विस्तृत हल

विस्तृत हल: CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 4

प्रश्न पत्र के सभी लिखित प्रश्न (2, 3, 4 और 5 अंक) यहाँ क्रम से हल किए गए हैं, हर चरण के अंकों के साथ, ताकि आप अपनी उत्तर पुस्तिका परीक्षक की तरह जाँच सकें। जहाँ आंतरिक विकल्प (अथवा) है, वहाँ दोनों विकल्प हल किए गए हैं। 1 अंक वाले प्रश्नों के उत्तर व्याख्या सहित प्रश्न पत्र वाले पृष्ठ की क्विज़ में हैं।

खंड ख (10 अंक)

प्रश्न 21 (2 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $7 - 3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

1. माना $7 - 3\sqrt{2} = r$, एक परिमेय संख्या है; तब $\sqrt{2} = \frac{7 - r}{3}$ — 1 अंक
2. $r$ परिमेय है, अतः $\frac{7 - r}{3}$ परिमेय है, जबकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है - यह विरोधाभास है; अतः $7 - 3\sqrt{2}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 22 (2 अंक)

एक वृत्त का केंद्र $C(2, -3)$ है और यह बिंदु $P(-4, 5)$ से होकर जाता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। क्या बिंदु $Q(10, 3)$ इस वृत्त पर स्थित है? कारण दीजिए।

उत्तर।

1. त्रिज्या $= CP = \sqrt{(2 + 4)^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ मात्रक — 1 अंक
2. $CQ = \sqrt{(10 - 2)^2 + (3 + 3)^2} = \sqrt{64 + 36} = 10$ मात्रक, जो त्रिज्या के बराबर है, अतः $Q$ वृत्त पर स्थित है — 1 अंक

प्रश्न 23 (2 अंक)

समतल भूमि पर बिंदुओं $B$ और $D$ पर क्रमशः 6 m और 9 m ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे $AB$ और $CD$ खड़े हैं। $A$ से $D$ तक और $C$ से $B$ तक तार तने हुए हैं, जो एक-दूसरे को $P$ पर काटते हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। भूमि से इस प्रतिच्छेद बिंदु की ऊँचाई $PM$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना $PM = h$, जहाँ $M$ रेखा $BD$ पर है। $\triangle BMP \sim \triangle BDC$ और $\triangle DMP \sim \triangle DBA$ (AA), अतः $\frac{h}{9} = \frac{BM}{BD}$ और $\frac{h}{6} = \frac{MD}{BD}$ — 1 अंक
2. जोड़ने पर $\frac{h}{9} + \frac{h}{6} = \frac{BM + MD}{BD} = 1$, अतः $\frac{5h}{18} = 1$ और $h = 3.6$ m — 1 अंक

अथवा

$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में $\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है। यदि $AB = 6$ cm, $BC = (2x + 1)$ cm, $PQ = 4$ cm और $QR = (x + 2)$ cm है, तो $x$ तथा $BC$ और $QR$ की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ (AA), अतः $\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR}$, अर्थात् $\frac{6}{4} = \frac{2x + 1}{x + 2}$ — 1 अंक
2. $3(x + 2) = 2(2x + 1)$ से $x = 4$; $BC = 9$ cm और $QR = 6$ cm — 1 अंक

प्रश्न 24 (2 अंक)

आकृति में एक वृत्त $\triangle ABC$ की भुजा $BC$ को $P$ पर स्पर्श करता है, तथा बढ़ाई गई भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 7$ cm, $BC = 6$ cm और $CA = 5$ cm है, तो $AQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. बाह्य बिंदु से खींची गई स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं: $AQ = AR$, $BQ = BP$ और $CR = CP$ — 1 अंक
2. $AQ + AR = (AB + BQ) + (AC + CR) = AB + AC + (BP + CP) = 7 + 5 + 6 = 18$, अतः $2AQ = 18$ और $AQ = 9$ cm — 1 अंक

प्रश्न 25 (2 अंक)

एक रॉकेट का ठोस मॉडल 5 cm त्रिज्या और 20 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय बेलन से बना है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाला एक लंब वृत्तीय शंकु लगा है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। मॉडल का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. शंकु की तिर्यक ऊँचाई $l = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ cm; पृष्ठ में शंकु का वक्र पृष्ठ, बेलन का वक्र पृष्ठ और वृत्ताकार आधार आते हैं — 1 अंक
2. कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $= \pi r l + 2\pi r h + \pi r^2 = 65\pi + 200\pi + 25\pi = 290\pi \text{ cm}^2$ — 1 अंक

