विस्तृत हल

विस्तृत हल: CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 5

प्रश्न पत्र के सभी लिखित प्रश्न (2, 3, 4 और 5 अंक) यहाँ क्रम से हल किए गए हैं, हर चरण के अंकों के साथ, ताकि आप अपनी उत्तर पुस्तिका परीक्षक की तरह जाँच सकें। जहाँ आंतरिक विकल्प (अथवा) है, वहाँ दोनों विकल्प हल किए गए हैं। 1 अंक वाले प्रश्नों के उत्तर व्याख्या सहित प्रश्न पत्र वाले पृष्ठ की क्विज़ में हैं।

खंड ख (10 अंक)

प्रश्न 21 (2 अंक)

दिया गया है कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $2 + 3\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर।

1. माना $2 + 3\sqrt{7} = r$, जहाँ $r$ परिमेय है; तब $\sqrt{7} = \frac{r - 2}{3}$ — 1 अंक
2. $\frac{r - 2}{3}$ परिमेय है, जबकि $\sqrt{7}$ अपरिमेय है - यह विरोधाभास है; अतः $2 + 3\sqrt{7}$ अपरिमेय है — 1 अंक

प्रश्न 22 (2 अंक)

एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यक $3 + \sqrt{2}$ और $3 - \sqrt{2}$ हैं।

उत्तर।

1. शून्यकों का योग $= (3 + \sqrt{2}) + (3 - \sqrt{2}) = 6$; गुणनफल $= (3 + \sqrt{2})(3 - \sqrt{2}) = 9 - 2 = 7$ — 1 अंक
2. शून्यकों को $\alpha$ और $\beta$ लेने पर बहुपद $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = x^2 - 6x + 7$ है (या इसका कोई शून्येतर अचर गुणज) — 1 अंक

प्रश्न 23 (2 अंक)

आकृति में $S$ और $T$ क्रमशः $\triangle PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $PS = 4$ cm, $PQ = 10$ cm, $PT = 6$ cm और $TR = 9$ cm है। दर्शाइए कि $ST \parallel QR$ है।

उत्तर।

1. $SQ = 10 - 4 = 6$ cm; $\frac{PS}{SQ} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ और $\frac{PT}{TR} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ — 1 अंक
2. चूँकि $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$, अतः आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय के विलोम से $ST \parallel QR$ — 1 अंक

अथवा

$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और भुजा $BC$ पर एक बिंदु $E$ है। रेखा $DE$ को बढ़ाने पर वह बढ़ाई गई $AB$ से $F$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle DCE \sim \triangle FBE$ है।

उत्तर।

1. $\triangle DCE$ और $\triangle FBE$ में: $\angle DEC = \angle FEB$ (शीर्षाभिमुख कोण) — 1 अंक
2. $DC \parallel AF$ और $BC$ तिर्यक रेखा है, अतः $\angle DCE = \angle FBE$ (एकांतर कोण); इसलिए $\triangle DCE \sim \triangle FBE$ (AA समरूपता) — 1 अंक

प्रश्न 24 (2 अंक)

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ उस जीवा के साथ बराबर कोण बनाती हैं।

उत्तर।

1. माना केंद्र $O$ वाले वृत्त की एक जीवा $AB$ है। $OA = OB$ (त्रिज्याएँ), अतः $\angle OAB = \angle OBA$ — 1 अंक
2. $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएँ क्रमशः $OA$ और $OB$ पर लंब हैं, अतः वे जीवा के साथ $90^\circ - \angle OAB$ और $90^\circ - \angle OBA$ के कोण बनाती हैं; ये बराबर हैं — 1 अंक

अथवा

केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त के बिंदु $A$ पर $PA$ एक स्पर्श रेखा है तथा $OP = 2r$ है। रेखाखंड $OP$ वृत्त को $B$ पर मिलता है। $\angle APO$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $\triangle OAB$ समबाहु है।

उत्तर।

1. $OA \perp PA$, अतः समकोण $\triangle OAP$ में $\sin \angle APO = \frac{OA}{OP} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$; इसलिए $\angle APO = 30^\circ$ — 1 अंक
2. $\angle AOB = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$ और $OA = OB = r$, अतः $\angle OAB = \angle OBA = 60^\circ$ और $\triangle OAB$ समबाहु है — 1 अंक

