प्रश्न पत्र

CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 4

समय: 3 घंटे · अधिकतम अंक: 80

सामान्य निर्देश

1. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
2. यह प्रश्न पत्र पाँच खंडों में विभाजित है: क, ख, ग, घ और ङ।
3. खंड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं तथा प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
4. खंड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।
5. खंड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।
6. खंड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।
7. खंड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन (केस स्टडी) आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है, जिसके उप-भाग 1, 1 और 2 अंकों के हैं।
8. प्रश्न पत्र में समग्र विकल्प नहीं है। तथापि, खंड ख, ग और घ के 2-2 प्रश्नों में तथा खंड ङ के प्रत्येक प्रश्न के 2 अंकों वाले उप-भाग में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
9. जहाँ आवश्यक हो, स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। यदि अन्यथा न कहा गया हो, तो जहाँ आवश्यक हो π = 22/7 लीजिए।
10. कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

इस प्रश्न पत्र का उपयोग कैसे करें: 3 घंटे का टाइमर लगाइए और बोर्ड परीक्षा की तरह सभी उत्तर कॉपी पर लिखिए। पूरा करने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दी गई क्विज़ से अपने वस्तुनिष्ठ (बहुविकल्पीय) उत्तरों का स्कोर तुरंत देखिए, फिर विस्तृत हल खोलकर बाकी उत्तर चरण-दर-चरण, हर चरण के अंकों के साथ मिलाइए।

खंड क (20 अंक)

इस खंड में 18 बहुविकल्पीय प्रश्न और 2 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।

1. वह सबसे छोटी संख्या, जिसे 18, 24 और 30 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 4 प्राप्त होता है, है

(a) 364
(b) 356
(c) 360
(d) 724

2. यदि बहुपद $3x^2 + 8x + k$ का एक शून्यक दूसरे का व्युत्क्रम है, तो $k$ का मान है

(a) $8$
(b) $-3$
(c) $3$
(d) $\frac{1}{3}$

3. निम्नलिखित में से कौन-सा बिंदु दोनों रेखाओं $2x + y = 7$ और $x - y = 2$ पर स्थित है?

(a) $(1, 5)$
(b) $(4, 2)$
(c) $(5, 3)$
(d) $(3, 1)$

4. एक धनात्मक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $\frac{10}{3}$ है। इस स्थिति को निरूपित करने वाला द्विघात समीकरण है

(a) $3x^2 + 10x + 3 = 0$
(b) $3x^2 - 10x + 3 = 0$
(c) $10x^2 - 3x + 10 = 0$
(d) $3x^2 - 10x - 3 = 0$

5. पहली 20 विषम प्राकृत संख्याओं का योग है

(a) 400
(b) 420
(c) 441
(d) 380

6. शीर्षों $O(0, 0)$, $A(8, 0)$ और $B(0, 15)$ वाले त्रिभुज का परिमाप है

(a) 23 मात्रक
(b) 60 मात्रक
(c) 34 मात्रक
(d) 40 मात्रक

7. आकृति में $\triangle ABC$ का कोण $A$ समकोण है और $AD \perp BC$ है। यदि $BD = 4$ cm और $DC = 9$ cm है, तो $AD$ बराबर है

(a) 6.5 cm
(b) 6 cm
(c) 13 cm
(d) 5 cm

8. आकृति में केंद्र $O$ वाले एक वृत्त पर $XY$ और $X'Y'$ दो समांतर स्पर्श रेखाएँ हैं। स्पर्श बिंदु $C$ वाली एक अन्य स्पर्श रेखा $AB$, $XY$ को $A$ पर और $X'Y'$ को $B$ पर मिलती है। $\angle AOB$ की माप है

(a) $60^\circ$
(b) $80^\circ$
(c) $90^\circ$
(d) $120^\circ$

9. यदि $\cos A = \frac{7}{25}$ है, जहाँ $A$ एक न्यून कोण है, तो $\tan A + \cot A$ का मान है

(a) $\frac{625}{168}$
(b) $1$
(c) $\frac{168}{625}$
(d) $\frac{527}{168}$

10. $\sin^2 60^\circ - \cos^2 45^\circ + \tan^2 30^\circ$ का मान है

(a) $\frac{1}{12}$
(b) $\frac{5}{12}$
(c) $\frac{11}{12}$
(d) $\frac{7}{12}$

11. यदि $\sin\theta - \cos\theta = 0$ है, तो $\sin^4\theta + \cos^4\theta$ का मान है