अथवा

एक मापक पात्र 3 cm आंतरिक त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाला एक खोखला बेलन है, जिसका निचला सिरा समान त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे से बंद है। पात्र में कितना द्रव आ सकता है? उत्तर $\pi$ के पदों में दीजिए।

उत्तर।

1. बेलन: $\pi r^2 h = \pi \times 9 \times 10 = 90\pi \text{ cm}^3$; अर्धगोला: $\frac{2}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi \times 27 = 18\pi \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. धारिता $= 90\pi + 18\pi = 108\pi \text{ cm}^3$ — 1 अंक

खंड ग (18 अंक)

प्रश्न 26 (3 अंक)

एक विद्यालय की पुस्तकालयाध्यक्ष के पास हिंदी की 336, अंग्रेज़ी की 240 और विज्ञान की 216 पुस्तकें हैं। वह इन्हें ढेरों में इस प्रकार रखना चाहती है कि प्रत्येक ढेर में पुस्तकों की संख्या समान हो और प्रत्येक ढेर में केवल एक ही विषय की पुस्तकें हों। एक ढेर में अधिक से अधिक कितनी पुस्तकें रखी जा सकती हैं? कुल कितने ढेर बनेंगे?

उत्तर।

1. $336 = 2^4 \times 3 \times 7$, $240 = 2^4 \times 3 \times 5$, $216 = 2^3 \times 3^3$ — 1 अंक
2. एक ढेर में अधिकतम पुस्तकें = HCF $= 2^3 \times 3 = 24$ — 1 अंक
3. ढेरों की संख्या $= \frac{336}{24} + \frac{240}{24} + \frac{216}{24} = 14 + 10 + 9 = 33$ — 1 अंक

प्रश्न 27 (3 अंक)

यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $x^2 - 3x - 10$ के शून्यक हैं, तो एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक $\alpha^2$ और $\beta^2$ हों।

उत्तर।

1. $\alpha + \beta = 3$ और $\alpha\beta = -10$ — 1 अंक
2. $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 9 + 20 = 29$ और $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 100$ — 1 अंक
3. अभीष्ट बहुपद $x^2 - 29x + 100$ है (या इसका कोई शून्येतर अचर गुणज); जाँच: $x^2 - 3x - 10$ के शून्यक $5$ और $-2$ हैं, तथा $25 + 4 = 29$, $25 \times 4 = 100$ — 1 अंक

प्रश्न 28 (3 अंक)

मीरा से 100 और 200 के बीच स्थित 6 के सभी गुणजों का योग ज्ञात करने को कहा गया। उसका हल नीचे दिया गया है।

पहला पद $a = 102$, अंतिम पद $l = 198$, सार्व अंतर $d = 6$।

पदों की संख्या $n = \frac{198 - 102}{6} = 16$।

योग $= \frac{16}{2}(102 + 198) = 2400$।

क्या उसका उत्तर सही है? यदि नहीं, तो गलती बताइए और सही योग ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. गलती पदों की संख्या में है: $198 = 102 + (n - 1) \times 6$ से $n - 1 = 16$, अतः $n = 17$ है, 16 नहीं — 1.5 अंक
2. सही योग $= \frac{17}{2}(102 + 198) = 17 \times 150 = 2550$ — 1.5 अंक

अथवा

एक समांतर श्रेढ़ी का 5वाँ पद 17 है और इसके पहले 10 पदों का योग 185 है। समांतर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $a_5 = a + 4d = 17$ और $S_{10} = \frac{10}{2}(2a + 9d) = 185$, अर्थात् $2a + 9d = 37$ — 1 अंक
2. पहले समीकरण को 2 से गुणा करने पर $2a + 8d = 34$; घटाने पर $d = 3$, और तब $a = 17 - 12 = 5$ — 1 अंक
3. समांतर श्रेढ़ी $5, 8, 11, 14, \ldots$ है — 1 अंक

प्रश्न 29 (3 अंक)

बिंदु $P(x, 6)$, बिंदुओं $A(-6, 9)$ और $B(10, -3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें $P$ रेखाखंड $AB$ को विभाजित करता है, और $x$ का मान ज्ञात कीजिए। दूरी सूत्र से $AP$ और $PB$ ज्ञात करके अनुपात की जाँच कीजिए।