प्रश्न 25 (2 अंक)

यदि $\sqrt{3}\tan 2\theta = 3$ है, जहाँ $2\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\theta$ ज्ञात कीजिए। इससे $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\tan 2\theta = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} = \tan 60^\circ$, अतः $2\theta = 60^\circ$ और $\theta = 30^\circ$ — 1 अंक
2. $\sin^2 90^\circ + \cos^2 30^\circ = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ — 1 अंक

खंड ग (18 अंक)

प्रश्न 26 (3 अंक)

अंजलि और फ़रहान एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में, एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं। अंजलि एक चक्कर 4 मिनट 12 सेकंड में पूरा करती है और फ़रहान 4 मिनट 40 सेकंड में। कितने मिनट बाद वे फिर प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे? तब तक उनमें से प्रत्येक ने कितने चक्कर पूरे कर लिए होंगे?

उत्तर।

1. सेकंड में: $252 = 2^2 \times 3^2 \times 7$ और $280 = 2^3 \times 5 \times 7$ — 1 अंक
2. वे प्रारंभिक बिंदु पर $\text{LCM}(252, 280) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$ सेकंड $= 42$ मिनट बाद मिलेंगे — 1 अंक
3. चक्कर: अंजलि $\frac{2520}{252} = 10$, फ़रहान $\frac{2520}{280} = 9$ — 1 अंक

प्रश्न 27 (3 अंक)

आकृति में केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास $AB$ है, और वृत्त के बिंदु $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बढ़ाई गई $AB$ से $P$ पर मिलती है। यदि $\angle PCA = 115^\circ$ है, तो (i) $\angle CAB$, (ii) $\angle CBA$, (iii) $\angle CPA$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. (i) $OC \perp CP$, अतः $\angle OCA = 115^\circ - 90^\circ = 25^\circ$; $OA = OC$, अतः $\angle CAB = \angle OCA = 25^\circ$ — 1 अंक
2. (ii) $\angle ACB = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में कोण), अतः $\angle CBA = 180^\circ - 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ — 1 अंक
3. (iii) $\triangle PCA$ में $\angle CPA = 180^\circ - 115^\circ - 25^\circ = 40^\circ$ — 1 अंक

प्रश्न 28 (3 अंक)

सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan A}{\sec A - 1} + \frac{\tan A}{\sec A + 1} = 2\,\text{cosec}\, A$

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \tan A \times \frac{(\sec A + 1) + (\sec A - 1)}{\sec^2 A - 1} = \frac{2\tan A \sec A}{\sec^2 A - 1}$ — 1 अंक
2. $= \frac{2\tan A \sec A}{\tan^2 A} = \frac{2\sec A}{\tan A}$ — 1 अंक
3. $= 2 \times \frac{1}{\cos A} \times \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{2}{\sin A} = 2\,\text{cosec}\, A =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} + \frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \cos A} = \frac{2}{2\sin^2 A - 1}$

उत्तर।

1. बायाँ पक्ष $= \frac{(\sin A + \cos A)^2 + (\sin A - \cos A)^2}{\sin^2 A - \cos^2 A}$ — 1 अंक
2. $= \frac{2(\sin^2 A + \cos^2 A)}{\sin^2 A - \cos^2 A} = \frac{2}{\sin^2 A - \cos^2 A}$ — 1 अंक
3. $= \frac{2}{\sin^2 A - (1 - \sin^2 A)} = \frac{2}{2\sin^2 A - 1} =$ दायाँ पक्ष — 1 अंक

प्रश्न 29 (3 अंक)

42 cm त्रिज्या वाली कागज़ की एक वृत्ताकार चकती को एक जीवा $AB$ के अनुदिश काटा जाता है, जो केंद्र $O$ पर $60^\circ$ का कोण अंतरित करती है। छोटे टुकड़े (लघु वृत्तखंड) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

