ऊँचाई और दूरी: चित्र से समीकरण तक

ऊँचाई और दूरी

किसी ऊँची मीनार या पानी की टंकी की ऊँचाई फीता लेकर सीधे नापना मुश्किल है। पर उसके पाद से अपनी दूरी और चोटी को देखने का कोण नाप लें, तो ऊँचाई हिसाब से निकल आती है। इस अध्याय में यही सीखना है: प्रश्न के शब्दों को एक समकोण त्रिभुज में बदलना और फिर पिछले अध्याय के त्रिकोणमितीय अनुपात लगाना।

हम भूमि को समतल मानते हैं और भवन, खंभे या मीनार को उस पर लंब। आपका चित्र नाप से छोटा-बड़ा बने तो कोई बात नहीं, पर कोण और भुजाओं के नाम सही जगह लिखे होने चाहिए। जो लंबाई प्रश्न में दी ही नहीं है, उसे चित्र देखकर अंदाज़े से मत लिखिए।

1. दृष्टि-रेखा, उन्नयन कोण और अवनमन कोण

आँख से देखी जा रही चीज़ तक की सीधी रेखा दृष्टि-रेखा कहलाती है। अब आँख के स्तर पर एक क्षैतिज रेखा सोचिए। चीज़ ऊपर हो (जैसे छत पर बैठा कबूतर), तो क्षैतिज रेखा से ऊपर दृष्टि-रेखा तक बना कोण उन्नयन कोण है। चीज़ नीचे हो, तो क्षैतिज रेखा से नीचे बना कोण अवनमन कोण है।

चित्र में भूमि के बिंदु से चोटी का उन्नयन कोण और चोटी से उसी बिंदु का अवनमन कोण बराबर हैं। कारण यह है कि ऊपर और नीचे की क्षैतिज रेखाएँ समांतर हैं और दृष्टि-रेखा उन्हें काटती है, इसलिए ये दोनों एकांतर कोण हैं।

अवनमन कोण हमेशा क्षैतिज रेखा से नापिए, मीनार की खड़ी रेखा से नहीं, वरना उसका पूरक कोण मिल जाएगा।

2. सही अनुपात का चुनाव

मान लीजिए भूमि पर बना कोण $\theta$ है, उसके सामने की ऊँचाई $h$ है, क्षैतिज दूरी $d$ है और तिरछी लंबाई $L$ है। तब

$$\tan\theta=\frac hd$$

$$\sin\theta=\frac hL$$

$$\cos\theta=\frac dL$$

ऊँचाई और ज़मीन की दूरी की बात हो, तो ज़्यादातर $\tan$ से काम चलता है। डोर या सीढ़ी की लंबाई दी हो, तो कर्ण भी शामिल है, तब $\sin$ या $\cos$ लीजिए। पहले देख लीजिए कि दिए गए कोण के सामने कौन-सी भुजा है और बगल में कौन-सी। अनुपात चित्र के कोण से तय होता है, प्रश्न के शब्दों से नहीं।

3. तीन कोणों के मान

यह सारणी पक्की याद कर लीजिए। मान लीजिए $\tan30^\circ=h/12$ है, तो $h=12/\sqrt3$। अंश और हर को $\sqrt3$ से गुणा करके हर का परिमेयकरण कीजिए, तो $h=4\sqrt3$ मिलता है।

जब तक दशमलव में उत्तर न माँगा जाए, उत्तर को मूलांक रूप में ही रहने दीजिए। बीच में ही $\sqrt3=1.73$ रख देने से आगे की गणना में अंतर आ सकता है।

4. छाया वाले प्रश्न

धूप में खड़ा खंभा लंब है, ज़मीन पर उसकी छाया आधार है और सूर्य की किरण तिरछी भुजा है। सूर्य का उन्नयन कोण छाया के अंतिम सिरे पर भूमि के साथ बनता है। इसलिए

$$\tan\theta=\frac{\text{खंभे की ऊँचाई}}{\text{छाया की लंबाई}}$$

छाया और ऊँचाई बराबर हों तो अनुपात 1 है, यानी कोण $45^\circ$। छाया ऊँचाई की $\sqrt3$ गुनी हो तो अनुपात $1/\sqrt3$ है और कोण $30^\circ$। दोपहर में सूरज ऊपर होता है, तब छाया छोटी पड़ती है: छोटी छाया का मतलब बड़ा उन्नयन कोण।

अनुपात हमेशा ऊँचाई बटा छाया लिखिए। इसे उलट देंगे तो कोण बदल जाएगा।

5. सीढ़ी: कोण भूमि से है या दीवार से

दीवार और भूमि समकोण बनाती हैं, इसलिए सीढ़ी कर्ण है। सीढ़ी की लंबाई $L$ और भूमि से कोण $\alpha$ हो, तो ऊँचाई $h=L\sin\alpha$ है। कोण दीवार से $\beta$ दिया हो, तो उसी ऊँचाई के लिए $h=L\cos\beta$ लिखना होगा। ये दोनों कोण मिलकर $90^\circ$ बनाते हैं।

चित्र में $30^\circ$ का कोण ऊपर, दीवार और सीढ़ी के बीच है। दीवार की ऊँचाई इस कोण के बगल वाली भुजा है, इसलिए $\cos30^\circ=h/7$ लगेगा। इसे भूमि का कोण समझकर $\sin30^\circ$ लगा दिया, तो ऊँचाई गलत निकलेगी। प्रश्न में “भूमि से” लिखा है या “दीवार से”, यह शब्द ध्यान से पढ़िए।