उत्तर।

1. माना अनुपात $k : 1$ है। y-निर्देशांक से $\frac{-3k + 9}{k + 1} = 6$, अतः $-3k + 9 = 6k + 6$ और $k = \frac{1}{3}$; अनुपात $1 : 3$ है — 1 अंक
2. $x = \frac{1 \times 10 + 3 \times (-6)}{4} = \frac{-8}{4} = -2$, अतः $P$ बिंदु $(-2, 6)$ है — 1 अंक
3. $AP = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ और $PB = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15$, अतः $AP : PB = 1 : 3$; सत्यापित — 1 अंक

प्रश्न 30 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए: $\frac{\cos^2 A}{1 - \sin A} + \frac{\sin^2 A}{1 + \cos A} = 2 + \sin A - \cos A$

उत्तर।

1. $\frac{\cos^2 A}{1 - \sin A} = \frac{1 - \sin^2 A}{1 - \sin A} = \frac{(1 - \sin A)(1 + \sin A)}{1 - \sin A} = 1 + \sin A$ — 1 अंक
2. $\frac{\sin^2 A}{1 + \cos A} = \frac{1 - \cos^2 A}{1 + \cos A} = \frac{(1 - \cos A)(1 + \cos A)}{1 + \cos A} = 1 - \cos A$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= (1 + \sin A) + (1 - \cos A) = 2 + \sin A - \cos A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan^2 A}{\sec A - 1} + \frac{\cot^2 A}{\text{cosec}\,A + 1} = \sec A + \text{cosec}\,A$

उत्तर।

1. $\frac{\tan^2 A}{\sec A - 1} = \frac{\sec^2 A - 1}{\sec A - 1} = \frac{(\sec A - 1)(\sec A + 1)}{\sec A - 1} = \sec A + 1$ — 1 अंक
2. $\frac{\cot^2 A}{\text{cosec}\,A + 1} = \frac{\text{cosec}^2 A - 1}{\text{cosec}\,A + 1} = \frac{(\text{cosec}\,A - 1)(\text{cosec}\,A + 1)}{\text{cosec}\,A + 1} = \text{cosec}\,A - 1$ — 1 अंक
3. बायाँ पक्ष $= (\sec A + 1) + (\text{cosec}\,A - 1) = \sec A + \text{cosec}\,A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 31 (3 अंक)

अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता (i) लाल रंग का बादशाह है, (ii) न तो पान का पत्ता है और न ही बादशाह है, (iii) काले रंग का ऐसा पत्ता है जो चित्र पत्ता नहीं है।

उत्तर।

1. (i) लाल बादशाह 2 हैं; $P = \frac{2}{52} = \frac{1}{26}$ — 1 अंक
2. (ii) पान या बादशाह: $13 + 3 = 16$ पत्ते (पान का बादशाह एक ही बार गिना गया), अतः $52 - 16 = 36$ पत्ते दोनों में से कोई नहीं हैं; $P = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$ — 1 अंक
3. (iii) काले पत्ते 26 हैं, जिनमें 6 चित्र पत्ते हैं, अतः 20 बचते हैं; $P = \frac{20}{52} = \frac{5}{13}$ — 1 अंक

खंड घ (20 अंक)

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक पंक्ति में पास-पास बैठे तीन विद्यार्थियों के अनुक्रमांक (रोल नंबर) तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ हैं। सबसे छोटे और सबसे बड़े अनुक्रमांक के गुणनफल में बीच वाले अनुक्रमांक का 5 गुना जोड़ने पर 233 प्राप्त होता है। तीनों अनुक्रमांक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना अनुक्रमांक $n$, $n + 1$ और $n + 2$ हैं — 1 अंक
2. $n(n + 2) + 5(n + 1) = 233$ — 1 अंक
3. $n^2 + 7n + 5 = 233$, अर्थात् $n^2 + 7n - 228 = 0$ — 1 अंक
4. $(n - 12)(n + 19) = 0$, अतः $n = 12$ ($n = -19$ अस्वीकार्य है, क्योंकि अनुक्रमांक एक प्राकृत संख्या है) — 1 अंक
5. अनुक्रमांक 12, 13 और 14 हैं (जाँच: $12 \times 14 + 5 \times 13 = 168 + 65 = 233$) — 1 अंक