उत्तर।

1. त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $= \frac{60}{360} \times \frac{22}{7} \times 42 \times 42 = 924 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. $OA = OB$ और $\angle AOB = 60^\circ$, अतः $\triangle OAB$ समबाहु है; इसका क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} \times 42^2 = 441\sqrt{3} = 762.93 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $= 924 - 762.93 = 161.07 \text{ cm}^2$ — 1 अंक

प्रश्न 30 (3 अंक)

बच्चों के खेल-कोने के लिए लकड़ी का एक ब्लॉक 14 cm भुजा वाले एक घन के आकार का है, जिसके ऊपरी फलक के बीच में 7 cm व्यास का एक ठोस अर्धगोला लगा है। ब्लॉक के पूरे बाहरी पृष्ठ को ₹ 10 प्रति 100 $\text{cm}^2$ की दर से पेंट कराना है। ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल $= 6 \times 14 \times 14 = 1176 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
2. अर्धगोला ($r = 3.5$ cm) अपना वक्र पृष्ठ $2\pi r^2 = 77 \text{ cm}^2$ जोड़ता है, पर ऊपरी फलक का $\pi r^2 = 38.5 \text{ cm}^2$ क्षेत्रफल वाला वृत्त ढक देता है; कुल $= 1176 + 77 - 38.5 = 1214.5 \text{ cm}^2$ — 1 अंक
3. व्यय $= \frac{1214.5 \times 10}{100} =$ ₹ 121.45 — 1 अंक

अथवा

लकड़ी का एक कलमदान एक घनाभ के आकार का है, जिसका आधार 10 cm भुजा वाला वर्ग है और ऊँचाई 12 cm है। कलम रखने के लिए इसमें ऊपर से 3.5 cm त्रिज्या और 10 cm गहराई का एक बेलनाकार गड्ढा बनाया गया है। कलमदान में बची लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि इस लकड़ी के 1 $\text{cm}^3$ का द्रव्यमान 0.8 g है, तो कलमदान का द्रव्यमान भी ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

उत्तर।

1. घनाभ का आयतन $= 10 \times 10 \times 12 = 1200 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
2. गड्ढे का आयतन $= \pi r^2 h = \frac{22}{7} \times 3.5 \times 3.5 \times 10 = 385 \text{ cm}^3$; बची लकड़ी $= 1200 - 385 = 815 \text{ cm}^3$ — 1 अंक
3. द्रव्यमान $= 815 \times 0.8 = 652$ g — 1 अंक

प्रश्न 31 (3 अंक)

एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) प्राप्त दोनों संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है, (ii) दोनों संख्याओं का गुणनफल विषम है, (iii) दोनों संख्याओं का अंतर 2 है।

उत्तर।

1. कुल 36 समसंभावी परिणाम हैं। (i) अभाज्य योग 2, 3, 5, 7, 11 कुल $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ परिणामों में आते हैं; $P = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ — 1 अंक
2. (ii) गुणनफल तभी विषम है जब दोनों संख्याएँ विषम हों: $3 \times 3 = 9$ परिणाम; $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ — 1 अंक
3. (iii) अंतर 2: (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (3, 5), (5, 3), (4, 6), (6, 4), यानी 8 परिणाम; $P = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$ — 1 अंक

खंड घ (20 अंक)

प्रश्न 32 (5 अंक)

एक तरणताल एक निश्चित मासिक शुल्क लेता है और इसके अतिरिक्त हर बार आने पर एक निश्चित राशि लेता है। जून में रितु तरणताल 12 बार गई और उसने कुल ₹ 1300 का भुगतान किया, जबकि कबीर 20 बार गया और उसने कुल ₹ 1700 का भुगतान किया। निश्चित मासिक शुल्क और प्रति बार का शुल्क ज्ञात कीजिए। जुलाई में मीरा तरणताल पर ₹ 2000 खर्च कर सकती है। उस महीने वह अधिक से अधिक कितनी बार तरणताल जा सकती है?

