प्रश्न पत्र

CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 3

समय: 3 घंटे · अधिकतम अंक: 80

सामान्य निर्देश

1. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
2. यह प्रश्न पत्र पाँच खंडों में विभाजित है: क, ख, ग, घ और ङ।
3. खंड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं तथा प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
4. खंड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।
5. खंड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।
6. खंड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।
7. खंड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन (केस स्टडी) आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है, जिसके उप-भाग 1, 1 और 2 अंकों के हैं।
8. प्रश्न पत्र में समग्र विकल्प नहीं है। तथापि, खंड ख, ग और घ के 2-2 प्रश्नों में तथा खंड ङ के प्रत्येक प्रश्न के 2 अंकों वाले उप-भाग में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
9. जहाँ आवश्यक हो, स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। यदि अन्यथा न कहा गया हो, तो जहाँ आवश्यक हो π = 22/7 लीजिए।
10. कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

इस प्रश्न पत्र का उपयोग कैसे करें: 3 घंटे का टाइमर लगाइए और बोर्ड परीक्षा की तरह सभी उत्तर कॉपी पर लिखिए। पूरा करने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दी गई क्विज़ से अपने वस्तुनिष्ठ (बहुविकल्पीय) उत्तरों का स्कोर तुरंत देखिए, फिर विस्तृत हल खोलकर बाकी उत्तर चरण-दर-चरण, हर चरण के अंकों के साथ मिलाइए।

खंड क (20 अंक)

इस खंड में 18 बहुविकल्पीय प्रश्न और 2 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।

1. यदि $a = 2^3 \times 3^2 \times 5$ और $b = 2^2 \times 3^3 \times 7$ है, तो $\frac{\text{LCM}(a, b)}{\text{HCF}(a, b)}$ बराबर है

(a) $36$
(b) $105$
(c) $210$
(d) $7560$

2. यदि $x = 2$ बहुपद $2x^2 - 5x + k$ का एक शून्यक है, तो $k$ का मान है

(a) $-2$
(b) $2$
(c) $18$
(d) $-18$

3. एक प्रश्नोत्तरी में किसी टीम को हर सही उत्तर पर 4 अंक मिलते हैं और हर गलत उत्तर पर 1 अंक कटता है। एक टीम ने 20 प्रश्नों के उत्तर दिए और 55 अंक प्राप्त किए। यदि उसके $x$ उत्तर सही और $y$ उत्तर गलत थे, तो इस स्थिति को दर्शाने वाला समीकरण युग्म है

(a) $x + y = 20$, $4x + y = 55$
(b) $x - y = 20$, $4x - y = 55$
(c) $x + y = 55$, $4x - y = 20$
(d) $x + y = 20$, $4x - y = 55$

4. द्विघात समीकरण $2x^2 - 7x + 6 = 0$ के मूल हैं

(a) $-\frac{3}{2}$ और $-2$
(b) $\frac{2}{3}$ और $\frac{1}{2}$
(c) $\frac{3}{2}$ और $2$
(d) $3$ और $2$

5. समांतर श्रेढ़ी $7, 11, 15, \ldots, 147$ का अंतिम पद से 8वाँ पद है

(a) 119
(b) 115
(c) 123
(d) 35

6. $\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः भुजाओं $AB$ और $AC$ पर स्थित बिंदु हैं। लंबाइयों के निम्नलिखित में से किस समूह के लिए $DE \parallel BC$ होगा?

(a) $AD = 2$ cm, $DB = 3$ cm, $AE = 3$ cm, $EC = 4$ cm
(b) $AD = 3$ cm, $DB = 4$ cm, $AE = 4.5$ cm, $EC = 6$ cm
(c) $AD = 4$ cm, $DB = 5$ cm, $AE = 5$ cm, $EC = 6$ cm
(d) $AD = 1.5$ cm, $DB = 2$ cm, $AE = 2$ cm, $EC = 3$ cm

7. आकृति में $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ है, जहाँ $AB = 5$ cm, $BC = 7$ cm और $CA = 8$ cm है। यदि $\triangle PQR$ का परिमाप 30 cm है, तो $PR$ की लंबाई है

(a) 12 cm
(b) 7.5 cm
(c) 10.5 cm
(d) 18 cm

8. यदि बिंदु $(3, k)$, बिंदुओं $A(-1, 4)$ और $B(p, 6)$ को मिलाने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है, तो

(a) $p = 5, k = 7$
(b) $p = 7, k = 10$
(c) $p = 4, k = 5$
(d) $p = 7, k = 5$

9. यदि बिंदु $P(k, 0)$, बिंदुओं $A(2, -2)$ और $B(-7, 4)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है, तो $k$ का मान है

