प्रश्न पत्र

CBSE कक्षा 10 गणित सैंपल पेपर 2027 – सेट 5

समय: 3 घंटे · अधिकतम अंक: 80

सामान्य निर्देश

1. इस प्रश्न पत्र में 38 प्रश्न हैं। सभी प्रश्न अनिवार्य हैं।
2. यह प्रश्न पत्र पाँच खंडों में विभाजित है: क, ख, ग, घ और ङ।
3. खंड क में प्रश्न संख्या 1 से 18 बहुविकल्पीय प्रश्न (MCQ) हैं तथा प्रश्न संख्या 19 और 20 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।
4. खंड ख में प्रश्न संख्या 21 से 25 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।
5. खंड ग में प्रश्न संख्या 26 से 31 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।
6. खंड घ में प्रश्न संख्या 32 से 35 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।
7. खंड ङ में प्रश्न संख्या 36 से 38 प्रकरण अध्ययन (केस स्टडी) आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है, जिसके उप-भाग 1, 1 और 2 अंकों के हैं।
8. प्रश्न पत्र में समग्र विकल्प नहीं है। तथापि, खंड ख, ग और घ के 2-2 प्रश्नों में तथा खंड ङ के प्रत्येक प्रश्न के 2 अंकों वाले उप-भाग में आंतरिक विकल्प दिया गया है।
9. जहाँ आवश्यक हो, स्वच्छ आकृतियाँ बनाइए। यदि अन्यथा न कहा गया हो, तो जहाँ आवश्यक हो π = 22/7 लीजिए।
10. कैलकुलेटर का प्रयोग वर्जित है।

इस प्रश्न पत्र का उपयोग कैसे करें: 3 घंटे का टाइमर लगाइए और बोर्ड परीक्षा की तरह सभी उत्तर कॉपी पर लिखिए। पूरा करने के बाद इस पृष्ठ के अंत में दी गई क्विज़ से अपने वस्तुनिष्ठ (बहुविकल्पीय) उत्तरों का स्कोर तुरंत देखिए, फिर विस्तृत हल खोलकर बाकी उत्तर चरण-दर-चरण, हर चरण के अंकों के साथ मिलाइए।

खंड क (20 अंक)

इस खंड में 18 बहुविकल्पीय प्रश्न और 2 अभिकथन-तर्क आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 1 अंक का है।

1. शून्यकों $\alpha$ और $\beta$ वाले द्विघात बहुपद $x^2 - 8x + 6$ के लिए शून्यकों के वर्गों का योग $\alpha^2 + \beta^2$ बराबर है

(a) $76$
(b) $58$
(c) $52$
(d) $64$

2. रैखिक समीकरण युग्म $3x + ky = 9$ और $12x + 8y = 20$ का कोई हल नहीं होगा, यदि $k$ का मान है

(a) $2$
(b) $\frac{18}{5}$
(c) $4$
(d) $-2$

3. निम्नलिखित में से किस द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं?

(a) $x^2 + x + 1 = 0$
(b) $4x^2 - 4x + 1 = 0$
(c) $2x^2 + 3x + 5 = 0$
(d) $3x^2 - 5x + 1 = 0$

4. यदि $2k + 1$, $13$ और $5k - 3$ किसी समांतर श्रेढ़ी के तीन क्रमागत पद हैं, तो $k$ का मान है

(a) $3$
(b) $4$
(c) $5$
(d) $\frac{24}{7}$

5. $\triangle ABC$ में $D$ और $E$ क्रमशः $AB$ और $AC$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $DE \parallel BC$ है। यदि $AD : DB = 2 : 3$ है, तो $DE : BC$ बराबर है

(a) $2 : 3$
(b) $3 : 5$
(c) $2 : 5$
(d) $4 : 25$

6. केंद्र $C(1, 2)$ वाले एक वृत्त का एक व्यास $AB$ है। यदि व्यास का एक सिरा $A(-3, 7)$ है, तो दूसरा सिरा $B$ है

(a) $(5, -3)$
(b) $(-1, 4.5)$
(c) $(4, -5)$
(d) $(-7, 12)$

7. शीर्षों $A(2, 3)$, $B(5, 7)$ और $C(-2, 6)$ वाले त्रिभुज के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?