उत्तर।

1. माना निश्चित शुल्क ₹ $x$ और प्रति बार का शुल्क ₹ $y$ है: $x + 12y = 1300$ और $x + 20y = 1700$ — 2 अंक
2. घटाने पर $8y = 400$, अतः $y = 50$ — 1 अंक
3. $x = 1300 - 12 \times 50 = 700$ — 1 अंक
4. मीरा: $700 + 50n = 2000$ से $n = 26$ बार — 1 अंक

अथवा

सुनीता ने अपनी बचत का एक भाग 6% वार्षिक साधारण ब्याज वाली योजना में और शेष भाग 8% वार्षिक साधारण ब्याज वाली योजना में निवेश किया। एक वर्ष में उसे कुल ₹ 3600 ब्याज मिला। यदि उसने दोनों भाग उलटकर निवेश किए होते, तो उस वर्ष का ब्याज ₹ 200 कम होता। उसने प्रत्येक योजना में कितनी राशि निवेश की? यदि वह पूरी बचत 7% वार्षिक दर पर निवेश करती, तो एक वर्ष का ब्याज कितना होता?

उत्तर।

1. माना ₹ $x$ 6% पर और ₹ $y$ 8% पर: $6x + 8y = 360000$ और $8x + 6y = 340000$, अर्थात् $3x + 4y = 180000$ और $4x + 3y = 170000$ — 2 अंक
2. जोड़ने पर $7(x + y) = 350000$, अतः $x + y = 50000$; घटाने पर $y - x = 10000$ — 1 अंक
3. $y = 30000$ और $x = 20000$: ₹ 20000 6% पर और ₹ 30000 8% पर — 1 अंक
4. ₹ 50000 पर 7% की दर से ब्याज $\frac{7 \times 50000}{100} =$ ₹ 3500 — 1 अंक

प्रश्न 33 (5 अंक)

दो नल एक साथ मिलकर छत पर रखी पानी की एक टंकी को $3\frac{3}{4}$ घंटे में भर सकते हैं। बड़ा नल अकेले टंकी भरने में छोटे नल से 4 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अकेले टंकी भरने में लगा समय ज्ञात कीजिए। एक सुबह खाली टंकी में दोनों नल 2 घंटे तक एक साथ खोले गए और फिर बड़ा नल बंद कर दिया गया। टंकी भरने में छोटे नल को और कितना समय लगा?

उत्तर।

1. माना बड़ा नल $x$ घंटे लेता है; छोटा नल $(x + 4)$ घंटे लेता है। 1 घंटे में: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{4}{15}$ — 1 अंक
2. $15(2x + 4) = 4x(x + 4)$, अर्थात् $2x^2 - 7x - 30 = 0$ — 1 अंक
3. $(x - 6)(2x + 5) = 0$, अतः $x = 6$ ($x = -\frac{5}{2}$ अस्वीकार्य); बड़ा नल 6 घंटे, छोटा नल 10 घंटे — 1 अंक
4. 2 घंटे में दोनों नल टंकी का $2\left(\frac{1}{6} + \frac{1}{10}\right) = \frac{8}{15}$ भाग भरते हैं, अतः $\frac{7}{15}$ भाग बचता है — 1 अंक
5. छोटे नल को $\frac{7}{15} \times 10 = \frac{14}{3}$ घंटे $= 4$ घंटे 40 मिनट और लगते हैं — 1 अंक

प्रश्न 34 (5 अंक)

आकृति में $AD$ और $BE$ न्यूनकोण त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंब हैं, जहाँ $D$ भुजा $BC$ पर और $E$ भुजा $AC$ पर है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle ADC \sim \triangle BEC$ है।

(ii) इससे दर्शाइए कि $CA \times CE = CB \times CD$ है।

(iii) यदि $AC = 10$ cm, $BC = 15$ cm और $CD = 6$ cm है, तो $CE$ और $BE$ ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. $\triangle ADC$ और $\triangle BEC$ में: $\angle ADC = \angle BEC = 90^\circ$ और $\angle ACD = \angle BCE$ (उभयनिष्ठ कोण) — 1 अंक
2. अतः $\triangle ADC \sim \triangle BEC$ (AA समरूपता), जहाँ $A \leftrightarrow B$, $D \leftrightarrow E$, $C \leftrightarrow C$ — 1 अंक
3. इसलिए $\frac{AD}{BE} = \frac{DC}{EC} = \frac{AC}{BC}$; $\frac{DC}{EC} = \frac{AC}{BC}$ से $CA \times CE = CB \times CD$ — 1 अंक
4. $10 \times CE = 15 \times 6$, अतः $CE = 9$ cm — 1 अंक
5. समकोण $\triangle ADC$ में $AD = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$ cm; $\frac{BE}{AD} = \frac{BC}{AC}$ से $BE = \frac{8 \times 15}{10} = 12$ cm — 1 अंक

