परावर्तन तथा अपवर्तन: पाठ, हल किए गए प्रश्न और अभ्यास

प्रकाश हमें चीज़ें कैसे दिखाता है

रात में बिजली चली जाए, तो कमरे में रखी अपनी ही चीज़ें नहीं दिखतीं। लालटेन या मोबाइल की टॉर्च जलाते ही सब कुछ दिखने लगता है। दिन में यही काम सूर्य का प्रकाश करता है। हर वस्तु अपने ऊपर पड़ने वाले प्रकाश को लौटा देती है, अर्थात परावर्तित करती है। यह लौटा हुआ प्रकाश जब हमारी आँख में पहुँचता है, तब वह वस्तु हमें दिखती है। काँच या साफ़ पानी के आर-पार हम इसलिए देख पाते हैं कि प्रकाश उनमें से होकर निकल जाता है (पारगमित हो जाता है)।

अब कुछ जाने-पहचाने दृश्य याद कीजिए। छठ के घाट पर शांत पानी में दीयों की लौ नीचे की ओर चमकती दिखती है। स्टील के चम्मच में अपना चेहरा कभी बड़ा, कभी छोटा और कभी उलटा दिखता है। मोटरसाइकिल के बगल वाले शीशे में पीछे की पूरी सड़क सिमटकर दिख जाती है। और साफ़ पानी वाले पोखर की तली असल से कम गहरी लगती है। पहले तीन दृश्यों के पीछे प्रकाश का परावर्तन है, आख़िरी के पीछे अपवर्तन। यह अध्याय इन्हीं दोनों को दर्पणों और लेंसों के सहारे समझाता है।

एक बात शुरू में ही पकड़ लीजिए। कोई छोटा प्रकाश स्रोत किसी अपारदर्शी वस्तु की तीक्ष्ण (साफ़ किनारों वाली) छाया बनाता है। इससे पता चलता है कि प्रकाश सरल रेखा में गमन करता प्रतीत होता है। प्रकाश के इस सीधे रास्ते को प्रकाश किरण कहते हैं, और इस अध्याय के सारे चित्र इन्हीं किरणों से बनते हैं।

परावर्तन के नियम और समतल दर्पण

अच्छी तरह पॉलिश किया हुआ पृष्ठ, जैसे दर्पण, अपने ऊपर पड़ने वाले अधिकांश प्रकाश को परावर्तित कर देता है। परावर्तन दो नियमों से होता है:

1. आपतन कोण, परावर्तन कोण के बराबर होता है ($\angle i=\angle r$)।
2. आपतित किरण, आपतन बिंदु पर दर्पण का अभिलंब और परावर्तित किरण, तीनों एक ही तल में होते हैं।

दोनों कोण अभिलंब से नापे जाते हैं, दर्पण की सतह से नहीं। अगर आपतन कोण 40° है, तो परावर्तन कोण भी 40° होगा, और आपतित तथा परावर्तित किरण के बीच का कोण $40^\circ+40^\circ=80^\circ$ होगा। ये नियम समतल ही नहीं, गोलीय पृष्ठों सहित सभी परावर्तक पृष्ठों पर लागू होते हैं।

समतल दर्पण से बने प्रतिबिंब की विशेषताएँ:

इसी पार्श्व परिवर्तन के कारण एम्बुलेंस के आगे AMBULANCE उलटे अक्षरों में लिखा रहता है, ताकि आगे वाली गाड़ी का चालक उसे अपने शीशे में सीधा पढ़ ले।

गोलीय दर्पण: अवतल और उत्तल

एक बड़ा चमकदार चम्मच लेकर उसके अंदर वाले गड्ढेदार भाग में अपना चेहरा देखिए। चम्मच पास हो, तो चेहरा बड़ा और सीधा दिखता है। धीरे-धीरे दूर ले जाइए, तो प्रतिबिंब उलटा हो जाता है। अब चम्मच पलटकर उभरे हुए भाग में देखिए। यहाँ चेहरा हर दूरी पर सीधा और छोटा ही दिखता है। चम्मच का वक्रित पृष्ठ एक वक्रित दर्पण की तरह काम करता है।

जिस दर्पण का परावर्तक पृष्ठ किसी गोले के पृष्ठ का भाग हो, उसे गोलीय दर्पण कहते हैं। ये दो तरह के होते हैं:

• अवतल दर्पण: परावर्तक पृष्ठ अंदर की ओर, अर्थात गोले के केंद्र की ओर वक्रित होता है। चम्मच का अंदर वाला भाग लगभग ऐसा ही है।
• उत्तल दर्पण: परावर्तक पृष्ठ बाहर की ओर उभरा होता है। चम्मच का पीछे वाला भाग ऐसा है।

चित्रों में दर्पण का पिछला भाग छायांकित (धारीदार) दिखाया जाता है, जो परावर्तक नहीं है।

गोलीय दर्पण के पद:

वक्रता केंद्र दर्पण का भाग नहीं है, वह परावर्तक पृष्ठ से बाहर रहता है। अवतल दर्पण में C दर्पण के सामने होता है और उत्तल दर्पण में दर्पण के पीछे। मुख्य अक्ष ध्रुव पर दर्पण के अभिलंब होता है।

मुख्य फोकस, फोकस दूरी और द्वारक

क्रियाकलाप: अवतल दर्पण को हाथ में लेकर उसका परावर्तक पृष्ठ सूर्य की ओर कीजिए और परावर्तित प्रकाश को पास रखी कागज़ की शीट पर डालिए। कागज़ आगे-पीछे कीजिए, जब तक उस पर प्रकाश का एक चमकदार, तीक्ष्ण बिंदु न बन जाए। कुछ मिनट उसी स्थिति में पकड़े रहिए। पहले कागज़ सुलगने लगता है, धुआँ उठता है और फिर उसमें आग भी लग सकती है।

ऐसा इसलिए होता है कि सूर्य से आने वाला प्रकाश दर्पण से एक छोटे बिंदु पर इकट्ठा हो जाता है, और इतने प्रकाश की ऊष्मा से कागज़ जल उठता है। कागज़ पर बना यह चमकदार बिंदु असल में सूर्य का प्रतिबिंब है। दर्पण से इस बिंदु तक की दूरी, दर्पण की फोकस दूरी का लगभग मान है। सूर्य की ओर या दर्पण से परावर्तित धूप की ओर सीधे कभी मत देखिए, इससे आँखें खराब हो सकती हैं।

किरणों के रूप में समझिए:

• अवतल दर्पण पर मुख्य अक्ष के समांतर आने वाली किरणें परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष के एक बिंदु पर मिलती हैं। यह बिंदु अवतल दर्पण का मुख्य फोकस है।
• उत्तल दर्पण पर मुख्य अक्ष के समांतर किरणें परावर्तन के बाद फैल जाती हैं और मुख्य अक्ष के एक बिंदु से आती हुई प्रतीत होती हैं। वह बिंदु उत्तल दर्पण का मुख्य फोकस है, जो दर्पण के पीछे होता है।

मुख्य फोकस को F से दिखाते हैं। ध्रुव और मुख्य फोकस के बीच की दूरी फोकस दूरी ($f$) कहलाती है।