अथवा

एक माँ अपनी बेटी से 26 वर्ष बड़ी है। अब से पाँच वर्ष बाद उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 615 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. माना बेटी की वर्तमान आयु $x$ वर्ष है; तब माँ की वर्तमान आयु $(x + 26)$ वर्ष है — 1 अंक
2. 5 वर्ष बाद: $(x + 5)(x + 31) = 615$ — 1 अंक
3. $x^2 + 36x + 155 = 615$, अर्थात् $x^2 + 36x - 460 = 0$ — 1 अंक
4. $(x - 10)(x + 46) = 0$, अतः $x = 10$ ($x = -46$ अस्वीकार्य है, क्योंकि आयु ऋणात्मक नहीं हो सकती) — 1 अंक
5. बेटी की आयु 10 वर्ष और माँ की आयु 36 वर्ष है — 1 अंक

प्रश्न 33 (5 अंक)

आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और उसे सिद्ध कीजिए ($\triangle PQR$ लीजिए, जिसमें $ST \parallel QR$ है)। इसका प्रयोग करके निम्नलिखित को हल कीजिए: आकृति में $ABCD$ एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है, तथा $E$ और $F$ क्रमशः $AD$ और $BC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $EF \parallel AB$ है। यदि $AE = (x - 1)$ cm, $ED = (x + 2)$ cm, $BF = x$ cm और $FC = 2x$ cm है, तो $x$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. प्रमेय का सही कथन — 1 अंक
2. दिया है: $\triangle PQR$ में $ST \parallel QR$, जहाँ $S$ भुजा $PQ$ पर और $T$ भुजा $PR$ पर है; सिद्ध करना है: $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$; रचना: $QT$ और $RS$ को मिलाइए, $TN \perp PQ$ और $SM \perp PR$ खींचिए; आकृति — 1 अंक
3. $\frac{ar(PST)}{ar(QST)} = \frac{\frac{1}{2} \times PS \times TN}{\frac{1}{2} \times SQ \times TN} = \frac{PS}{SQ}$ (समान ऊँचाई $TN$) और $\frac{ar(PST)}{ar(RST)} = \frac{\frac{1}{2} \times PT \times SM}{\frac{1}{2} \times TR \times SM} = \frac{PT}{TR}$ (समान ऊँचाई $SM$); $ar(QST) = ar(RST)$ (एक ही आधार $ST$ और समान समांतर रेखाओं $ST$ और $QR$ के बीच) - अतः $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$ — 1 अंक
4. $AC$ को मिलाइए, जो $EF$ को $G$ पर काटता है। $\triangle ADC$ में $EG \parallel DC$ से $\frac{AE}{ED} = \frac{AG}{GC}$; $\triangle CAB$ में $GF \parallel AB$ से $\frac{AG}{GC} = \frac{BF}{FC}$; अतः $\frac{AE}{ED} = \frac{BF}{FC}$ — 1 अंक
5. $\frac{x - 1}{x + 2} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$, अतः $2x - 2 = x + 2$ और $x = 4$ (तब $AE = 3$ cm, $ED = 6$ cm, $BF = 4$ cm, $FC = 8$ cm) — 1 अंक

प्रश्न 34 (5 अंक)

एक हवाई जहाज़ भूमि से 2500 m की स्थिर ऊँचाई पर क्षैतिज रूप से उड़ रहा है और भूमि पर खड़े एक प्रेक्षक से दूर जा रहा है। किसी क्षण प्रेक्षक से हवाई जहाज़ का उन्नयन कोण $45^\circ$ है और 10 सेकंड बाद यह $30^\circ$ हो जाता है। हवाई जहाज़ की चाल km/h में ज्ञात कीजिए। दूसरे क्षण पर प्रेक्षक से हवाई जहाज़ की दूरी भी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. सही आकृति: भूमि पर प्रेक्षक $O$; हवाई जहाज़ पहले $P$ पर और फिर $Q$ पर, जो भूमि के बिंदुओं $M$ और $N$ से 2500 m ऊपर हैं — 1 अंक
2. $\triangle OMP$ में: $\tan 45^\circ = \frac{2500}{OM}$, अतः $OM = 2500$ m — 1 अंक
3. $\triangle ONQ$ में: $\tan 30^\circ = \frac{2500}{ON}$, अतः $ON = 2500\sqrt{3}$ m — 1 अंक
4. तय की गई दूरी $= MN = 2500(\sqrt{3} - 1) = 2500 \times 0.73 = 1825$ m, 10 s में; चाल $= 182.5$ m/s $= 182.5 \times \frac{18}{5} = 657$ km/h — 1 अंक
5. दूसरे क्षण पर $\sin 30^\circ = \frac{2500}{OQ}$, अतः $OQ = 5000$ m — 1 अंक