प्रश्न 35 (5 अंक)

एक आवासीय सोसाइटी के 50 परिवारों की पानी की दैनिक खपत नीचे दी गई है।

पग-विचलन विधि से पानी की माध्य दैनिक खपत ज्ञात कीजिए। पानी की दैनिक खपत की माध्यिका भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. वर्ग चिह्न 125, 175, 225, 275, 325, 375; $a = 225$ और $h = 50$ लेने पर $u_i = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ — 1 अंक
2. $\sum f_i u_i = -12 - 7 + 0 + 10 + 14 + 15 = 20$ — 1 अंक
3. माध्य $= a + h \times \frac{\sum f_i u_i}{\sum f_i} = 225 + 50 \times \frac{20}{50} = 245$ लीटर — 1 अंक
4. संचयी बारंबारताएँ 6, 13, 28, 38, 45, 50; $\frac{n}{2} = 25$, अतः माध्यिका वर्ग 200-250 है, जहाँ $l = 200$, $cf = 13$, $f = 15$, $h = 50$ — 1 अंक
5. माध्यिका $= 200 + \frac{25 - 13}{15} \times 50 = 200 + 40 = 240$ लीटर — 1 अंक

अथवा

नीचे दी गई सारणी में एक कॉलोनी के 60 परिवारों द्वारा एक महीने में उपयोग किया गया मोबाइल डेटा (GB में) दिया गया है।

आँकड़ों की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

उत्तर।

1. संचयी बारंबारताएँ 4, 9, 21, 39, 53, 60; $\frac{n}{2} = 30$, अतः माध्यिका वर्ग 40-50 है — 1 अंक
2. $l = 40$, $cf = 21$, $f = 18$, $h = 10$: माध्यिका $= 40 + \frac{30 - 21}{18} \times 10 = 45$ GB — 1.5 अंक
3. बहुलक वर्ग 40-50; $l = 40$, $f_1 = 18$, $f_0 = 12$, $f_2 = 14$, $h = 10$ — 1 अंक
4. बहुलक $= 40 + \frac{18 - 12}{36 - 12 - 14} \times 10 = 40 + 6 = 46$ GB — 1.5 अंक

खंड ङ (12 अंक)

प्रश्न 36 (4 अंक)

काव्या हाफ़ मैराथन के लिए अभ्यास कर रही है। अपनी अभ्यास योजना के पहले सप्ताह में वह कुल 12 km दौड़ती है, और उसके बाद हर सप्ताह वह पिछले सप्ताह से 1.5 km अधिक दौड़ती है।

(i) वह 8वें सप्ताह में कितने किलोमीटर दौड़ती है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $a_8 = 12 + 7 \times 1.5 = 22.5$ km — 1 अंक

(ii) किस सप्ताह में वह पहली बार 30 km दौड़ती है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $12 + (n - 1) \times 1.5 = 30$ से $n - 1 = 12$, $n = 13$; 13वाँ सप्ताह — 1 अंक

(iii) पहले 12 सप्ताहों में वह कुल कितनी दूरी दौड़ती है, ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $S_{12} = \frac{12}{2}[2 \times 12 + 11 \times 1.5]$ — 1 अंक
2. $= 6 \times 40.5 = 243$ km — 1 अंक

अथवा

(iii) 5वें सप्ताह से 12वें सप्ताह तक (दोनों सप्ताह सम्मिलित) वह कुल कितनी दूरी दौड़ती है, ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. $a_5 = 12 + 4 \times 1.5 = 18$ km और $a_{12} = 12 + 11 \times 1.5 = 28.5$ km — 1 अंक
2. ये 8 सप्ताह हैं: $\frac{8}{2}(18 + 28.5) = 4 \times 46.5 = 186$ km — 1 अंक