(a) $1$
(b) $\frac{1}{2}$
(c) $\frac{1}{4}$
(d) $2$

12. समतल भूमि पर एक नीम के पेड़ के पाद से 12 m दूर स्थित एक बिंदु से पेड़ के शिखर का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। पेड़ की ऊँचाई है

(a) $4\sqrt{3}$ m
(b) 24 m
(c) $12\sqrt{3}$ m
(d) 6 m

13. एक वृत्त की परिधि और व्यास का अंतर 30 cm है। वृत्त की त्रिज्या है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) 7 cm
(b) 14 cm
(c) 3.5 cm
(d) 10.5 cm

14. 12 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त के एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $24\pi \text{ cm}^2$ है। त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई है

(a) $2\pi$ cm
(b) $8\pi$ cm
(c) $12\pi$ cm
(d) $4\pi$ cm

15. एक ठोस गोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $S$ है। इसे काटकर दो बराबर अर्धगोले बनाए जाते हैं। दोनों अर्धगोलों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल मिलाकर है

(a) $S$
(b) $\frac{3S}{2}$
(c) $2S$
(d) $3S$

16. आधार त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 10 cm वाले एक लंब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) $220 \text{ cm}^2$
(b) $374 \text{ cm}^2$
(c) $154 \text{ cm}^2$
(d) $440 \text{ cm}^2$

17. शब्द MATHEMATICS के अक्षरों में से एक अक्षर यादृच्छया चुना जाता है। इसके स्वर होने की प्रायिकता है

(a) $\frac{7}{11}$
(b) $\frac{4}{7}$
(c) $\frac{4}{11}$
(d) $\frac{3}{11}$

18. दो सिक्के एक साथ उछाले जाते हैं। अधिक से अधिक एक चित प्राप्त होने की प्रायिकता है

(a) $\frac{1}{4}$
(b) $\frac{1}{2}$
(c) $1$
(d) $\frac{3}{4}$

निर्देश: प्रश्न संख्या 19 और 20 में एक अभिकथन (A) के बाद एक तर्क (R) दिया गया है। सही विकल्प चुनिए।

19. अभिकथन (A): वर्ग अंतराल 10-25 का वर्ग चिह्न 17.5 है।

तर्क (R): किसी वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न उसकी वर्ग माप का आधा होता है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

20. अभिकथन (A): बहुपद $2x^2 - 8x + 5$ के शून्यकों का योग $4$ है।

तर्क (R): बहुपद $ax^2 + bx + c$ $(a \neq 0)$ के शून्यकों का गुणनफल $\frac{c}{a}$ होता है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

खंड ख (10 अंक)

इस खंड में 5 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।

21. दिया गया है कि $\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $7 - 3\sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। (2 अंक)

22. एक वृत्त का केंद्र $C(2, -3)$ है और यह बिंदु $P(-4, 5)$ से होकर जाता है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। क्या बिंदु $Q(10, 3)$ इस वृत्त पर स्थित है? कारण दीजिए। (2 अंक)

23. समतल भूमि पर बिंदुओं $B$ और $D$ पर क्रमशः 6 m और 9 m ऊँचे दो ऊर्ध्वाधर खंभे $AB$ और $CD$ खड़े हैं। $A$ से $D$ तक और $C$ से $B$ तक तार तने हुए हैं, जो एक-दूसरे को $P$ पर काटते हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। भूमि से इस प्रतिच्छेद बिंदु की ऊँचाई $PM$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

$\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ में $\angle A = \angle P$ और $\angle B = \angle Q$ है। यदि $AB = 6$ cm, $BC = (2x + 1)$ cm, $PQ = 4$ cm और $QR = (x + 2)$ cm है, तो $x$ तथा $BC$ और $QR$ की लंबाइयाँ ज्ञात कीजिए।

24. आकृति में एक वृत्त $\triangle ABC$ की भुजा $BC$ को $P$ पर स्पर्श करता है, तथा बढ़ाई गई भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है। यदि $AB = 7$ cm, $BC = 6$ cm और $CA = 5$ cm है, तो $AQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

25. एक रॉकेट का ठोस मॉडल 5 cm त्रिज्या और 20 cm ऊँचाई वाले एक लंब वृत्तीय बेलन से बना है, जिसके ऊपर समान त्रिज्या और 12 cm ऊँचाई वाला एक लंब वृत्तीय शंकु लगा है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। मॉडल का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $\pi$ के पदों में ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

