2. घटाने पर $2y = 30$, अतः $y = 15$ — 1 अंक
3. $3x = 150 - 60 = 90$, अतः $x = 30$ — 1 अंक
4. भुगतान $= 4 \times 30 + 3 \times 15 =$ ₹ 165 — 1 अंक

प्रश्न 34 (5 अंक)

एक श्रद्धालु, जिसकी आँखें भूमि से 1.5 m ऊपर हैं, एक मंदिर के गोपुरम के शिखर को $30^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखता है। समतल भूमि पर गोपुरम की ओर सीधे 50 m चलने के बाद वह पाता है कि गोपुरम के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। गोपुरम की ऊँचाई तथा दूसरी स्थिति में गोपुरम से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. सही आकृति: गोपुरम का शिखर $A$, आँख के स्तर की रेखा जो गोपुरम से $E$ पर मिलती है, आँख की स्थितियाँ $C$ और $D$, जहाँ $CD = 50$ m; माना $AE = h$ m और $DE = x$ m — 1 अंक
2. समकोण $\triangle AED$ में: $\tan 60^\circ = \frac{h}{x}$, अतः $h = \sqrt{3}x$ — 1 अंक
3. समकोण $\triangle AEC$ में: $\tan 30^\circ = \frac{h}{x + 50}$, अतः $\sqrt{3}h = x + 50$ — 1 अंक
4. $3x = x + 50$, अतः $x = 25$ m और $h = 25\sqrt{3} = 43.25$ m — 1 अंक
5. गोपुरम की ऊँचाई $= 43.25 + 1.5 = 44.75$ m; दूसरी स्थिति में दूरी $= 25$ m — 1 अंक

प्रश्न 35 (5 अंक)

लकड़ी का एक लट्टू एक अर्धगोले पर अध्यारोपित समान त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है। अर्धगोले का व्यास 4.2 cm है और लट्टू की कुल ऊँचाई 4.1 cm है। लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसमें लगी लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. $r = 2.1$ cm; शंकु की ऊँचाई $= 4.1 - 2.1 = 2$ cm; तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{2.1^2 + 2^2} = \sqrt{8.41} = 2.9$ cm — 1 अंक
2. अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r^2 = 2 \times \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.1 = 27.72 \text{ cm}^2$; शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l = \frac{22}{7} \times 2.1 \times 2.9 = 19.14 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 27.72 + 19.14 = 46.86 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
4. अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3}\pi r^3 = 19.404 \text{ cm}^3$; शंकु का आयतन $= \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \times 13.86 \times 2 = 9.24 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
5. लकड़ी का आयतन $= 19.404 + 9.24 = 28.644 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

अथवा

एक स्मृति-चिह्न लकड़ी के 10 cm किनारे वाले एक ठोस घन से बना है, जिसके ऊपरी फलक के बीचोंबीच 4.2 cm त्रिज्या का एक ठोस अर्धगोला लगा है। स्मृति-चिह्न अपने निचले फलक पर रखा रहता है, जिस पर पॉलिश नहीं करनी है; बाकी सभी बाहरी पृष्ठों पर, अर्धगोले के वक्र पृष्ठ सहित, पॉलिश करनी है। पॉलिश किया जाने वाला क्षेत्रफल और स्मृति-चिह्न का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. घन के निचले फलक को छोड़कर बाकी फलक: $5 \times 10 \times 10 = 500 \text{ cm}^2$; अर्धगोले के नीचे 4.2 cm त्रिज्या का वृत्त छिप जाता है — 1 अंक
2. $\pi r^2 = \frac{22}{7} \times 4.2 \times 4.2 = 55.44 \text{ cm}^2$; अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 2\pi r^2 = 110.88 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. पॉलिश किया जाने वाला क्षेत्रफल $= 500 - 55.44 + 110.88 = 555.44 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
4. घन का आयतन $= 10^3 = 1000 \text{ cm}^3$; अर्धगोले का आयतन $= \frac{2}{3} \times \frac{22}{7} \times 4.2^3 = 155.232 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
5. स्मृति-चिह्न का आयतन $= 1000 + 155.232 = 1155.232 \text{ cm}^3$ — 1 अंक

खंड ङ (12 अंक)

प्रश्न 36 (4 अंक)

एक ईंट-भट्ठे पर ईंटें पंक्तियों में, एक पंक्ति के ऊपर दूसरी पंक्ति रखकर, जमाई गई हैं। सबसे नीचे की पंक्ति में 42 ईंटें हैं, उसके ऊपर की पंक्ति में 39, उसके ऊपर वाली में 36, और इसी प्रकार आगे: प्रत्येक पंक्ति में ठीक नीचे वाली पंक्ति से 3 ईंटें कम हैं। सबसे ऊपर की पंक्ति में 6 ईंटें हैं।