(a) यह एक समबाहु त्रिभुज है।
(b) यह समद्विबाहु है, परंतु समकोण त्रिभुज नहीं है।
(c) यह समकोण त्रिभुज है, परंतु समद्विबाहु नहीं है।
(d) यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।

8. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है?

(a) $\sin 60^\circ = 2\sin 30^\circ$
(b) $\cos 60^\circ = 2\cos^2 30^\circ - 1$
(c) $\tan 60^\circ = 2\tan 30^\circ$
(d) $\sin 30^\circ + \cos 30^\circ = 1$

9. $(1 + \tan^2\theta)(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)$ का मान है

(a) $1$
(b) $0$
(c) $\sec^2\theta$
(d) $\tan^2\theta$

10. 20 m ऊँचे एक भवन के शिखर से समतल सड़क पर खड़ी एक कार का अवनमन कोण $30^\circ$ है। भवन के पाद से कार की दूरी है

(a) $\frac{20}{\sqrt{3}}$ m
(b) 20 m
(c) $20\sqrt{3}$ m
(d) 40 m

11. एक बिंदु $P$ से किसी वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 15 cm है और $P$ वृत्त के केंद्र से 17 cm दूर है। वृत्त का व्यास है

(a) $8$ cm
(b) $2$ cm
(c) $\sqrt{514}$ cm
(d) $16$ cm

12. आकृति में केंद्र $O$ वाले वृत्त के बिंदु $T$ पर $PT$ एक स्पर्श रेखा है। यदि $\angle TPO = 28^\circ$ है, तो $\angle TOP$ बराबर है

(a) $28^\circ$
(b) $62^\circ$
(c) $56^\circ$
(d) $152^\circ$

13. 21 cm त्रिज्या वाले एक वृत्त से काटे गए एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $231 \text{ cm}^2$ है। यह केंद्र पर जो कोण बनाता है, वह है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) $60^\circ$
(b) $30^\circ$
(c) $90^\circ$
(d) $120^\circ$

14. एक वृत्त की परिधि 44 cm है। इस वृत्त के एक चतुर्थांश का क्षेत्रफल है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) $154 \text{ cm}^2$
(b) $11 \text{ cm}^2$
(c) $38.5 \text{ cm}^2$
(d) $77 \text{ cm}^2$

15. आधार त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 4 cm वाले दो सर्वसम ठोस शंकुओं को आधार से आधार मिलाकर एक लट्टू बनाया गया है। लट्टू का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है

(a) $15\pi \text{ cm}^2$
(b) $48\pi \text{ cm}^2$
(c) $24\pi \text{ cm}^2$
(d) $30\pi \text{ cm}^2$

16. एक लंब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल $550 \text{ cm}^2$ है और उसकी तिर्यक ऊँचाई 25 cm है। उसके आधार की त्रिज्या है ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

(a) 7 cm
(b) 14 cm
(c) 3.5 cm
(d) 22 cm

17. निम्नलिखित बारंबारता बंटन में माध्यिका वर्ग से ठीक पहले वाले वर्ग की संचयी बारंबारता है

(a) 26
(b) 12
(c) 16
(d) 20

18. संख्याओं 1, 2, 3, …, 25 में से एक संख्या यादृच्छया चुनी जाती है। उसके अभाज्य संख्या होने की प्रायिकता है

(a) $\frac{2}{5}$
(b) $\frac{9}{25}$
(c) $\frac{8}{25}$
(d) $\frac{1}{3}$

निर्देश: प्रश्न संख्या 19 और 20 में एक अभिकथन (A) के बाद एक तर्क (R) दिया गया है। सही विकल्प चुनिए।