(a) $1$
(b) $-\frac{5}{2}$
(c) $-1$
(d) $-4$

10. एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के तीन शीर्ष, इसी क्रम में, $A(1, 2)$, $B(4, 3)$ और $C(6, 6)$ हैं। चौथा शीर्ष $D$ है

(a) $(9, 7)$
(b) $(3, 5)$
(c) $(-1, -1)$
(d) $(5, 3)$

11. $(\sin 45^\circ + \cos 45^\circ)^2$ का मान है

(a) $0$
(b) $1$
(c) $\frac{1}{2}$
(d) $2$

12. एक निगरानी-मीनार में बैठा गार्ड एक फ़ैक्टरी के प्रवेश द्वार को $60^\circ$ के अवनमन कोण पर देखता है। यदि उसकी आँखें समतल भूमि से 18 m ऊपर हैं, तो मीनार के पाद से प्रवेश द्वार की दूरी है

(a) $18\sqrt{3}$ m
(b) $6\sqrt{3}$ m
(c) 36 m
(d) $12\sqrt{3}$ m

13. आकृति में $PQ$, केंद्र $O$ वाले वृत्त के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा है, और $OQ$ वृत्त को $R$ पर काटती है। यदि $PQ = 8$ cm और $QR = 4$ cm है, तो वृत्त की त्रिज्या है

(a) 4 cm
(b) $4\sqrt{3}$ cm
(c) 6 cm
(d) 10 cm

14. एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर $PA$ और $PB$ स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि $\angle OAB = 20^\circ$ है, तो $\angle APB$ बराबर है

(a) $40^\circ$
(b) $20^\circ$
(c) $70^\circ$
(d) $140^\circ$

15. 42 cm लंबा एक लोलक $30^\circ$ के कोण से दोलन करता है। इसके गोलक द्वारा बनाए गए चाप की लंबाई है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) 11 cm
(b) 44 cm
(c) 264 cm
(d) 22 cm

16. वर्गीकृत बारंबारता बंटन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

(a) बहुलक वर्ग वह वर्ग है जिसकी संचयी बारंबारता सबसे अधिक है।
(b) बहुलक के सूत्र में $f_0$ बहुलक वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की बारंबारता है।
(c) वर्ग 20-30 का वर्ग चिह्न 30 है।
(d) माध्यिका वर्ग वह वर्ग है जिसकी बारंबारता सबसे अधिक है।

17. पग-विचलन विधि से किसी वर्गीकृत बारंबारता बंटन का माध्य ज्ञात करते समय एक विद्यार्थी कल्पित माध्य $a = 55$ और वर्ग माप $h = 10$ लेता है, तथा $\sum f_i = 40$ और $\sum f_i u_i = -12$ पाता है। बंटन का माध्य है

(a) $54.7$
(b) $58$
(c) $52$
(d) $43$

18. एक जार में 12 कंचे हैं, जिनमें से कुछ लाल हैं। यादृच्छया एक लाल कंचा निकालने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है। यदि जार में 6 लाल कंचे और डाल दिए जाएँ, तो लाल कंचा निकालने की प्रायिकता हो जाएगी

(a) $\frac{5}{9}$
(b) $\frac{5}{6}$
(c) $\frac{1}{2}$
(d) $\frac{2}{3}$

निर्देश: प्रश्न संख्या 19 और 20 में एक अभिकथन (A) के बाद एक तर्क (R) दिया गया है। सही विकल्प चुनिए।

19. अभिकथन (A): एक शंकु और एक बेलन, दोनों के आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 12 cm है। बेलन का आयतन $1848 \text{ cm}^3$ है, अतः शंकु का आयतन $616 \text{ cm}^3$ है।

तर्क (R): शंकु का आयतन, समान आधार त्रिज्या और समान ऊँचाई वाले बेलन के आयतन का एक-तिहाई होता है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

20. अभिकथन (A): दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर ठीक एक चित आने की प्रायिकता $\frac{1}{3}$ है।

तर्क (R): दो सिक्कों को एक साथ उछालने पर चार परिणाम HH, HT, TH और TT (H = चित, T = पट) समप्रायिक होते हैं।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

खंड ख (10 अंक)

इस खंड में 5 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।

21. एक विद्यालय की कंप्यूटर प्रयोगशाला का फर्श 5.4 m लंबा और 4.2 m चौड़ा एक आयत है। इसे एक जैसी वर्गाकार टाइलों से ढकना है, और कोई टाइल काटी नहीं जाएगी। प्रयोग की जा सकने वाली सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा और ऐसी टाइलों की आवश्यक संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