प्रश्न 35 (5 अंक)

एक विद्यालय की कक्षा 10 के 60 विद्यार्थियों के भार (kg में) नीचे दिए गए हैं।

भारों की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. संचयी बारंबारताएँ: 5, 12, 22, 38, 52, 60; $\frac{n}{2} = 30$, अतः माध्यिका वर्ग 50-55 है — 1 अंक
2. $l = 50$, $cf = 22$, $f = 16$, $h = 5$ — 1 अंक
3. माध्यिका $= 50 + \frac{30 - 22}{16} \times 5 = 50 + 2.5 = 52.5$ kg — 1 अंक
4. बहुलक वर्ग 50-55; $l = 50$, $f_1 = 16$, $f_0 = 10$, $f_2 = 14$, $h = 5$ — 1 अंक
5. बहुलक $= 50 + \frac{16 - 10}{32 - 10 - 14} \times 5 = 50 + 3.75 = 53.75$ kg — 1 अंक

अथवा

नीचे दी गई सारणी में एक गाँव के किसानों द्वारा एक दिन में एक दुग्ध सहकारी समिति को दी गई दूध की मात्रा (लीटर में) दी गई है। माध्यिका मात्रा 24 लीटर है। लुप्त बारंबारता $p$ ज्ञात कीजिए और फिर आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $n = 42 + p$; संचयी बारंबारताएँ 8, 20, 35, $35 + p$, $42 + p$; माध्यिका 24 वर्ग 20-30 में है — 1 अंक
2. $24 = 20 + \frac{\frac{42 + p}{2} - 20}{15} \times 10$ — 1 अंक
3. $\frac{42 + p}{2} - 20 = 6$, अतः $42 + p = 52$ और $p = 10$ — 1 अंक
4. बहुलक वर्ग 20-30; $l = 20$, $f_1 = 15$, $f_0 = 12$, $f_2 = 10$, $h = 10$ — 1 अंक
5. बहुलक $= 20 + \frac{15 - 12}{30 - 12 - 10} \times 10 = 20 + 3.75 = 23.75$ लीटर — 1 अंक

खंड ङ (12 अंक)

प्रश्न 36 (4 अंक)

एक शहर का चिड़ियाघर वयस्क के लिए प्रवेश टिकट एक मूल्य पर और बच्चे के लिए उससे कम मूल्य पर बेचता है। शर्मा परिवार ने 2 वयस्कों और 3 बच्चों के टिकट खरीदे और ₹ 330 का भुगतान किया। अय्यर परिवार ने 3 वयस्कों और 4 बच्चों के टिकट खरीदे और ₹ 470 का भुगतान किया। माना एक वयस्क टिकट का मूल्य ₹ $x$ और एक बच्चे के टिकट का मूल्य ₹ $y$ है।

(i) इस स्थिति को दर्शाने वाला रैखिक समीकरण युग्म लिखिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $2x + 3y = 330$ और $3x + 4y = 470$ — 1 अंक

(ii) इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी, समांतर होंगी या संपाती होंगी? कारण दीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\frac{a_1}{a_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{b_1}{b_2} = \frac{3}{4}$ बराबर नहीं हैं, अतः रेखाएँ ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं — 1 अंक

(iii) एक वयस्क टिकट का मूल्य और एक बच्चे के टिकट का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. 3 और 2 से गुणा करने पर: $6x + 9y = 990$ और $6x + 8y = 940$; घटाने पर $y = 50$ — 1 अंक
2. $2x = 330 - 150 = 180$, अतः $x = 90$; वयस्क टिकट ₹ 90, बच्चे का टिकट ₹ 50 — 1 अंक

अथवा

(iii) चिड़ियाघर के अंदर टॉय-ट्रेन की सवारी का किराया एक वयस्क के लिए ₹ $a$ और एक बच्चे के लिए ₹ $b$ है। 4 वयस्कों और 2 बच्चों का किराया ₹ 200 है, तथा 2 वयस्कों और 5 बच्चों का किराया ₹ 220 है। $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $4a + 2b = 200$, अर्थात् $2a + b = 100$, और $2a + 5b = 220$; घटाने पर $4b = 120$, अतः $b = 30$ — 1 अंक
2. $2a = 100 - 30 = 70$, अतः $a = 35$; वयस्क ₹ 35, बच्चा ₹ 30 — 1 अंक

प्रश्न 37 (4 अंक)