19. अभिकथन (A): यदि किसी घटना $E$ के लिए $P(E) = 0.35$ है, तो $P(\overline{E}) = 0.65$ है, जहाँ $\overline{E}$ घटना '$E$ नहीं' है।

तर्क (R): किसी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच (दोनों सम्मिलित) होती है।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

20. अभिकथन (A): किसी प्राकृत संख्या $n$ के लिए $12^n$ के अंत में अंक 0 आता है।

तर्क (R): किसी प्राकृत संख्या के अंत में अंक 0 तभी और केवल तभी आता है, जब 2 और 5 दोनों उसके अभाज्य गुणनखंड हों।

(a) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं तथा तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या करता है।
(b) अभिकथन (A) और तर्क (R) दोनों सही हैं, परंतु तर्क (R), अभिकथन (A) की सही व्याख्या नहीं करता है।
(c) अभिकथन (A) सही है, परंतु तर्क (R) गलत है।
(d) अभिकथन (A) गलत है, परंतु तर्क (R) सही है।

खंड ख (10 अंक)

इस खंड में 5 अति लघु-उत्तरीय (VSA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 2 अंकों का है।

21. दिया गया है कि $\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है। सिद्ध कीजिए कि $2 + 3\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है। (2 अंक)

22. एक द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए, जिसके शून्यक $3 + \sqrt{2}$ और $3 - \sqrt{2}$ हैं। (2 अंक)

23. आकृति में $S$ और $T$ क्रमशः $\triangle PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ पर ऐसे बिंदु हैं कि $PS = 4$ cm, $PQ = 10$ cm, $PT = 6$ cm और $TR = 9$ cm है। दर्शाइए कि $ST \parallel QR$ है। (2 अंक)

अथवा

$ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है और भुजा $BC$ पर एक बिंदु $E$ है। रेखा $DE$ को बढ़ाने पर वह बढ़ाई गई $AB$ से $F$ पर मिलती है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle DCE \sim \triangle FBE$ है।

24. सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त की किसी जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ उस जीवा के साथ बराबर कोण बनाती हैं। (2 अंक)

अथवा

केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाले एक वृत्त के बिंदु $A$ पर $PA$ एक स्पर्श रेखा है तथा $OP = 2r$ है। रेखाखंड $OP$ वृत्त को $B$ पर मिलता है। $\angle APO$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $\triangle OAB$ समबाहु है।

25. यदि $\sqrt{3}\tan 2\theta = 3$ है, जहाँ $2\theta$ एक न्यून कोण है, तो $\theta$ ज्ञात कीजिए। इससे $\sin^2 3\theta + \cos^2 \theta$ का मान ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

खंड ग (18 अंक)

इस खंड में 6 लघु-उत्तरीय (SA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 3 अंकों का है।

26. अंजलि और फ़रहान एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में, एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं। अंजलि एक चक्कर 4 मिनट 12 सेकंड में पूरा करती है और फ़रहान 4 मिनट 40 सेकंड में। कितने मिनट बाद वे फिर प्रारंभिक बिंदु पर मिलेंगे? तब तक उनमें से प्रत्येक ने कितने चक्कर पूरे कर लिए होंगे? (3 अंक)

27. आकृति में केंद्र $O$ वाले वृत्त का एक व्यास $AB$ है, और वृत्त के बिंदु $C$ पर खींची गई स्पर्श रेखा बढ़ाई गई $AB$ से $P$ पर मिलती है। यदि $\angle PCA = 115^\circ$ है, तो (i) $\angle CAB$, (ii) $\angle CBA$, (iii) $\angle CPA$ ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

28. सिद्ध कीजिए: $\frac{\tan A}{\sec A - 1} + \frac{\tan A}{\sec A + 1} = 2\,\text{cosec}\, A$ (3 अंक)

अथवा

सिद्ध कीजिए: $\frac{\sin A + \cos A}{\sin A - \cos A} + \frac{\sin A - \cos A}{\sin A + \cos A} = \frac{2}{2\sin^2 A - 1}$