परावर्तक पृष्ठ की वृत्ताकार सीमा-रेखा के व्यास को दर्पण का द्वारक कहते हैं। इस अध्याय में वही दर्पण लिए गए हैं जिनका द्वारक उनकी वक्रता त्रिज्या से बहुत छोटा है। ऐसे दर्पणों के लिए:

$R=2f$

अर्थात वक्रता त्रिज्या, फोकस दूरी की दोगुनी होती है, और मुख्य फोकस, ध्रुव P तथा वक्रता केंद्र C को मिलाने वाली रेखा के ठीक बीच में होता है।

अवतल दर्पण से प्रतिबिंब: वस्तु की हर स्थिति

क्रियाकलाप: पहले सूर्य के प्रकाश वाली विधि से अवतल दर्पण की लगभग फोकस दूरी निकाल लीजिए। मेज़ पर चॉक से एक रेखा खींचकर दर्पण को स्टैंड पर ऐसे रखिए कि उसका ध्रुव इस रेखा पर रहे। इसके आगे दो और समांतर रेखाएँ इस तरह खींचिए कि दो पास-पास की रेखाओं के बीच की दूरी फोकस दूरी के बराबर हो। अब ये रेखाएँ P, F और C की जगह बता रही हैं।

जलती मोमबत्ती को C से बहुत दूर रखकर कागज़ का परदा आगे-पीछे कीजिए, जब तक लौ का साफ़ प्रतिबिंब न मिल जाए। फिर मोमबत्ती को C से थोड़ा दूर, C पर, F और C के बीच, F पर और अंत में P और F के बीच रखकर देखिए। आख़िरी स्थिति में परदे पर कोई प्रतिबिंब नहीं बनता। तब प्रतिबिंब को सीधे दर्पण में देखना पड़ता है, क्योंकि वह आभासी है।

सारे प्रेक्षण इस सारणी में हैं। बोर्ड के प्रश्न इसी से सबसे ज़्यादा बनते हैं:

सारणी को रटने की जगह उसका क्रम पकड़िए: वस्तु जैसे-जैसे दूर से दर्पण की ओर आती है, प्रतिबिंब F से शुरू होकर दूर भागता जाता है और बड़ा होता जाता है। वस्तु F को पार करके दर्पण के पास आ जाए, तो प्रतिबिंब दर्पण के पीछे, सीधा और बड़ा बनता है। अवतल दर्पण से सीधा प्रतिबिंब इसी एक स्थिति में मिलता है।

किरण आरेख बनाने के नियम और अवतल दर्पण के उपयोग

किसी बिंब के हर बिंदु से अनगिनत किरणें निकलती हैं, पर प्रतिबिंब ढूँढ़ने के लिए कोई दो किरणें काफ़ी हैं। ऐसी किरणें चुनी जाती हैं जिनका परावर्तन के बाद का रास्ता पहले से पता हो। दो परावर्तित किरणें जहाँ मिलें (या मिलती प्रतीत हों), वहीं प्रतिबिंब बनता है।

C वाली किरण इसलिए उसी रास्ते लौटती है कि वह दर्पण पर अभिलंब के अनुदिश पड़ती है। इन सब में परावर्तन के नियम ही काम कर रहे हैं।

परीक्षा में आरेख बनाते समय यह क्रम अपनाइए: मुख्य अक्ष खींचकर P, F और C चिह्नित कीजिए, बिंब को सीधे तीर के रूप में मुख्य अक्ष पर खड़ा कीजिए, उसके ऊपरी सिरे से दो किरणें चलाइए और मिलने वाले बिंदु तक प्रतिबिंब का तीर बनाइए। दर्पण के पीछे वाली किरणें और आभासी प्रतिबिंब बिंदुकित रेखा से बनते हैं।

अवतल दर्पणों के उपयोग:

• टॉर्च, सर्चलाइट और वाहनों के अग्रदीपों (हेडलाइट) में प्रकाश का शक्तिशाली समांतर किरण पुंज पाने के लिए। बल्ब को फोकस पर रखा जाता है, तो परावर्तित किरणें समांतर निकलती हैं।
• शेविंग दर्पण के रूप में, चेहरे का बड़ा प्रतिबिंब देखने के लिए।
• दंत विशेषज्ञ मरीज़ों के दाँतों का बड़ा प्रतिबिंब देखने के लिए।
• सौर भट्टियों में सूर्य के प्रकाश को एक जगह केंद्रित करने के लिए बड़े अवतल दर्पण।

उत्तल दर्पण: प्रतिबिंब और उपयोग

क्रियाकलाप: एक हाथ में उत्तल दर्पण और दूसरे में सीधी खड़ी पेंसिल लीजिए। प्रतिबिंब सीधा और छोटा दिखता है। पेंसिल को दर्पण से दूर ले जाइए, तो प्रतिबिंब और छोटा होता जाता है और फोकस की ओर खिसकता जाता है।

उत्तल दर्पण के लिए बिंब की दो स्थितियाँ ही काफ़ी हैं:

इसलिए उत्तल दर्पण से बना प्रतिबिंब हमेशा आभासी, सीधा और छोटा होता है।

आरेख ऐसे बनाइए: बिंब AB दर्पण के सामने कहीं भी खड़ा कीजिए। A से मुख्य अक्ष के समांतर किरण दर्पण से लौटकर फैलती है, उसे बिंदुकित रेखा से पीछे F तक बढ़ाइए। A से C की ओर जाती दूसरी किरण उसी पथ पर लौटती है, उसे भी बिंदुकित रेखा से पीछे C की ओर बढ़ाइए। दोनों बिंदुकित रेखाएँ दर्पण के पीछे P और F के बीच मिलती हैं, वहीं छोटा, सीधा, आभासी प्रतिबिंब A′B′ बिंदुकित तीर से बनाइए।

पूरी लंबाई का प्रतिबिंब: किसी दूर के पेड़ को अलग-अलग साइज़ के समतल दर्पणों में देखिए, फिर अवतल और उत्तल दर्पण में। छोटे समतल दर्पण में पूरा पेड़ नहीं समाता, अवतल दर्पण में भी पूरा सीधा प्रतिबिंब नहीं मिलता। एक छोटा उत्तल दर्पण किसी ऊँचे भवन या पेड़ का भी पूरी लंबाई का प्रतिबिंब दिखा देता है। आगरा किले की एक दीवार में ऐसा ही दर्पण लगा है, जिसमें दूर की ऊँची इमारत (मकबरा) पूरी दिख जाती है।

उत्तल दर्पणों के उपयोग: वाहनों के पश्च-दृश्य (wing) दर्पण, जो वाहन के बगल में लगे होते हैं और जिनमें चालक पीछे के वाहन देखता है। इन्हें दो कारणों से चुना जाता है:

1. ये सदैव सीधा प्रतिबिंब बनाते हैं, भले ही वह छोटा हो।
2. बाहर की ओर उभरे होने से इनका दृष्टि-क्षेत्र बहुत बड़ा होता है, इसलिए समतल दर्पण की तुलना में चालक पीछे का कहीं बड़ा क्षेत्र देख पाता है।