एक मापक पात्र 3 cm आंतरिक त्रिज्या और 10 cm ऊँचाई वाला एक खोखला बेलन है, जिसका निचला सिरा समान त्रिज्या वाले एक अर्धगोलाकार कटोरे से बंद है। पात्र में कितना द्रव आ सकता है? उत्तर $\pi$ के पदों में दीजिए।

खंड ग (18 अंक)

इस खंड में 6 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।

26. एक विद्यालय की पुस्तकालयाध्यक्ष के पास हिंदी की 336, अंग्रेज़ी की 240 और विज्ञान की 216 पुस्तकें हैं। वह इन्हें ढेरों में इस प्रकार रखना चाहती है कि प्रत्येक ढेर में पुस्तकों की संख्या समान हो और प्रत्येक ढेर में केवल एक ही विषय की पुस्तकें हों। एक ढेर में अधिक से अधिक कितनी पुस्तकें रखी जा सकती हैं? कुल कितने ढेर बनेंगे? (3 अंक)

27. यदि $\alpha$ और $\beta$ बहुपद $x^2 - 3x - 10$ के शून्यक हैं, तो एक ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिसके शून्यक $\alpha^2$ और $\beta^2$ हों। (3 अंक)

28. मीरा से 100 और 200 के बीच स्थित 6 के सभी गुणजों का योग ज्ञात करने को कहा गया। उसका हल नीचे दिया गया है।

पहला पद $a = 102$, अंतिम पद $l = 198$, सार्व अंतर $d = 6$।

पदों की संख्या $n = \frac{198 - 102}{6} = 16$।

योग $= \frac{16}{2}(102 + 198) = 2400$।

क्या उसका उत्तर सही है? यदि नहीं, तो गलती बताइए और सही योग ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

अथवा

एक समांतर श्रेढ़ी का 5वाँ पद 17 है और इसके पहले 10 पदों का योग 185 है। समांतर श्रेढ़ी ज्ञात कीजिए।

29. बिंदु $P(x, 6)$, बिंदुओं $A(-6, 9)$ और $B(10, -3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड पर स्थित है। वह अनुपात ज्ञात कीजिए जिसमें $P$ रेखाखंड $AB$ को विभाजित करता है, और $x$ का मान ज्ञात कीजिए। दूरी सूत्र से $AP$ और $PB$ ज्ञात करके अनुपात की जाँच कीजिए। (3 अंक)

30. सिद्ध कीजिए: $\frac{\cos^2 A}{1 - \sin A} + \frac{\sin^2 A}{1 + \cos A} = 2 + \sin A - \cos A$ (3 अंक)

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan^2 A}{\sec A - 1} + \frac{\cot^2 A}{\text{cosec}\,A + 1} = \sec A + \text{cosec}\,A$

31. अच्छी प्रकार से फेंटी गई 52 पत्तों की ताश की गड्डी में से एक पत्ता यादृच्छया निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि निकाला गया पत्ता (i) लाल रंग का बादशाह है, (ii) न तो पान का पत्ता है और न ही बादशाह है, (iii) काले रंग का ऐसा पत्ता है जो चित्र पत्ता नहीं है। (3 अंक)

खंड घ (20 अंक)

इस खंड में 4 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।

32. एक पंक्ति में पास-पास बैठे तीन विद्यार्थियों के अनुक्रमांक (रोल नंबर) तीन क्रमागत प्राकृत संख्याएँ हैं। सबसे छोटे और सबसे बड़े अनुक्रमांक के गुणनफल में बीच वाले अनुक्रमांक का 5 गुना जोड़ने पर 233 प्राप्त होता है। तीनों अनुक्रमांक ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

एक माँ अपनी बेटी से 26 वर्ष बड़ी है। अब से पाँच वर्ष बाद उनकी आयु (वर्षों में) का गुणनफल 615 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

33. आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय का कथन लिखिए और उसे सिद्ध कीजिए ($\triangle PQR$ लीजिए, जिसमें $ST \parallel QR$ है)। इसका प्रयोग करके निम्नलिखित को हल कीजिए: आकृति में $ABCD$ एक समलंब है, जिसमें $AB \parallel DC$ है, तथा $E$ और $F$ क्रमशः $AD$ और $BC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $EF \parallel AB$ है। यदि $AE = (x - 1)$ cm, $ED = (x + 2)$ cm, $BF = x$ cm और $FC = 2x$ cm है, तो $x$ ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