29. 42 cm त्रिज्या वाली कागज़ की एक वृत्ताकार चकती को एक जीवा $AB$ के अनुदिश काटा जाता है, जो केंद्र $O$ पर $60^\circ$ का कोण अंतरित करती है। छोटे टुकड़े (लघु वृत्तखंड) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए) (3 अंक)

30. बच्चों के खेल-कोने के लिए लकड़ी का एक ब्लॉक 14 cm भुजा वाले एक घन के आकार का है, जिसके ऊपरी फलक के बीच में 7 cm व्यास का एक ठोस अर्धगोला लगा है। ब्लॉक के पूरे बाहरी पृष्ठ को ₹ 10 प्रति 100 $\text{cm}^2$ की दर से पेंट कराना है। ब्लॉक का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल और पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए) (3 अंक)

अथवा

लकड़ी का एक कलमदान एक घनाभ के आकार का है, जिसका आधार 10 cm भुजा वाला वर्ग है और ऊँचाई 12 cm है। कलम रखने के लिए इसमें ऊपर से 3.5 cm त्रिज्या और 10 cm गहराई का एक बेलनाकार गड्ढा बनाया गया है। कलमदान में बची लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए। यदि इस लकड़ी के 1 $\text{cm}^3$ का द्रव्यमान 0.8 g है, तो कलमदान का द्रव्यमान भी ज्ञात कीजिए। ($\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए)

31. एक पासे को दो बार फेंका जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि (i) प्राप्त दोनों संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या है, (ii) दोनों संख्याओं का गुणनफल विषम है, (iii) दोनों संख्याओं का अंतर 2 है। (3 अंक)

खंड घ (20 अंक)

इस खंड में 4 दीर्घ-उत्तरीय (LA) प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 5 अंकों का है।

32. एक तरणताल एक निश्चित मासिक शुल्क लेता है और इसके अतिरिक्त हर बार आने पर एक निश्चित राशि लेता है। जून में रितु तरणताल 12 बार गई और उसने कुल ₹ 1300 का भुगतान किया, जबकि कबीर 20 बार गया और उसने कुल ₹ 1700 का भुगतान किया। निश्चित मासिक शुल्क और प्रति बार का शुल्क ज्ञात कीजिए। जुलाई में मीरा तरणताल पर ₹ 2000 खर्च कर सकती है। उस महीने वह अधिक से अधिक कितनी बार तरणताल जा सकती है? (5 अंक)

अथवा

सुनीता ने अपनी बचत का एक भाग 6% वार्षिक साधारण ब्याज वाली योजना में और शेष भाग 8% वार्षिक साधारण ब्याज वाली योजना में निवेश किया। एक वर्ष में उसे कुल ₹ 3600 ब्याज मिला। यदि उसने दोनों भाग उलटकर निवेश किए होते, तो उस वर्ष का ब्याज ₹ 200 कम होता। उसने प्रत्येक योजना में कितनी राशि निवेश की? यदि वह पूरी बचत 7% वार्षिक दर पर निवेश करती, तो एक वर्ष का ब्याज कितना होता?

33. दो नल एक साथ मिलकर छत पर रखी पानी की एक टंकी को $3\frac{3}{4}$ घंटे में भर सकते हैं। बड़ा नल अकेले टंकी भरने में छोटे नल से 4 घंटे कम समय लेता है। प्रत्येक नल द्वारा अकेले टंकी भरने में लगा समय ज्ञात कीजिए। एक सुबह खाली टंकी में दोनों नल 2 घंटे तक एक साथ खोले गए और फिर बड़ा नल बंद कर दिया गया। टंकी भरने में छोटे नल को और कितना समय लगा? (5 अंक)

34. आकृति में $AD$ और $BE$ न्यूनकोण त्रिभुज $ABC$ के शीर्षलंब हैं, जहाँ $D$ भुजा $BC$ पर और $E$ भुजा $AC$ पर है।