नयी कार्तीय चिह्न परिपाटी

सूत्र में दूरियाँ रखते समय कौन-सी धनात्मक है और कौन-सी ऋणात्मक, यह तय करने के लिए नयी कार्तीय चिह्न परिपाटी अपनाई जाती है। इसमें दर्पण के ध्रुव P को मूल बिंदु और मुख्य अक्ष को x-अक्ष माना जाता है। नियम ये हैं:

1. बिंब सदैव दर्पण के बाईं ओर रखा जाता है, अर्थात प्रकाश बाईं ओर से दर्पण पर आता है।
2. मुख्य अक्ष के समांतर सभी दूरियाँ ध्रुव से मापी जाती हैं।
3. मूल बिंदु के दाईं ओर (+x-अक्ष के अनुदिश) मापी दूरियाँ धनात्मक और बाईं ओर (−x-अक्ष के अनुदिश) मापी दूरियाँ ऋणात्मक होती हैं।
4. मुख्य अक्ष के लंबवत ऊपर की ओर मापी दूरियाँ (ऊँचाई) धनात्मक होती हैं।
5. मुख्य अक्ष के लंबवत नीचे की ओर मापी दूरियाँ ऋणात्मक होती हैं।

इन नियमों से निकलने वाले चिह्न, जो लगभग हर प्रश्न में काम आते हैं:

उदाहरण के लिए, 20 cm फोकस दूरी के अवतल दर्पण के लिए $f=-20$ cm और उत्तल दर्पण के लिए $f=+20$ cm लिखा जाएगा।

दर्पण सूत्र और आवर्धन

ध्रुव से बिंब की दूरी बिंब दूरी ($u$), ध्रुव से प्रतिबिंब की दूरी प्रतिबिंब दूरी ($v$) और ध्रुव से मुख्य फोकस की दूरी फोकस दूरी ($f$) कहलाती है। इन तीनों का संबंध दर्पण सूत्र है:

$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

यह सूत्र सभी गोलीय दर्पणों और बिंब की सभी स्थितियों के लिए मान्य है, बशर्ते $u$, $v$, $f$ और $R$ के मान चिह्न परिपाटी के अनुसार रखे जाएँ।

आवर्धन: प्रतिबिंब, बिंब की तुलना में कितने गुना बड़ा है, यह आवर्धन ($m$) बताता है। यह प्रतिबिंब की ऊँचाई और बिंब की ऊँचाई का अनुपात है:

$m=\frac{h'}{h}=-\frac{v}{u}$

$m$ से प्रतिबिंब के बारे में पूरी कहानी पढ़ी जा सकती है:

बिंब की ऊँचाई धनात्मक ली जाती है, क्योंकि बिंब प्रायः मुख्य अक्ष के ऊपर रखा जाता है। आभासी प्रतिबिंब की ऊँचाई धनात्मक और वास्तविक प्रतिबिंब की ऊँचाई ऋणात्मक लेनी चाहिए। (पुस्तक की इस पंक्ति में छपाई की भूल से "बिंब की ऊँचाई" छप गया है, पर बात प्रतिबिंब की ऊँचाई की है।)

एक हल किया हुआ उदाहरण: 4.0 cm ऊँचा बिंब 15.0 cm फोकस दूरी के अवतल दर्पण से 25.0 cm दूर है। यहाँ $h=+4.0$ cm, $u=-25.0$ cm, $f=-15.0$ cm।

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}=\frac{1}{-15}+\frac{1}{25}=\frac{-5+3}{75}=\frac{-2}{75}$, इसलिए $v=-37.5$ cm

$h'=-\frac{v\,h}{u}=-\frac{(-37.5)(4.0)}{(-25.0)}=-6.0$ cm

परदा दर्पण के सामने 37.5 cm पर रखना होगा। प्रतिबिंब वास्तविक, उलटा और बड़ा (6.0 cm) है।

उत्तल दर्पण वाला उदाहरण: किसी गाड़ी के पश्च-दृश्य उत्तल दर्पण की वक्रता त्रिज्या 3.00 m है और एक बस दर्पण से 5.00 m दूर है। यहाँ $f=+1.50$ m और $u=-5.00$ m।

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}=\frac{1}{1.50}+\frac{1}{5.00}=\frac{5.00+1.50}{7.50}=\frac{6.50}{7.50}$, इसलिए $v=+1.15$ m

$m=-\frac{v}{u}=-\frac{1.15}{-5.00}=+0.23$

बस का प्रतिबिंब दर्पण के पीछे 1.15 m पर बनता है, आभासी, सीधा और बस के साइज़ का 0.23 गुना।

प्रकाश का अपवर्तन: रोज़ के अनुभव

किसी पारदर्शी माध्यम में प्रकाश सरल रेखा में चलता है। पर जब वह एक पारदर्शी माध्यम से दूसरे में जाता है, तब क्या होता है? कुछ अनुभव देखिए:

• पानी से भरी टंकी, तालाब या पोखर की तली उठी हुई लगती है।
• मोटा काँच का स्लैब (सिल्ली) छपे हुए अक्षरों पर रखकर ऊपर से देखने पर अक्षर उठे हुए लगते हैं।
• पानी में आधी डूबी पेंसिल वायु और पानी के अंतरापृष्ठ पर, अर्थात पानी की ऊपरी सतह पर, मुड़ी हुई दिखती है।
• पानी भरे काँच के गिलास में रखे नींबू बगल से देखने पर अपने साइज़ से बड़े दिखते हैं।

पेंसिल के डूबे भाग से आँख तक पहुँचने वाला प्रकाश, बाहर वाले भाग के प्रकाश से अलग दिशा से आता प्रतीत होता है, इसलिए पेंसिल मुड़ी दिखती है। पानी की जगह किरोसिन या तारपीन का तेल लिया जाए, या काँच की जगह पारदर्शी प्लास्टिक, तो यह असर कम या ज़्यादा हो जाता है। इससे पता चलता है कि प्रकाश जब एक माध्यम से दूसरे में तिरछा जाता है, तो दूसरे माध्यम में उसकी दिशा बदल जाती है। इस घटना को प्रकाश का अपवर्तन कहते हैं।

पुस्तक के तीन छोटे क्रियाकलाप यही दिखाते हैं:

1. बाल्टी में सिक्का: पानी भरी बाल्टी की तली में रखे सिक्के को ऊपर से, बगल में आँख रखकर, एक बार में उठाने की कोशिश कीजिए। प्रायः हाथ चूक जाता है, क्योंकि सिक्का अपनी असली जगह से कुछ ऊपर दिखता है।
2. कटोरे में सिक्का: उथले कटोरे में सिक्का रखकर इतना पीछे हटिए कि सिक्का दिखना बंद हो जाए। अब कोई मित्र सिक्का हिलाए बिना धीरे से पानी डाले। उसी जगह से सिक्का फिर दिखने लगता है, क्योंकि अपवर्तन के कारण वह थोड़ा ऊपर उठा हुआ प्रतीत होता है।
3. स्लैब के नीचे रेखा: कागज़ पर मोटी सीधी रेखा खींचकर उस पर काँच का स्लैब तिरछा रखिए। बगल से देखने पर स्लैब के नीचे वाली रेखा किनारों के पास मुड़ी लगती है। स्लैब को रेखा के अभिलंबवत रखा जाए, तो रेखा मुड़ी नहीं दिखती। ऊपर से देखने पर स्लैब के नीचे का भाग उठा हुआ लगता है।