प्रश्न 37 (4 अंक)

सर्दियों के एक मेले में एक गर्म हवा का गुब्बारा समतल भूमि पर स्थित बिंदु $Q$ से ऊर्ध्वाधर ऊपर उठ रहा है। अनिल 50 m ऊँचे एक भवन की समतल छत के उस किनारे $A$ पर खड़ा है जो गुब्बारे की ओर है। किसी क्षण $A$ से $Q$ का अवनमन कोण $45^\circ$ है और $A$ से गुब्बारे $B$ का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। ($A$ को प्रेक्षण बिंदु मानिए, तथा $\sqrt{2} = 1.41$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

(i) भवन के पाद से $Q$ कितनी दूर है? (1 अंक)

उत्तर।

1. $\tan 45^\circ = \frac{50}{d}$, अतः $d = 50$ m — 1 अंक

(ii) दूरी $AQ$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $\cos 45^\circ = \frac{50}{AQ}$, अतः $AQ = 50\sqrt{2} = 70.5$ m — 1 अंक

(iii) उस क्षण भूमि से गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $QB$ पर छत के स्तर का बिंदु $M$ है; $AM = 50$ m और $\tan 60^\circ = \frac{BM}{50}$, अतः $BM = 50\sqrt{3} = 86.5$ m — 1 अंक
2. ऊँचाई $= QM + MB = 50 + 86.5 = 136.5$ m — 1 अंक

अथवा

(iii) उस क्षण अनिल और गुब्बारे के बीच की दूरी $AB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $QB$ पर छत के स्तर का बिंदु $M$ है; $AM = 50$ m और $\angle BAM = 60^\circ$ — 1 अंक
2. $\cos 60^\circ = \frac{AM}{AB}$, अतः $AB = \frac{50}{1/2} = 100$ m — 1 अंक

प्रश्न 38 (4 अंक)

एक नगर का मानचित्र एक निर्देशांक तल पर बनाया गया है, जिसमें 1 मात्रक = 1 km है (आकृति देखिए)। एक डिलीवरी कंपनी का गोदाम $W(2, 1)$ पर है, उसका एक नियमित ग्राहक $C(8, 9)$ पर रहता है, और उसका दूसरा स्टोर $S(12, 7)$ पर है। x-अक्ष नगर की रिंग रोड के अनुदिश है।

(i) गोदाम और ग्राहक के घर के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $WC = \sqrt{(8 - 2)^2 + (9 - 1)^2} = \sqrt{36 + 64} = 10$ km — 1 अंक

(ii) एक डिलीवरी सवार $W$ से $C$ तक के सीधे रास्ते पर उस बिंदु $P$ पर रुकता है, जिसके लिए $WP : PC = 3 : 2$ है। $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

उत्तर।

1. $P = \left(\frac{3 \times 8 + 2 \times 2}{5}, \frac{3 \times 9 + 2 \times 1}{5}\right) = (5.6, 5.8)$ — 1 अंक

(iii) कंपनी एक डिपो $D$ इस प्रकार खोलना चाहती है कि $W$, $C$, $S$ और $D$, इसी क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों। $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. विकर्ण $WS$ और $CD$ एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; $WS$ का मध्य-बिंदु $\left(\frac{2 + 12}{2}, \frac{1 + 7}{2}\right) = (7, 4)$ है — 1 अंक
2. यदि $D = (x, y)$, तो $\frac{8 + x}{2} = 7$ और $\frac{9 + y}{2} = 4$, अतः $D = (6, -1)$ — 1 अंक

अथवा

(iii) रिंग रोड पर एक ईंधन स्टेशन $F$ इस प्रकार बनाना है कि वह $C$ और $S$ से समदूरस्थ हो। $F$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

उत्तर।

1. माना $F = (x, 0)$; $FC = FS$ से $(x - 8)^2 + 81 = (x - 12)^2 + 49$ — 1 अंक
2. $-16x + 145 = -24x + 193$, अतः $8x = 48$ और $x = 6$; $F = (6, 0)$ — 1 अंक