22. द्विघात बहुपद $x^2 - 9x + k$ का एक शून्यक दूसरे का दोगुना है। शून्यक और $k$ का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः $-\frac{1}{4}$ और $-\frac{3}{4}$ हैं। इसके शून्यक भी ज्ञात कीजिए।

23. आकृति में $D$ और $E$, $\triangle ABC$ की भुजाओं $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है, तथा $F$, $AD$ पर ऐसा बिंदु है कि $EF \parallel CD$ है। यदि $AF = 4$ cm और $FD = 6$ cm है, तो $DB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

24. यदि $\sec A = \frac{29}{21}$ है, जहाँ $A$ एक न्यून कोण है, तो $\frac{1 + \sin A}{\cos A}$ का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

25. आकृति में केंद्र $O$ वाला एक वृत्त $\triangle ABC$ के अंतर्गत खींचा गया है, जिसमें $B$ पर समकोण है। वृत्त $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $P$, $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 8$ cm और $BC = 15$ cm है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

एक बाह्य बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं। यदि $PA = 12$ cm और $OP = 15$ cm है, तो चतुर्भुज $OAPB$ का परिमाप ज्ञात कीजिए।

खंड ग (18 अंक)

इस खंड में 6 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।

26. सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{5}$ एक अपरिमेय संख्या है। (3 अंक)

27. बिंदुओं $A(-2, -3)$ और $B(7, 9)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को समत्रिभाजित करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। यह भी जाँचिए कि $A$ के निकट वाले समत्रिभाजन बिंदु की $A$ से दूरी, $AB$ की एक-तिहाई है। (3 अंक)

28. सिद्ध कीजिए: $\sec^4 A - \sec^2 A = \tan^4 A + \tan^2 A$ (3 अंक)

अथवा

सिद्ध कीजिए: $(\sec A - \cos A)(\cot A + \tan A) = \tan A \sec A$

29. सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाइयाँ बराबर होती हैं। इस परिणाम का प्रयोग करके आकृति में $\triangle PXY$ का परिमाप ज्ञात कीजिए, जहाँ $PA$ और $PB$ बिंदु $P$ से केंद्र $O$ वाले वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ हैं, और वृत्त के बिंदु $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा $PA$ को $X$ पर तथा $PB$ को $Y$ पर मिलती है। दिया है कि $PA = 10$ cm है। (3 अंक)

30. आकृति में $PQ$, केंद्र $O$ और त्रिज्या 6 cm वाले वृत्त की एक जीवा है तथा $\angle POQ = 120^\circ$ है। छायांकित लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = 3.14$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (3 अंक)

अथवा

14 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक चाप की लंबाई 22 cm है। ज्ञात कीजिए: (i) चाप द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण, (ii) चाप से बने लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल, (iii) संगत दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

31. दो पासे, एक लाल और एक नीला, एक साथ फेंके जाते हैं। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) दोनों पासों पर आई संख्याओं का योग 9 है, (ii) दोनों पासों पर आई संख्याओं का गुणनफल एक पूर्ण वर्ग है, (iii) लाल पासे पर आई संख्या, नीले पासे पर आई संख्या से छोटी है। (3 अंक)

खंड घ (20 अंक)

इस खंड में 4 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।

32. एक हाउसिंग सोसाइटी के आयताकार बगीचे की लंबाई उसकी चौड़ाई से 16 m अधिक है, और उसका क्षेत्रफल 1700 $\text{m}^2$ है। बगीचे के अंदर चारों भुजाओं के साथ-साथ एकसमान चौड़ाई का बजरी का एक रास्ता बनाया जाता है, जिससे बीच में 1092 $\text{m}^2$ क्षेत्रफल का एक आयताकार लॉन बचता है। बगीचे की लंबाई और चौड़ाई तथा रास्ते की चौड़ाई ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

33. निम्नलिखित रैखिक समीकरण युग्म को ग्राफीय विधि से हल कीजिए: $2x + y = 8$ और $x - y + 2 = 0$। इन रेखाओं और y-अक्ष से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए तथा उसका क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

एक विद्यालय मेले में खाने के एक स्टॉल ने पहले दिन 45 वेज रोल और 60 गिलास नींबू पानी बेचकर ₹ 2250 एकत्र किए। दूसरे दिन उसने 60 वेज रोल और 40 गिलास नींबू पानी बेचकर ₹ 2400 एकत्र किए। एक वेज रोल और एक गिलास नींबू पानी का मूल्य ज्ञात कीजिए। 4 वेज रोल और 3 गिलास नींबू पानी के लिए एक ग्राहक को कितना भुगतान करना होगा?