काँच के आयताकार स्लैब से अपवर्तन और अपवर्तन के नियम

क्रियाकलाप: ड्राइंग बोर्ड पर सफ़ेद कागज़ लगाकर बीच में काँच का आयताकार स्लैब रखिए और पेंसिल से उसकी रूपरेखा ABCD खींचिए। दो पिनें E और F ऐसी लगाइए कि उन्हें मिलाने वाली रेखा कोर AB से कोई कोण बनाए। दूसरी ओर से स्लैब के आर-पार E और F के प्रतिबिंब देखते हुए दो पिनें G और H इस तरह लगाइए कि चारों एक सीधी रेखा में दिखें। स्लैब और पिनें हटाकर EF को AB तक बढ़ाइए (बिंदु O) और HG को CD तक (बिंदु O′)। फिर O और O′ को मिला दीजिए।

चित्र में EO आपतित किरण, OO′ अपवर्तित किरण और O′H निर्गत किरण है। प्रेक्षण:

दोनों विपरीत फलकों पर मुड़ने का परिमाण समान और उलटा है, इसलिए निर्गत किरण, आपतित किरण के समांतर निकलती है। फिर भी वह आपतित किरण की सीध से थोड़ा खिसक जाती है। इस खिसकाव को पार्श्विक विस्थापन कहते हैं। अगर किरण अंतरापृष्ठ पर अभिलंबवत पड़े, तो वह बिना मुड़े सीधी निकल जाती है।

अपवर्तन होता क्यों है? एक पारदर्शी माध्यम से दूसरे में जाने पर प्रकाश की चाल बदल जाती है, और यही दिशा बदलने का कारण है।

अपवर्तन के नियम:

1. आपतित किरण, अपवर्तित किरण और दोनों माध्यमों को अलग करने वाले पृष्ठ के आपतन बिंदु पर अभिलंब, सभी एक ही तल में होते हैं।
2. प्रकाश के किसी निश्चित रंग और निश्चित माध्यमों के युग्म के लिए आपतन कोण की ज्या (sine) और अपवर्तन कोण की ज्या का अनुपात स्थिर होता है। इसे स्नेल का अपवर्तन का नियम भी कहते हैं:

$\frac{\sin i}{\sin r}=\text{constant}$

इस स्थिरांक को दूसरे माध्यम का पहले माध्यम के सापेक्ष अपवर्तनांक कहते हैं। पुस्तक में इन नियमों के ठीक ऊपर छपाई की भूल से "परावर्तन के नियम" लिखा है, पर ये अपवर्तन के नियम हैं।

अपवर्तनांक

अलग-अलग माध्यमों में प्रकाश अलग-अलग चाल से चलता है। निर्वात में प्रकाश की चाल $3\times10^{8}$ m/s है, जो किसी भी माध्यम में संभव सबसे अधिक चाल है। वायु में चाल निर्वात से थोड़ी ही कम है, जबकि काँच और पानी में यह काफ़ी घट जाती है।

मान लीजिए प्रकाश माध्यम 1 से माध्यम 2 में जा रहा है, और दोनों में उसकी चाल $v_1$ और $v_2$ है। तब:

• माध्यम 2 का माध्यम 1 के सापेक्ष अपवर्तनांक: $n_{21}=\frac{v_1}{v_2}$
• माध्यम 1 का माध्यम 2 के सापेक्ष अपवर्तनांक: $n_{12}=\frac{v_2}{v_1}$

अगर माध्यम 1 निर्वात या वायु हो, तो माध्यम 2 के अपवर्तनांक को निरपेक्ष अपवर्तनांक कहते हैं, और इसे ही आमतौर पर सीधे "अपवर्तनांक" कहा जाता है:

$n_m=\frac{c}{v}$ (वायु में प्रकाश की चाल ÷ माध्यम में प्रकाश की चाल)

जल का अपवर्तनांक 1.33 है, अर्थात वायु में प्रकाश की चाल, जल में चाल की 1.33 गुनी है। अपवर्तनांक दो चालों का अनुपात है, इसलिए इसका कोई मात्रक नहीं होता।

ये आँकड़े कंठस्थ करने की ज़रूरत नहीं, पर जल 1.33, काँच लगभग 1.5 और हीरा 2.42 परीक्षा में बार-बार काम आते हैं।

प्रकाशिक सघन और विरल: दो माध्यमों में जिसका अपवर्तनांक अधिक हो, वह प्रकाशिक सघन है और दूसरा प्रकाशिक विरल। इस अध्याय में "सघन" और "विरल" का अर्थ यही है, द्रव्यमान घनत्व नहीं। किरोसिन का द्रव्यमान घनत्व जल से कम है (वह पानी पर तैरता है), फिर भी उसका अपवर्तनांक अधिक होने से वह जल से प्रकाशिक सघन है। विरल माध्यम में प्रकाश तेज़ चलता है। इसलिए विरल से सघन में जाती किरण धीमी होकर अभिलंब की ओर झुकती है, और सघन से विरल में जाती किरण तेज़ होकर अभिलंब से दूर हटती है।

गोलीय लेंस और उनसे जुड़े पद

चश्मे में, घड़ीसाज़ के छोटे आवर्धक में और कैमरे में लेंस लगे होते हैं। दो पृष्ठों से घिरा ऐसा पारदर्शी माध्यम, जिसका एक या दोनों पृष्ठ गोलीय हों, लेंस कहलाता है। इसका कम से कम एक पृष्ठ गोलीय होता है, दूसरा समतल भी हो सकता है।

लेंस के पद:

• वक्रता केंद्र: लेंस के दोनों पृष्ठ अलग-अलग गोलों के भाग हैं। उन गोलों के केंद्र $C_1$ और $C_2$ लेंस के वक्रता केंद्र हैं।
• मुख्य अक्ष: दोनों वक्रता केंद्रों से गुज़रने वाली काल्पनिक सीधी रेखा।
• प्रकाशिक केंद्र (O): लेंस का केंद्रीय बिंदु। इससे गुज़रने वाली किरण बिना विचलन के सीधी निकल जाती है।
• द्वारक: लेंस की वृत्ताकार रूपरेखा का प्रभावी व्यास। यहाँ छोटे द्वारक वाले पतले लेंस ही लिए गए हैं।

क्रियाकलाप: उत्तल लेंस को सूर्य की ओर करके धूप को कागज़ पर एक तीक्ष्ण चमकदार बिंदु के रूप में फोकसित कीजिए। कुछ देर में कागज़ सुलगकर जलने लगता है। सूर्य की समांतर किरणें लेंस से एक बिंदु पर इकट्ठी हो जाती हैं, और वह बिंदु सूर्य का प्रतिबिंब है। लेंस से सूर्य की ओर कभी मत देखिए।

