अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: पूरा अध्याय एक नज़र में

1. पहले चित्र और कोण

उन्नयन कोण आँख की क्षैतिज रेखा से ऊपर और अवनमन कोण उसी रेखा से नीचे नापा जाता है। दोनों क्षैतिज रेखाएँ समांतर होती हैं, इसलिए अवनमन कोण संगत उन्नयन कोण के बराबर होता है। कोण खड़ी रेखा से मत नापिए।

2. मुख्य सूत्र

समकोण त्रिभुज में ऊँचाई $h$, क्षैतिज दूरी $d$, दृष्टि-रेखा या तनी डोर $L$ और भूमि से कोण $\theta$ हो, तो

$$\tan\theta=\frac hd$$

$$h=d\tan\theta$$

$$d=\frac h{\tan\theta}$$

$$h=L\sin\theta$$

$$d=L\cos\theta$$

$30^\circ$, $45^\circ$ और $60^\circ$ के लिए $\tan$ के मान क्रमशः $1/\sqrt3$, $1$ और $\sqrt3$ हैं। $\sin$ के मान $1/2$, $1/\sqrt2$, $\sqrt3/2$ हैं और $\cos$ के मान $\sqrt3/2$, $1/\sqrt2$, $1/2$।

3. दीवार का कोण और आँख की ऊँचाई

सीढ़ी दीवार से $\beta$ कोण बनाए, तो $h=L\cos\beta$ और $d=L\sin\beta$। आँख या हाथ भूमि से $e$ ऊपर हो, तो पहले उसके ऊपर की ऊँचाई निकालिए, फिर $e$ जोड़िए:

$$H=e+d\tan\theta$$

पतंग के लिए इसी तरह $H=e+L\sin\theta$, जहाँ डोर सीधी और तनी हुई मानी जाती है।

4. दो स्थानों वाले प्रश्न

दोनों बिंदु मीनार के एक ही ओर हों और आपस में $a$ दूर हों, तो पास वाले की दूरी $x$ और दूर वाले की $x+a$ लीजिए। दूर से कोण $\alpha$ और पास से $\beta$ हो, तो

$$h=x\tan\beta=(x+a)\tan\alpha$$

मीनार दोनों बिंदुओं के बीच हो, तो दूरियाँ $x$ और $a-x$ लीजिए। दोनों हालत में ऊँचाई के दो व्यंजक बराबर रखिए।

5. ऊँचाई का अंतर और जोड़

एक ही बिंदु से भवन की छत $\alpha$ और उस पर लगे खंभे की चोटी $\beta$ कोण पर दिखे, तो खंभे की ऊँचाई

$$p=d(\tan\beta-\tan\alpha)$$

टूटे पेड़ की मूल ऊँचाई = खड़ा बचा भाग + टूटे तिरछे भाग की लंबाई। तिरछे भाग की लंबाई उसकी खड़ी ऊँचाई के बराबर नहीं होती।

6. उत्तर लिखने का क्रम

चित्र में समकोण, दिया गया कोण और दी गई लंबाई लिखिए। अज्ञात को $h$ या $x$ मानिए। फिर सही अनुपात चुनिए, मान रखिए, समीकरण हल कीजिए और उत्तर इकाई के साथ लिखिए। अंत में देख लीजिए कि कर्ण बाकी भुजाओं से बड़ा है, दूरी धनात्मक है और पास वाले बिंदु से उन्नयन कोण बड़ा है।