एक पार्क में केंद्र $O$ और 7 m त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार फव्वारा है। पार्क का एक द्वार $P$, $O$ से 25 m दूर है। द्वार से दो सीधे रास्ते $PA$ और $PB$ निकलते हैं, जो फव्वारे के किनारे को $A$ और $B$ पर ठीक स्पर्श करते हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(i) रास्ते $PA$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $OA \perp PA$ (त्रिज्या स्पर्श रेखा पर लंब होती है), अतः $PA = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{576} = 24$ m — 1 अंक

(ii) चतुर्भुज $OAPB$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $PB = PA = 24$ m ($P$ से स्पर्श रेखाएँ), अतः $\triangle OAP \cong \triangle OBP$ और क्षेत्रफल $= 2 \times \frac{1}{2} \times 7 \times 24 = 168 \text{ m}^2$ — 1 अंक

(iii) $A$ से $B$ तक पानी का एक सीधा पाइप बिछाया जाता है। यह $OP$ को $M$ पर मिलता है। पाइप $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $PA = PB$ और $OA = OB$, अतः $OP$, $AB$ का लंब समद्विभाजक है: $AM \perp OP$ और $AB = 2AM$ — 1 अंक
2. $\frac{1}{2} \times OP \times AM = \frac{1}{2} \times OA \times PA$ (दोनों $\triangle OAP$ के क्षेत्रफल हैं), अतः $AM = \frac{7 \times 24}{25} = 6.72$ m और $AB = 13.44$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) एक अन्य द्वार $G$ इस प्रकार बनाया जाता है कि $G$ से फव्वारे को ठीक स्पर्श करने वाले दोनों सीधे रास्ते परस्पर $60^\circ$ का कोण बनाते हैं। $G$ केंद्र $O$ से कितनी दूर है, और इनमें से प्रत्येक रास्ता कितना लंबा है? ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (2 अंक)

उत्तर।

1. माना एक रास्ता फव्वारे को $T$ पर स्पर्श करता है। $OG$ रास्तों के बीच के कोण को समद्विभाजित करता है, अतः $\angle OGT = 30^\circ$, और $\angle OTG = 90^\circ$; $\sin 30^\circ = \frac{7}{OG}$ से $OG = 14$ m — 1 अंक
2. $GT = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} = 12.11$ m — 1 अंक

प्रश्न 38 (4 अंक)

एक पार्क के लॉन में बिंदु $O$ पर एक घूमने वाला स्प्रिंकलर लगा है। यह 21 m की दूरी तक पानी फेंकता है और $120^\circ$ के कोण में आगे-पीछे घूमता है, जिससे यह आकृति में दिखाए गए लॉन के त्रिज्यखंड $OAB$ की सिंचाई करता है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) चाप $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. चाप $= \frac{120}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21 = 44$ m — 1 अंक

(ii) स्प्रिंकलर द्वारा सींचे गए लॉन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. क्षेत्रफल $= \frac{120}{360} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = \frac{1}{3} \times 1386 = 462 \text{ m}^2$ — 1 अंक

(iii) पानी बचाने के लिए माली व्यवस्था बदल देता है, जिससे स्प्रिंकलर उसी दूरी तक पानी फेंकते हुए केवल $90^\circ$ में घूमता है। सिंचित क्षेत्रफल में कितनी कमी आती है? नई व्यवस्था में सिंचित भाग के उस हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो चाप और उसके दोनों सिरों को मिलाने वाली जीवा के बीच स्थित है। (2 अंक)

उत्तर।

1. नया क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{22}{7} \times 21 \times 21 = 346.5 \text{ m}^2$; कमी $= 462 - 346.5 = 115.5 \text{ m}^2$ — 1 अंक
2. वृत्तखंड $= 346.5 - \frac{1}{2} \times 21 \times 21 = 346.5 - 220.5 = 126 \text{ m}^2$ — 1 अंक

अथवा

(iii) लॉन के दूसरे भाग में लगे एक अन्य स्प्रिंकलर की पहुँच 28 m है और यह $90^\circ$ में घूमता है। इसके द्वारा सींचा गया क्षेत्रफल और सींचे गए भाग की परिसीमा की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. क्षेत्रफल $= \frac{90}{360} \times \frac{22}{7} \times 28 \times 28 = 616 \text{ m}^2$ — 1 अंक
2. चाप $= \frac{90}{360} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 28 = 44$ m; परिसीमा $= 28 + 28 + 44 = 100$ m — 1 अंक