मुख्य फोकस: उत्तल लेंस पर मुख्य अक्ष के समांतर किरणें अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के एक बिंदु पर अभिसरित होती हैं। अवतल लेंस से निकलकर वे मुख्य अक्ष के एक बिंदु से अपसरित होती प्रतीत होती हैं। यही बिंदु उस लेंस का मुख्य फोकस है। समांतर किरणें लेंस के दूसरी ओर से भेजी जाएँ, तो विपरीत दिशा में दूसरा मुख्य फोकस मिलता है। इसलिए लेंस के दो मुख्य फोकस $F_1$ और $F_2$ होते हैं। प्रकाशिक केंद्र से मुख्य फोकस की दूरी फोकस दूरी ($f$) है। धूप वाले प्रयोग में लेंस से सूर्य के प्रतिबिंब तक की दूरी, उत्तल लेंस की लगभग फोकस दूरी होती है।

लेंसों से प्रतिबिंब: सारणी और किरण आरेख

उत्तल लेंस का क्रियाकलाप: लंबी मेज़ पर पाँच समांतर रेखाएँ ऐसे खींचिए कि पास-पास की दो रेखाओं के बीच की दूरी फोकस दूरी के बराबर हो। बीच वाली रेखा पर लेंस रखिए। बाकी रेखाएँ क्रम से $2F_1$, $F_1$, $F_2$ और $2F_2$ बन जाती हैं। मोमबत्ती को बाईं ओर अलग-अलग जगह रखकर दूसरी ओर परदे पर प्रतिबिंब देखिए।

अवतल दर्पण वाली सारणी से इसकी तुलना कीजिए, दोनों का ढाँचा एक जैसा है। फ़र्क़ यह है कि लेंस में वास्तविक प्रतिबिंब दूसरी ओर बनता है और आभासी प्रतिबिंब बिंब वाली ओर।

अवतल लेंस:

अर्थात अवतल लेंस, बिंब कहीं भी हो, सदैव आभासी, सीधा और छोटा प्रतिबिंब बनाता है। मोमबत्ती को दूर ले जाने पर यह प्रतिबिंब और छोटा होता जाता है।

अवतल लेंस का आरेख: बिंब AB लेंस के बाईं ओर रखिए। A से मुख्य अक्ष के समांतर किरण लेंस से निकलकर फैलती है, उसे बिंदुकित रेखा से पीछे बाईं ओर के $F_1$ तक बढ़ाइए। A से O होकर जाती दूसरी किरण बिना मुड़े सीधी निकलती है। दोनों $F_1$ और O के बीच मिलती दिखती हैं, वहीं छोटा, सीधा, आभासी प्रतिबिंब A′B′ बनाइए।

लेंस के किरण आरेख के लिए तीन किरणें (कोई दो काफ़ी):

1. मुख्य अक्ष के समांतर किरण, उत्तल लेंस से अपवर्तन के बाद दूसरी ओर के मुख्य फोकस से गुज़रती है। अवतल लेंस में वह उसी ओर के मुख्य फोकस से अपसरित होती प्रतीत होती है।
2. मुख्य फोकस से गुज़रती किरण, उत्तल लेंस से निकलकर मुख्य अक्ष के समांतर हो जाती है। अवतल लेंस में, दूसरी ओर के फोकस की ओर जाती हुई किरण अपवर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समांतर निकलती है।
3. प्रकाशिक केंद्र से गुज़रने वाली किरण बिना किसी विचलन के सीधी निकल जाती है।

लेंस सूत्र, आवर्धन और लेंस की क्षमता

चिह्न परिपाटी: लेंसों में भी दर्पणों वाले नियम ही चलते हैं। बस सारी दूरियाँ ध्रुव की जगह प्रकाशिक केंद्र से मापी जाती हैं। इस परिपाटी में उत्तल लेंस की फोकस दूरी धनात्मक और अवतल लेंस की फोकस दूरी ऋणात्मक होती है।

लेंस सूत्र:

$\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

यह किसी भी गोलीय लेंस के लिए, बिंब की सभी स्थितियों में मान्य है। दर्पण सूत्र से इसका अंतर याद रखिए: दर्पण में $+$ है, लेंस में $-$।

आवर्धन: $m=\frac{h'}{h}=\frac{v}{u}$ (लेंस में ऋण चिह्न नहीं लगता)

उदाहरण: 15 cm फोकस दूरी का अवतल लेंस बिंब का प्रतिबिंब लेंस से 10 cm पर बनाता है। अवतल लेंस का प्रतिबिंब बिंब वाली ओर बनता है, इसलिए $v=-10$ cm और $f=-15$ cm।

$\frac{1}{u}=\frac{1}{v}-\frac{1}{f}=-\frac{1}{10}+\frac{1}{15}=\frac{-3+2}{30}=-\frac{1}{30}$, अर्थात $u=-30$ cm

$m=\frac{v}{u}=\frac{-10}{-30}=+0.33$, अर्थात प्रतिबिंब सीधा, आभासी और बिंब का एक-तिहाई है।

लेंस की क्षमता: कम फोकस दूरी का उत्तल लेंस किरणों को अधिक कोण से मोड़कर प्रकाशिक केंद्र के पास फोकसित करता है, और कम फोकस दूरी का अवतल लेंस किरणों को अधिक फैलाता है। किसी लेंस द्वारा प्रकाश किरणों को अभिसरित या अपसरित करने की मात्रा को उसकी क्षमता कहते हैं।

$P=\frac{1}{f}$ ($f$ मीटर में)

• क्षमता का SI मात्रक डाइऑप्टर (D) है। 1 डाइऑप्टर उस लेंस की क्षमता है जिसकी फोकस दूरी 1 मीटर हो। $1\,\text{D}=1\,\text{m}^{-1}$
• उत्तल लेंस की क्षमता धनात्मक और अवतल लेंस की क्षमता ऋणात्मक होती है।
• चश्मे वाले लेंस की क्षमता बताते हैं। $+2.0$ D का लेंस उत्तल है, जिसकी $f=+0.50$ m। $-2.5$ D का लेंस अवतल है, जिसकी $f=-0.40$ m।

संपर्क में रखे लेंस: कई लेंस एक-दूसरे से सटाकर रखे हों, तो कुल क्षमता उनकी अलग-अलग क्षमताओं का बीजगणितीय योग होती है: $P=P_1+P_2+P_3+\dots$ जैसे $+2.0$ D और $+0.25$ D के लेंस मिलकर $+2.25$ D के एक लेंस जैसा काम करते हैं। आँख जाँचते समय चश्मा बनाने वाला इसी तरह कई लेंस जोड़कर सही क्षमता निकालता है। कैमरों, सूक्ष्मदर्शियों और दूरदर्शकों के लेंस भी ऐसे ही कई लेंसों को जोड़कर बनते हैं।

अवतल दर्पण: बिंब की विभिन्न स्थितियों में प्रतिबिंब

प्रश्न 1. किरण आरेखों की सहायता से समझाइए कि अवतल दर्पण के सामने बिंब की विभिन्न स्थितियों के लिए प्रतिबिंब कहाँ और कैसा बनता है। (6 अंक)

उत्तर:

अवतल दर्पण के लिए किरण आरेख में ऊपरी सिरे A से ये दो किरणें ली जाती हैं:

• मुख्य अक्ष के समांतर किरण, जो परावर्तन के बाद मुख्य फोकस F से होकर जाती है।
• वक्रता केंद्र C से होकर जाने वाली किरण, जो उसी पथ पर लौट आती है (बिंब F के अंदर हो तो इसकी जगह P पर तिरछी किरण या F की दिशा वाली किरण ली जा सकती है)।

दोनों परावर्तित किरणें जहाँ मिलें, वहाँ A का प्रतिबिंब A′ बनता है। उससे मुख्य अक्ष तक लंब A′B′ प्रतिबिंब है।

आरेख में बनाइए: मुख्य अक्ष पर P, F, C अंकित, बिंब AB तीर के रूप में, दो किरणें तीर के निशान के साथ, और प्रतिबिंब A′B′। अंतिम स्थिति में दर्पण के पीछे की रेखाएँ और प्रतिबिंब बिंदुकित रेखा से बनाइए।

निष्कर्ष: बिंब जब तक F के बाहर है, प्रतिबिंब वास्तविक और उलटा बनता है। F के अंदर आते ही प्रतिबिंब आभासी, सीधा और बड़ा हो जाता है। इसी स्थिति का उपयोग शेविंग दर्पण में होता है।

अवतल दर्पण से सीधा प्रतिबिंब

प्रश्न 2. 15 cm फोकस दूरी के एक अवतल दर्पण से हम किसी बिंब का सीधा प्रतिबिंब बनाना चाहते हैं। बिंब की दर्पण से दूरी का परिसर क्या होना चाहिए? प्रतिबिंब की प्रकृति कैसी है? प्रतिबिंब बिंब से बड़ा है या छोटा? (3 अंक)

उत्तर:

अवतल दर्पण सीधा प्रतिबिंब तभी बनाता है जब बिंब ध्रुव P और मुख्य फोकस F के बीच हो। इसलिए बिंब को दर्पण से 0 और 15 cm के बीच (15 cm से कम दूरी पर) रखना होगा।

प्रतिबिंब आभासी और सीधा है, दर्पण के पीछे बनता है, और बिंब से बड़ा होता है।

किरण आरेख: बिंब AB को P और F के बीच खड़ा कीजिए। A से मुख्य अक्ष के समांतर किरण, जो परावर्तन के बाद F से होकर जाती है, और A से P पर तिरछी पड़ती किरण, जो मुख्य अक्ष से बराबर कोण बनाकर लौटती है। दोनों परावर्तित किरणें फैलती हैं, इसलिए उन्हें बिंदुकित रेखा से दर्पण के पीछे बढ़ाइए। वे जहाँ मिलें, वहाँ बड़ा, सीधा, आभासी प्रतिबिंब A′B′ बिंदुकित तीर से बनाइए।

पश्च-दृश्य दर्पण के रूप में उत्तल दर्पण

प्रश्न 3. हम वाहनों में पश्च-दृश्य दर्पण के रूप में उत्तल दर्पण को वरीयता क्यों देते हैं? (2 अंक)

उत्तर:

1. उत्तल दर्पण बिंब की हर स्थिति में सदैव सीधा प्रतिबिंब बनाता है, भले ही वह छोटा हो। इसलिए चालक को पीछे के वाहन सीधे दिखते हैं।
2. बाहर की ओर उभरा होने से इसका दृष्टि-क्षेत्र बहुत बड़ा होता है। समतल दर्पण की तुलना में चालक पीछे का बहुत बड़ा क्षेत्र एक साथ देख लेता है।

इन दोनों कारणों से वाहन सुरक्षित रूप से चलाया जा सकता है।

तीन गुना बड़ा वास्तविक प्रतिबिंब

प्रश्न 4. कोई अवतल दर्पण अपने सामने 10 cm दूरी पर रखे किसी बिंब का तीन गुना आवर्धित (बड़ा) वास्तविक प्रतिबिंब बनाता है। प्रतिबिंब दर्पण से कितनी दूरी पर है? (2 अंक)

हल:

दिया है: $u=-10$ cm। प्रतिबिंब वास्तविक है, इसलिए उलटा होगा और आवर्धन ऋणात्मक: $m=-3$

सूत्र: $m=-\frac{v}{u}$

$-3=-\frac{v}{-10}$, अर्थात $-3=\frac{v}{10}$

$v=-30$ cm

प्रतिबिंब दर्पण के सामने 30 cm की दूरी पर बनता है। ऋण चिह्न बताता है कि प्रतिबिंब बिंब वाली ओर, दर्पण के सामने है।

(चाहें तो फोकस दूरी भी निकाल सकते हैं: $\frac{1}{f}=\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=-\frac{1}{30}-\frac{1}{10}=-\frac{4}{30}$, अर्थात $f=-7.5$ cm।)

उत्तल दर्पण से प्रतिबिंब की गणना

प्रश्न 5. 5.0 cm लंबाई का कोई बिंब 30 cm वक्रता त्रिज्या के किसी उत्तल दर्पण के सामने 20 cm दूरी पर रखा गया है। प्रतिबिंब की स्थिति, प्रकृति तथा साइज़ ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

हल:

दिया है: $h=+5.0$ cm, $R=+30$ cm, $u=-20$ cm

उत्तल दर्पण के लिए $f=\frac{R}{2}=+15$ cm

दर्पण सूत्र से: $\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}=\frac{1}{15}+\frac{1}{20}=\frac{4+3}{60}=\frac{7}{60}$

$v=+\frac{60}{7}=+8.6$ cm (लगभग)

आवर्धन: $m=-\frac{v}{u}=-\frac{60/7}{-20}=+\frac{3}{7}\approx+0.43$

प्रतिबिंब की ऊँचाई: $h'=m\times h=\frac{3}{7}\times5.0=\frac{15}{7}\approx+2.1$ cm

प्रतिबिंब दर्पण के पीछे लगभग 8.6 cm पर बनता है, आभासी और सीधा है, और लगभग 2.1 cm ऊँचा (बिंब से छोटा) है। $v$ धनात्मक होने से प्रतिबिंब दर्पण के पीछे है और $m$ धनात्मक होने से सीधा।

अवतल दर्पण और परदा: पूरा हल

प्रश्न 6. 7.0 cm साइज़ का कोई बिंब 18 cm फोकस दूरी के किसी अवतल दर्पण के सामने 27 cm दूरी पर रखा गया है। दर्पण से कितनी दूरी पर परदा रखें कि उस पर बिंब का स्पष्ट प्रतिबिंब मिले? प्रतिबिंब का साइज़ तथा प्रकृति ज्ञात कीजिए। किरण आरेख का वर्णन भी कीजिए। (6 अंक)

हल:

दिया है: $h=+7.0$ cm, $u=-27$ cm, $f=-18$ cm (अवतल दर्पण)

प्रतिबिंब की स्थिति:

$\frac{1}{v}+\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}-\frac{1}{u}=\frac{1}{-18}+\frac{1}{27}=\frac{-3+2}{54}=-\frac{1}{54}$

$v=-54$ cm

परदा दर्पण के सामने 54 cm की दूरी पर रखना चाहिए।

प्रतिबिंब का साइज़:

$m=-\frac{v}{u}=-\frac{-54}{-27}=-2$

$h'=m\times h=(-2)\times7.0=-14$ cm

प्रतिबिंब 14 cm ऊँचा, वास्तविक, उलटा और बिंब से दोगुना बड़ा है। $h'$ का ऋण चिह्न बताता है कि प्रतिबिंब मुख्य अक्ष के नीचे, अर्थात उलटा है।

जाँच और किरण आरेख: यहाँ F दर्पण से 18 cm और C 36 cm पर है। बिंब 27 cm पर, अर्थात F और C के बीच है। सारणी के अनुसार प्रतिबिंब C से परे, बड़ा, वास्तविक और उलटा बनना चाहिए, और 54 cm सचमुच 36 cm से आगे है। आरेख में बिंब AB को F और C के बीच खड़ा कीजिए। A से मुख्य अक्ष के समांतर किरण परावर्तन के बाद F से गुज़रेगी, और A से F होकर जाती किरण परावर्तन के बाद मुख्य अक्ष के समांतर लौटेगी। दोनों C से परे, मुख्य अक्ष के नीचे मिलती हैं। वहाँ उलटा, बड़ा प्रतिबिंब A′B′ बनाइए।

वायु से जल में तिरछी किरण

प्रश्न 7. वायु में गमन करती प्रकाश की एक किरण जल में तिरछी प्रवेश करती है। क्या किरण अभिलंब की ओर झुकेगी या अभिलंब से दूर हटेगी? कारण बताइए। (2 अंक)

उत्तर:

किरण अभिलंब की ओर झुकेगी।

कारण: जल का अपवर्तनांक (1.33) वायु के अपवर्तनांक (1.0003) से अधिक है, इसलिए जल, वायु की अपेक्षा प्रकाशिक सघन माध्यम है। विरल माध्यम से सघन माध्यम में जाने पर प्रकाश की चाल घट जाती है, और धीमी होती किरण अभिलंब की ओर मुड़ जाती है।

काँच में प्रकाश की चाल

प्रश्न 8. प्रकाश वायु से 1.50 अपवर्तनांक की काँच की प्लेट में प्रवेश करता है। काँच में प्रकाश की चाल कितनी है? निर्वात में प्रकाश की चाल $3\times10^{8}$ m/s है। (2 अंक)

हल:

दिया है: $n_g=1.50$, $c=3\times10^{8}$ m/s

सूत्र: $n_g=\frac{c}{v}$, इसलिए $v=\frac{c}{n_g}$

$v=\frac{3\times10^{8}}{1.50}=2\times10^{8}$ m/s

काँच में प्रकाश की चाल $2\times10^{8}$ m/s है।

अपवर्तनांक की सारणी से प्रश्न

प्रश्न 9. (i) हीरे का अपवर्तनांक 2.42 है। इस कथन का क्या अभिप्राय है? (ii) आपको किरोसिन, तारपीन का तेल तथा जल दिए गए हैं। इनमें से किसमें प्रकाश सबसे अधिक तीव्र गति से चलता है? (3 अंक)

उत्तर:

(i) इसका अर्थ है कि वायु (या निर्वात) में प्रकाश की चाल, हीरे में प्रकाश की चाल की 2.42 गुनी है। हीरे में प्रकाश की चाल $\frac{3\times10^{8}}{2.42}\approx1.24\times10^{8}$ m/s रह जाती है। सारणी के माध्यमों में हीरे का अपवर्तनांक सबसे अधिक है, इसलिए उसका प्रकाशिक घनत्व सबसे अधिक है, जबकि वायु का सबसे कम।

(ii) अपवर्तनांक: जल 1.33, किरोसिन 1.44, तारपीन का तेल 1.47। जिसका अपवर्तनांक सबसे कम हो, उसमें प्रकाश सबसे तेज़ चलता है, क्योंकि $v=\frac{c}{n}$। इसलिए प्रकाश जल में सबसे अधिक तीव्र गति से चलता है।

काँच के आयताकार स्लैब से अपवर्तन का प्रयोग

प्रश्न 10. काँच के आयताकार स्लैब से प्रकाश के अपवर्तन को एक प्रयोग द्वारा समझाइए। निर्गत किरण आपतित किरण के समांतर क्यों होती है? (6 अंक)

उत्तर:

आवश्यक सामग्री: ड्राइंग बोर्ड, सफ़ेद कागज़, ड्राइंग पिनें, काँच का आयताकार स्लैब, चार ऑलपिन, पेंसिल और स्केल।

विधि:

1. ड्राइंग बोर्ड पर सफ़ेद कागज़ लगाकर उसके बीच में स्लैब रखिए और उसकी रूपरेखा ABCD खींचिए।
2. दो पिनें E और F ऐसे लगाइए कि EF, कोर AB से कोई कोण बनाए।
3. सामने की कोर CD की ओर से स्लैब के आर-पार E और F के प्रतिबिंब देखते हुए दो पिनें G और H इस तरह लगाइए कि चारों एक सीधी रेखा में दिखें।
4. स्लैब और पिनें हटाकर EF को बढ़ाइए, जो AB से O पर मिलती है। HG को बढ़ाइए, जो CD से O′ पर मिलती है। O और O′ को मिलाइए।
5. O पर अभिलंब NN′ और O′ पर अभिलंब MM′ खींचिए।

आरेख में दिखाइए: आयत ABCD, आपतित किरण EO, अपवर्तित किरण OO′, निर्गत किरण O′H, दोनों अभिलंब, कोण $i$ और $r$, और EO को आगे बढ़ाती बिंदुकित रेखा, जिससे O′H का खिसकाव दिखे।

प्रेक्षण:

• O पर किरण वायु से काँच में, अर्थात विरल से सघन माध्यम में जाती है और अभिलंब की ओर झुकती है।
• O′ पर किरण काँच से वायु में, अर्थात सघन से विरल माध्यम में जाती है और अभिलंब से दूर मुड़ती है।

निर्गत किरण समांतर क्यों: विपरीत फलकों AB (वायु-काँच) और CD (काँच-वायु) पर किरण के मुड़ने का परिमाण समान और विपरीत है। पहली सतह पर जितना अभिलंब की ओर मुड़ी, दूसरी पर उतना ही अभिलंब से दूर मुड़ी। इसलिए निर्गत किरण, आपतित किरण की दिशा के समांतर निकलती है, पर थोड़ा हटकर। इस हटाव को पार्श्विक विस्थापन कहते हैं।

निष्कर्ष: प्रकाश एक माध्यम से दूसरे में तिरछा जाने पर अपनी दिशा बदलता है, क्योंकि दोनों माध्यमों में उसकी चाल अलग है। किरण सतह पर अभिलंबवत पड़े, तो बिना मुड़े निकल जाती है।

आधा ढका हुआ उत्तल लेंस

प्रश्न 11. किसी उत्तल लेंस का आधा भाग काले कागज़ से ढक दिया गया है। क्या यह लेंस किसी बिंब का पूरा प्रतिबिंब बना पाएगा? कारण बताइए। (2 अंक)

उत्तर:

हाँ, लेंस पूरा प्रतिबिंब बनाएगा, पर प्रतिबिंब की चमक कम हो जाएगी।

बिंब के हर बिंदु से किरणें लेंस के हर भाग पर पड़ती हैं। आधा भाग ढकने पर भी खुले आधे भाग से बिंब के हर बिंदु की कुछ किरणें गुज़रकर प्रतिबिंब बना देती हैं। बस कम किरणें पहुँचने से प्रतिबिंब धुंधला (कम चमकीला) होता है। मोमबत्ती और परदे से यह प्रयोग करके देखा जा सकता है।

उत्तल लेंस से प्रतिबिंब: किरण आरेख के साथ

प्रश्न 12. 5 cm लंबा कोई बिंब 10 cm फोकस दूरी के किसी अभिसारी लेंस से 25 cm दूरी पर रखा जाता है। प्रतिबिंब की स्थिति, साइज़ तथा प्रकृति ज्ञात कीजिए और किरण आरेख का वर्णन कीजिए। (6 अंक)

हल:

दिया है: $h=+5$ cm, $f=+10$ cm (अभिसारी अर्थात उत्तल लेंस), $u=-25$ cm

स्थिति: लेंस सूत्र $\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{f}$ से

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}=\frac{1}{10}-\frac{1}{25}=\frac{5-2}{50}=\frac{3}{50}$

$v=+\frac{50}{3}=+16.7$ cm (लगभग)

साइज़: $m=\frac{v}{u}=\frac{50/3}{-25}=-\frac{2}{3}\approx-0.67$

$h'=m\times h=-\frac{2}{3}\times5=-\frac{10}{3}\approx-3.3$ cm

प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर लगभग 16.7 cm पर बनता है, लगभग 3.3 cm ऊँचा, वास्तविक, उलटा और बिंब से छोटा है। $v$ धनात्मक होने से प्रतिबिंब लेंस के दाईं ओर है, और $m$ ऋणात्मक होने से उलटा।

किरण आरेख: मुख्य अक्ष पर O, दोनों ओर 10 cm पर $F_1$, $F_2$ और 20 cm पर $2F_1$, $2F_2$ अंकित कीजिए। बिंब AB को $2F_1$ से परे (25 cm पर) खड़ा कीजिए। A से मुख्य अक्ष के समांतर किरण, जो लेंस से निकलकर $F_2$ से गुज़रती है, और A से O होकर बिना मुड़े सीधी जाती किरण लीजिए। दोनों $F_2$ और $2F_2$ के बीच, मुख्य अक्ष के नीचे मिलती हैं। वहीं छोटा, उलटा प्रतिबिंब A′B′ बनता है, जो सारणी से भी मेल खाता है।

उत्तल लेंस से बड़ा वास्तविक प्रतिबिंब

प्रश्न 13. कोई 2.0 cm लंबा बिंब 10 cm फोकस दूरी के किसी उत्तल लेंस के मुख्य अक्ष के लंबवत रखा है। बिंब की लेंस से दूरी 15 cm है। प्रतिबिंब की प्रकृति, स्थिति तथा साइज़ ज्ञात कीजिए। इसका आवर्धन भी ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

हल:

दिया है: $h=+2.0$ cm, $f=+10$ cm, $u=-15$ cm

$\frac{1}{v}=\frac{1}{f}+\frac{1}{u}=\frac{1}{10}-\frac{1}{15}=\frac{3-2}{30}=\frac{1}{30}$

$v=+30$ cm

आवर्धन: $m=\frac{v}{u}=\frac{+30}{-15}=-2$

प्रतिबिंब की ऊँचाई: $h'=m\times h=(-2)\times2.0=-4.0$ cm

प्रतिबिंब लेंस के दूसरी ओर 30 cm पर बनता है, वास्तविक और उलटा है, 4.0 cm लंबा है, अर्थात बिंब से दोगुना बड़ा। $m$ और $h'$ के ऋण चिह्न बताते हैं कि प्रतिबिंब उलटा है और मुख्य अक्ष के नीचे बनता है। जाँच: बिंब $F_1$ (10 cm) और $2F_1$ (20 cm) के बीच है, इसलिए सारणी के अनुसार प्रतिबिंब $2F_2$ से परे, बड़ा बनना चाहिए, और 30 cm सचमुच 20 cm से आगे है।

सुई का समान साइज़ का प्रतिबिंब

प्रश्न 14. कोई उत्तल लेंस किसी सुई का वास्तविक तथा उलटा प्रतिबिंब लेंस से 50 cm दूर बनाता है। प्रतिबिंब उसी साइज़ का है जिस साइज़ की सुई है। सुई लेंस के सामने कहाँ रखी है? लेंस की क्षमता भी ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

हल:

समान साइज़ का वास्तविक, उलटा प्रतिबिंब तभी बनता है जब बिंब $2F_1$ पर हो और प्रतिबिंब $2F_2$ पर। इसलिए $m=-1$।

$m=\frac{v}{u}=-1$ और $v=+50$ cm, तो $u=-50$ cm

सुई लेंस के सामने 50 cm दूरी पर रखी है।

लेंस सूत्र से: $\frac{1}{f}=\frac{1}{v}-\frac{1}{u}=\frac{1}{50}+\frac{1}{50}=\frac{2}{50}$, अर्थात $f=+25$ cm $=+0.25$ m

क्षमता: $P=\frac{1}{f}=\frac{1}{0.25}=+4$ D

लेंस की क्षमता +4 डाइऑप्टर है।

क्षमता से फोकस दूरी और लेंस का प्रकार

प्रश्न 15. (i) उस लेंस की फोकस दूरी ज्ञात कीजिए जिसकी क्षमता −2.0 D है। यह किस प्रकार का लेंस है? (ii) कोई डॉक्टर +1.5 D क्षमता का संशोधक लेंस लिखता है। इसकी फोकस दूरी ज्ञात कीजिए। लेंस अभिसारी है या अपसारी? (iii) 2 m फोकस दूरी वाले अवतल लेंस की क्षमता ज्ञात कीजिए। (3 अंक)

हल:

सूत्र: $P=\frac{1}{f}$ ($f$ मीटर में), इसलिए $f=\frac{1}{P}$

(i) $f=\frac{1}{-2.0}=-0.50$ m $=-50$ cm। फोकस दूरी ऋणात्मक है, इसलिए यह अवतल (अपसारी) लेंस है।

(ii) $f=\frac{1}{+1.5}=+0.67$ m $\approx+66.7$ cm। फोकस दूरी धनात्मक है, इसलिए लेंस उत्तल अर्थात अभिसारी है।

(iii) अवतल लेंस के लिए $f=-2$ m, तो $P=\frac{1}{-2}=-0.5$ D।

क्विज़ से पहले

अब 20 प्रश्न आपकी पकड़ जाँचेंगे। जिन प्रश्नों में दूरी या क्षमता निकालनी हो, वहाँ पहले कॉपी पर चिह्न सहित मान लिखिए और फिर सूत्र लगाइए। इस अध्याय की ज़्यादातर गलतियाँ ऋण चिह्न भूलने से होती हैं, गणित से नहीं।

जो प्रश्न गलत हो, उससे जुड़ी सारणी (अवतल दर्पण, उत्तल लेंस या अपवर्तनांक वाली) को एक बार फिर कॉपी में बिना देखे बनाइए।