पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

हर प्रश्न का छोटा-सा चित्र बनाकर उस पर ऊँचाई और क्षैतिज दूरी लिख दीजिए। आँख की ऊँचाई अलग से न दी हो, तो कोण भूमि के बिंदु से लीजिए। भवन और मीनार के पाद एक ही क्षैतिज तल पर माने गए हैं।

मीनार की ऊँचाई

मीनार के पाद से 30 मीटर दूर भूमि-बिंदु से शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मीनार की ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए। मीनार भूमि पर लंब है, इसलिए पाद पर समकोण बनता है।

$$\tan30^\circ=\frac h{30}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac h{30}$$

$$h=\frac{30}{\sqrt3}=10\sqrt3$$

तो मीनार की ऊँचाई $10\sqrt3$ मीटर है।

मीनार से झंडे को देखना

50 मीटर ऊँची मीनार के शीर्ष से एक ऊर्ध्वाधर झंडे के ऊपरी और निचले सिरों के अवनमन कोण क्रमशः $30^\circ$ और $45^\circ$ हैं। दोनों के पाद एक ही क्षैतिज तल पर हैं। झंडे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मीनार $AB=50$ मीटर, झंडे की ऊँचाई $CD=h$ और पादों के बीच की दूरी $BC=d$ मान लीजिए। झंडे के निचले सिरे वाले त्रिभुज में लंब पूरी मीनार है:

$$\tan45^\circ=\frac{50}{d}\Rightarrow d=50$$

ऊपरी सिरे वाले त्रिभुज में लंब दोनों चोटियों की ऊँचाई का अंतर, यानी $50-h$ है:

$$\tan30^\circ=\frac{50-h}{50}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac{50-h}{50}$$

$$h=50-\frac{50}{\sqrt3}=\frac{50(3-\sqrt3)}3$$

इसलिए झंडे की ऊँचाई $50(3-\sqrt3)/3$ मीटर है।

भवन और मीनार की ऊँचाइयाँ

एक मीनार के पाद से भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ तथा भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। मीनार 50 मीटर ऊँची है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

पादों के बीच की दूरी $d$ और भवन की ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए। यह दूरी दोनों त्रिभुजों में एक ही है, इसलिए पहले मीनार वाले त्रिभुज से इसे निकालिए:

$$\tan60^\circ=\frac{50}d\Rightarrow d=\frac{50}{\sqrt3}$$

अब भवन वाले त्रिभुज में यही $d$ रखिए:

$$\tan30^\circ=\frac hd$$

$$h=d\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{50}3$$

तो भवन की ऊँचाई $50/3$ मीटर, यानी $16\frac23$ मीटर है।

वही प्रश्न, मीनार 60 मीटर ऊँची

एक मीनार के पाद से भवन के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ तथा भवन के पाद से मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण $60^\circ$ है। मीनार 60 मीटर ऊँची है। भवन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल:

तरीका पिछले प्रश्न वाला ही है। पादों के बीच की दूरी $d$ और भवन की ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए। मीनार वाले त्रिभुज से,

$$\tan60^\circ=\frac{60}d\Rightarrow d=\frac{60}{\sqrt3}$$

भवन वाले त्रिभुज से,

$$\tan30^\circ=\frac hd$$

$$h=d\cdot\frac1{\sqrt3}=\frac{60}3$$

इसलिए भवन की ऊँचाई $60/3$ मीटर, यानी 20 मीटर है।

दीवार से झुकी सीढ़ी

7 मीटर लंबी सीढ़ी दीवार से $30^\circ$ का कोण बनाती है। वह दीवार पर कितनी ऊँचाई तक पहुँचती है?

हल:

दीवार पर ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए। कोण दीवार से है, इसलिए $h$ उसकी बगल वाली भुजा है और 7 मीटर की सीढ़ी कर्ण।

$$\cos30^\circ=\frac h7$$

$$\frac{\sqrt3}2=\frac h7$$

$$h=\frac{7\sqrt3}2$$

तो सीढ़ी दीवार पर $7\sqrt3/2$ मीटर की ऊँचाई तक पहुँचती है।