34. एक हवाई जहाज़ भूमि से 2500 m की स्थिर ऊँचाई पर क्षैतिज रूप से उड़ रहा है और भूमि पर खड़े एक प्रेक्षक से दूर जा रहा है। किसी क्षण प्रेक्षक से हवाई जहाज़ का उन्नयन कोण $45^\circ$ है और 10 सेकंड बाद यह $30^\circ$ हो जाता है। हवाई जहाज़ की चाल km/h में ज्ञात कीजिए। दूसरे क्षण पर प्रेक्षक से हवाई जहाज़ की दूरी भी ज्ञात कीजिए। ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (5 अंक)

35. एक विद्यालय की कक्षा 10 के 60 विद्यार्थियों के भार (kg में) नीचे दिए गए हैं।

भारों की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

नीचे दी गई सारणी में एक गाँव के किसानों द्वारा एक दिन में एक दुग्ध सहकारी समिति को दी गई दूध की मात्रा (लीटर में) दी गई है। माध्यिका मात्रा 24 लीटर है। लुप्त बारंबारता $p$ ज्ञात कीजिए और फिर आँकड़ों का बहुलक ज्ञात कीजिए।

खंड ङ (12 अंक)

इस खंड में 3 प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

36. एक शहर का चिड़ियाघर वयस्क के लिए प्रवेश टिकट एक मूल्य पर और बच्चे के लिए उससे कम मूल्य पर बेचता है। शर्मा परिवार ने 2 वयस्कों और 3 बच्चों के टिकट खरीदे और ₹ 330 का भुगतान किया। अय्यर परिवार ने 3 वयस्कों और 4 बच्चों के टिकट खरीदे और ₹ 470 का भुगतान किया। माना एक वयस्क टिकट का मूल्य ₹ $x$ और एक बच्चे के टिकट का मूल्य ₹ $y$ है।

(i) इस स्थिति को दर्शाने वाला रैखिक समीकरण युग्म लिखिए। (1 अंक)

(ii) इन समीकरणों को निरूपित करने वाली रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी, समांतर होंगी या संपाती होंगी? कारण दीजिए। (1 अंक)

(iii) एक वयस्क टिकट का मूल्य और एक बच्चे के टिकट का मूल्य ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) चिड़ियाघर के अंदर टॉय-ट्रेन की सवारी का किराया एक वयस्क के लिए ₹ $a$ और एक बच्चे के लिए ₹ $b$ है। 4 वयस्कों और 2 बच्चों का किराया ₹ 200 है, तथा 2 वयस्कों और 5 बच्चों का किराया ₹ 220 है। $a$ और $b$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

37. एक पार्क में केंद्र $O$ और 7 m त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार फव्वारा है। पार्क का एक द्वार $P$, $O$ से 25 m दूर है। द्वार से दो सीधे रास्ते $PA$ और $PB$ निकलते हैं, जो फव्वारे के किनारे को $A$ और $B$ पर ठीक स्पर्श करते हैं, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है।

(i) रास्ते $PA$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) चतुर्भुज $OAPB$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) $A$ से $B$ तक पानी का एक सीधा पाइप बिछाया जाता है। यह $OP$ को $M$ पर मिलता है। पाइप $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) एक अन्य द्वार $G$ इस प्रकार बनाया जाता है कि $G$ से फव्वारे को ठीक स्पर्श करने वाले दोनों सीधे रास्ते परस्पर $60^\circ$ का कोण बनाते हैं। $G$ केंद्र $O$ से कितनी दूर है, और इनमें से प्रत्येक रास्ता कितना लंबा है? ($\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (2 अंक)

38. एक पार्क के लॉन में बिंदु $O$ पर एक घूमने वाला स्प्रिंकलर लगा है। यह 21 m की दूरी तक पानी फेंकता है और $120^\circ$ के कोण में आगे-पीछे घूमता है, जिससे यह आकृति में दिखाए गए लॉन के त्रिज्यखंड $OAB$ की सिंचाई करता है। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(i) चाप $AB$ की लंबाई ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) स्प्रिंकलर द्वारा सींचे गए लॉन का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) पानी बचाने के लिए माली व्यवस्था बदल देता है, जिससे स्प्रिंकलर उसी दूरी तक पानी फेंकते हुए केवल $90^\circ$ में घूमता है। सिंचित क्षेत्रफल में कितनी कमी आती है? नई व्यवस्था में सिंचित भाग के उस हिस्से का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जो चाप और उसके दोनों सिरों को मिलाने वाली जीवा के बीच स्थित है। (2 अंक)

अथवा

(iii) लॉन के दूसरे भाग में लगे एक अन्य स्प्रिंकलर की पहुँच 28 m है और यह $90^\circ$ में घूमता है। इसके द्वारा सींचा गया क्षेत्रफल और सींचे गए भाग की परिसीमा की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)