(i) सिद्ध कीजिए कि $\triangle ADC \sim \triangle BEC$ है।

(ii) इससे दर्शाइए कि $CA \times CE = CB \times CD$ है।

(iii) यदि $AC = 10$ cm, $BC = 15$ cm और $CD = 6$ cm है, तो $CE$ और $BE$ ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

35. एक आवासीय सोसाइटी के 50 परिवारों की पानी की दैनिक खपत नीचे दी गई है।

पग-विचलन विधि से पानी की माध्य दैनिक खपत ज्ञात कीजिए। पानी की दैनिक खपत की माध्यिका भी ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

अथवा

नीचे दी गई सारणी में एक कॉलोनी के 60 परिवारों द्वारा एक महीने में उपयोग किया गया मोबाइल डेटा (GB में) दिया गया है।

आँकड़ों की माध्यिका और बहुलक ज्ञात कीजिए।

खंड ङ (12 अंक)

इस खंड में 3 प्रकरण अध्ययन आधारित प्रश्न हैं। प्रत्येक प्रश्न 4 अंकों का है।

36. काव्या हाफ़ मैराथन के लिए अभ्यास कर रही है। अपनी अभ्यास योजना के पहले सप्ताह में वह कुल 12 km दौड़ती है, और उसके बाद हर सप्ताह वह पिछले सप्ताह से 1.5 km अधिक दौड़ती है।

(i) वह 8वें सप्ताह में कितने किलोमीटर दौड़ती है? (1 अंक)

(ii) किस सप्ताह में वह पहली बार 30 km दौड़ती है? (1 अंक)

(iii) पहले 12 सप्ताहों में वह कुल कितनी दूरी दौड़ती है, ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) 5वें सप्ताह से 12वें सप्ताह तक (दोनों सप्ताह सम्मिलित) वह कुल कितनी दूरी दौड़ती है, ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

37. सर्दियों के एक मेले में एक गर्म हवा का गुब्बारा समतल भूमि पर स्थित बिंदु $Q$ से ऊर्ध्वाधर ऊपर उठ रहा है। अनिल 50 m ऊँचे एक भवन की समतल छत के उस किनारे $A$ पर खड़ा है जो गुब्बारे की ओर है। किसी क्षण $A$ से $Q$ का अवनमन कोण $45^\circ$ है और $A$ से गुब्बारे $B$ का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। ($A$ को प्रेक्षण बिंदु मानिए, तथा $\sqrt{2} = 1.41$ और $\sqrt{3} = 1.73$ लीजिए)

(i) भवन के पाद से $Q$ कितनी दूर है? (1 अंक)

(ii) दूरी $AQ$ ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) उस क्षण भूमि से गुब्बारे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) उस क्षण अनिल और गुब्बारे के बीच की दूरी $AB$ ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

38. एक नगर का मानचित्र एक निर्देशांक तल पर बनाया गया है, जिसमें 1 मात्रक = 1 km है (आकृति देखिए)। एक डिलीवरी कंपनी का गोदाम $W(2, 1)$ पर है, उसका एक नियमित ग्राहक $C(8, 9)$ पर रहता है, और उसका दूसरा स्टोर $S(12, 7)$ पर है। x-अक्ष नगर की रिंग रोड के अनुदिश है।

(i) गोदाम और ग्राहक के घर के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(ii) एक डिलीवरी सवार $W$ से $C$ तक के सीधे रास्ते पर उस बिंदु $P$ पर रुकता है, जिसके लिए $WP : PC = 3 : 2$ है। $P$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (1 अंक)

(iii) कंपनी एक डिपो $D$ इस प्रकार खोलना चाहती है कि $W$, $C$, $S$ और $D$, इसी क्रम में, एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हों। $D$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

अथवा

(iii) रिंग रोड पर एक ईंधन स्टेशन $F$ इस प्रकार बनाना है कि वह $C$ और $S$ से समदूरस्थ हो। $F$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। (2 अंक)