34. एक श्रद्धालु, जिसकी आँखें भूमि से 1.5 m ऊपर हैं, एक मंदिर के गोपुरम के शिखर को $30^\circ$ के उन्नयन कोण पर देखता है। समतल भूमि पर गोपुरम की ओर सीधे 50 m चलने के बाद वह पाता है कि गोपुरम के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। गोपुरम की ऊँचाई तथा दूसरी स्थिति में गोपुरम से उसकी दूरी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (5 अंक)

35. लकड़ी का एक लट्टू एक अर्धगोले पर अध्यारोपित समान त्रिज्या वाले शंकु के आकार का है। अर्धगोले का व्यास 4.2 cm है और लट्टू की कुल ऊँचाई 4.1 cm है। लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और उसमें लगी लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए) (5 अंक)

अथवा

एक स्मृति-चिह्न लकड़ी के 10 cm किनारे वाले एक ठोस घन से बना है, जिसके ऊपरी फलक के बीचोंबीच 4.2 cm त्रिज्या का एक ठोस अर्धगोला लगा है। स्मृति-चिह्न अपने निचले फलक पर रखा रहता है, जिस पर पॉलिश नहीं करनी है; बाकी सभी बाहरी पृष्ठों पर, अर्धगोले के वक्र पृष्ठ सहित, पॉलिश करनी है। पॉलिश किया जाने वाला क्षेत्रफल और स्मृति-चिह्न का आयतन ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

खंड ङ (12 अंक)

इस खंड में 3 प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

36. एक ईंट-भट्ठे पर ईंटें पंक्तियों में, एक पंक्ति के ऊपर दूसरी पंक्ति रखकर, जमाई गई हैं। सबसे नीचे की पंक्ति में 42 ईंटें हैं, उसके ऊपर की पंक्ति में 39, उसके ऊपर वाली में 36, और इसी प्रकार आगे: प्रत्येक पंक्ति में ठीक नीचे वाली पंक्ति से 3 ईंटें कम हैं। सबसे ऊपर की पंक्ति में 6 ईंटें हैं।

(i) नीचे से 6वीं पंक्ति में कितनी ईंटें हैं? (1 अंक)

(ii) ढेर में कितनी पंक्तियाँ हैं? (1 अंक)

(iii) ढेर में कुल ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) उन सभी पंक्तियों की कुल ईंटों की संख्या ज्ञात कीजिए, जिनमें से प्रत्येक में 30 से अधिक ईंटें हैं। (2 अंक)

37. अपने विज्ञान प्रोजेक्ट के लिए कबीर ने एक पिनहोल कैमरा बनाया: एक बंद डिब्बा, जिसके सामने वाले फलक में एक छोटा-सा छिद्र $O$ है और पीछे वाले फलक पर, छिद्र से 20 cm पीछे, एक पर्दा है। वह इसे 12 m ऊँचे एक पेड़ $AB$ की ओर करता है, जो छिद्र से 40 m दूर है। पेड़ के शिखर $A$ से आने वाला प्रकाश $O$ से होकर पर्दे पर $A'$ पर पहुँचता है, इस प्रकार पेड़ का एक उलटा प्रतिबिंब $A'B'$ बनता है। मान लीजिए कि पेड़ का पाद $B$, छिद्र $O$ और बिंदु $B'$ एक ही क्षैतिज रेखा पर हैं, तथा पेड़ और पर्दा दोनों ऊर्ध्वाधर हैं।

(i) किस कसौटी से $\triangle OAB \sim \triangle OA'B'$ है? (1 अंक)

(ii) प्रतिबिंब $A'B'$ की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) कबीर कैमरे को पेड़ की ओर 10 m पास ले जाता है। प्रतिबिंब की नई ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) कबीर का एक मित्र, जिसकी लंबाई 1.5 m है, कैमरे के सामने खड़ा है, और पर्दे पर मित्र का प्रतिबिंब 5 cm ऊँचा है। मित्र छिद्र से कितनी दूरी पर खड़ा है? (2 अंक)

38. एक बिजली कंपनी ने एक कॉलोनी के 60 घरों का सर्वेक्षण किया। सारणी में एक महीने में इन घरों द्वारा खर्च की गई बिजली की यूनिटें दी गई हैं।

(i) महीने में कितने घरों ने 200 या उससे अधिक यूनिटें खर्च कीं? (1 अंक)

(ii) बहुलक वर्ग और माध्यिका वर्ग लिखिए। (1 अंक)

(iii) आँकड़ों की माध्यिका ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)