(i) नीचे से 6वीं पंक्ति में कितनी ईंटें हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a = 42$, $d = -3$; $a_6 = 42 + 5(-3) = 27$ — 1 अंक

(ii) ढेर में कितनी पंक्तियाँ हैं? (1 अंक)

उत्तर।

1. $42 + (n - 1)(-3) = 6$ से $n - 1 = 12$, अतः $n = 13$ पंक्तियाँ — 1 अंक

(iii) ढेर में कुल ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_{13} = \frac{13}{2}(42 + 6)$ — 1 अंक
2. $= 13 \times 24 = 312$ ईंटें — 1 अंक

अथवा

(iii) उन सभी पंक्तियों की कुल ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक में 30 से अधिक ईंटें हैं। (2 अंक)

उत्तर।

1. 30 से अधिक ईंटों वाली पंक्तियाँ: 42, 39, 36, 33 (5वीं पंक्ति में ठीक 30 ईंटें हैं), अर्थात् 4 पंक्तियाँ — 1 अंक
2. योग $= \frac{4}{2}(42 + 33) = 150$ ईंटें — 1 अंक

प्रश्न 37 (4 अंक)

अपने विज्ञान प्रोजेक्ट के लिए कबीर ने एक पिनहोल कैमरा बनाया: एक बंद डिब्बा, जिसके सामने वाले फलक में एक छोटा-सा छिद्र $O$ है और पीछे वाले फलक पर, छिद्र से 20 cm पीछे, एक पर्दा है। वह इसे 12 m ऊँचे एक पेड़ $AB$ की ओर करता है, जो छिद्र से 40 m दूर है। पेड़ के शिखर $A$ से आने वाला प्रकाश $O$ से होकर पर्दे पर $A'$ पर पहुँचता है, इस प्रकार पेड़ का एक उलटा प्रतिबिंब $A'B'$ बनता है। मान लीजिए कि पेड़ का पाद $B$, छिद्र $O$ और बिंदु $B'$ एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, तथा पेड़ और पर्दा दोनों ऊर्ध्वाधर हैं।

(i) किस कसौटी से $\triangle OAB \sim \triangle OA'B'$ है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $\angle ABO = \angle A'B'O = 90^\circ$ और $\angle AOB = \angle A'OB'$ (शीर्षाभिमुख कोण), अतः AA कसौटी से त्रिभुज समरूप हैं — 1 अंक

(ii) प्रतिबिंब $A'B'$ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{A'B'}{AB} = \frac{OB'}{OB}$, अतः $A'B' = \frac{1200 \times 20}{4000} = 6$ cm — 1 अंक

(iii) कबीर कैमरे को पेड़ की ओर 10 m पास ले जाता है। प्रतिबिंब की नई ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. अब $OB = 30$ m $= 3000$ cm, और $\frac{A'B'}{1200} = \frac{20}{3000}$ — 1 अंक
2. $A'B' = \frac{1200 \times 20}{3000} = 8$ cm — 1 अंक

अथवा

(iii) कबीर का एक मित्र, जिसकी लंबाई 1.5 m है, कैमरे के सामने खड़ा है, और पर्दे पर मित्र का प्रतिबिंब 5 cm ऊँचा है। मित्र छिद्र से कितनी दूरी पर खड़ा है? (2 अंक)

उत्तर।

1. ऊँचाइयाँ cm में: $\frac{5}{150} = \frac{20}{OB}$ — 1 अंक
2. $OB = \frac{150 \times 20}{5} = 600$ cm $= 6$ m — 1 अंक

प्रश्न 38 (4 अंक)

एक बिजली कंपनी ने एक कॉलोनी के 60 घरों का सर्वेक्षण किया। सारणी में एक महीने में इन घरों द्वारा खर्च की गई बिजली की यूनिटें दी गई हैं।

(i) महीने में कितने घरों ने 200 या उससे अधिक यूनिटें खर्च कीं? (1 अंक)

उत्तर।

1. 15 + 12 + 6 = 33 घर — 1 अंक

(ii) बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. बहुलक वर्ग 150-200 (सबसे अधिक बारंबारता 16); संचयी बारंबारताएँ 4, 11, 27, 42, … और $\frac{n}{2} = 30$, अतः माध्यिका वर्ग 200-250 है — 1 अंक

(iii) आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{n}{2} = 30$; माध्यिका वर्ग 200-250: $l = 200$, $cf = 27$, $f = 15$, $h = 50$ — 1 अंक
2. माध्यिका $= 200 + \frac{30 - 27}{15} \times 50 = 200 + 10 = 210$ यूनिट — 1 अंक

अथवा

(iii) आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. बहुलक वर्ग 150-200: $l = 150$, $f_1 = 16$, $f_0 = 7$, $f_2 = 15$, $h = 50$ — 1 अंक
2. बहुलक $= 150 + \frac{16 - 7}{32 - 7 - 15} \times 50 = 150 + 45 = 195$ यूनिट — 1 अंक