6. जब आँख या हाथ ज़मीन से ऊपर हो

खड़ा व्यक्ति भवन की छत देखे, तो कोण उसकी आँख से बनता है, ज़मीन से नहीं। आँख भूमि से $e$ मीटर ऊपर हो और भवन की पूरी ऊँचाई $H$ हो, तो त्रिभुज का लंब $H-e$ होगा। आँख से भवन तक क्षैतिज दूरी $d$ हो, तो

$$\tan\theta=\frac{H-e}{d}$$

$$H=e+d\tan\theta$$

पतंग में भी यही बात है। डोर सीधी और तनी हुई मानी जाती है, और $L\sin\theta$ से हाथ के ऊपर की ऊँचाई मिलती है। पूरी ऊँचाई के लिए इसमें हाथ की भूमि से ऊँचाई जोड़िए।

आँख की ऊँचाई प्रश्न में न दी हो, तो उसे अपने मन से मत गढ़िए। जो स्तर दिया है, उसी से काम लीजिए।

7. एक ही ओर के दो स्थान

मीनार की ओर बढ़ने पर दूरी घटती है और चोटी देखने के लिए सिर ज़्यादा ऊपर उठाना पड़ता है, यानी उन्नयन कोण बढ़ता है। पास वाले बिंदु की पाद से दूरी $x$ और दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी $a$ हो, तो दूर वाले की दूरी $x+a$ होगी।

दूर वाले बिंदु से कोण $\alpha$, पास वाले से $\beta$ और मीनार की ऊँचाई $h$ हो, तो

$$h=(x+a)\tan\alpha$$

$$h=x\tan\beta$$

मीनार एक ही है, इसलिए दोनों व्यंजक बराबर रखिए। इससे पहले $x$ निकलेगा, फिर किसी एक समीकरण से $h$।

सबसे आम गलती है दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी को ही मीनार से दूरी मान लेना। चित्र में पाद, पास वाला बिंदु और दूर वाला बिंदु एक रेखा पर इसी क्रम में लिखिए।

8. मीनार दो बिंदुओं के बीच हो

अब दोनों बिंदु मीनार के अलग-अलग ओर हैं और उनके बीच कुल दूरी $a$ है। एक ओर की दूरी $x$ हो, तो दूसरी ओर की $a-x$ होगी। यहाँ दोनों दूरियाँ जुड़कर $a$ बनती हैं, जबकि एक ही ओर वाले प्रश्न में दोनों दूरियों का अंतर $a$ था।

दोनों त्रिभुजों में मीनार की ऊँचाई एक ही है, तो फिर से ऊँचाई के दो व्यंजक बराबर कीजिए। “बीच में” का मतलब हमेशा ठीक बीचोंबीच नहीं होता। मध्यबिंदु तभी मानिए जब प्रश्न में साफ़ लिखा हो। जिस बिंदु से उन्नयन कोण बड़ा है, वह मीनार के ज़्यादा पास होगा।

9. छत पर लगा खंभा या झंडा

भूमि के एक बिंदु से भवन की छत $\alpha$ कोण पर दिखती है और छत पर लगे खंभे की चोटी $\beta$ कोण पर। दोनों के लिए क्षैतिज दूरी एक ही, $d$ है। भवन की ऊँचाई $H$ और खंभे की ऊँचाई $p$ मान लीजिए।

$$H=d\tan\alpha$$

$$H+p=d\tan\beta$$

दूसरे समीकरण में से पहला घटाइए:

$$p=d(\tan\beta-\tan\alpha)$$

बड़े कोण से जो ऊँचाई मिलती है, वह भवन और खंभा मिलाकर है। सिर्फ़ खंभे की ऊँचाई चाहिए, तो उसमें से भवन की ऊँचाई घटाइए। इसी तरह दृष्टि-रेखा दो अलग ऊँचाइयों के बीच हो, तो त्रिभुज का लंब उनका अंतर होता है।

10. एक भवन से दूसरा भवन

दोनों भवनों के पाद एक ही तल पर हों, तो उनके बीच की क्षैतिज दूरी $d$ हर त्रिभुज में वही रहेगी। भूमि से छत देखने पर लंब पूरे भवन की ऊँचाई है, पर एक छत से दूसरी छत देखने पर लंब सिर्फ़ दोनों ऊँचाइयों का अंतर है।

मान लीजिए 50 मीटर ऊँची मीनार की चोटी से एक छोटे खंभे की चोटी नीचे दिखती है। तब उस त्रिभुज का लंब $50-h$ है, $h$ नहीं। वहीं से खंभे का पाद देखें, तो लंब पूरे 50 मीटर है। ऐसे प्रश्नों में पहले पाद वाले त्रिभुज से दूरी निकाल लीजिए। फिर उसी दूरी से ऊँचाई का अंतर निकालकर मीनार की ऊँचाई में से घटा दीजिए।

11. टूटा हुआ पेड़

आँधी में टूटे पेड़ में तीन लंबाइयाँ अलग-अलग पहचानिए: खड़ा बचा भाग, टूटकर झुका तिरछा भाग, और पाद से उस जगह तक की दूरी जहाँ सिरा ज़मीन छूता है। तिरछा भाग समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

टूटा भाग भूमि से $\theta$ कोण बनाए और पाद से सिरे की दूरी $d$ हो, तो बचा भाग $h=d\tan\theta$ और टूटा भाग $L=d/\cos\theta$ होगा। पेड़ की असली ऊँचाई $h+L$ है। सिर्फ़ $h$ लिखकर छोड़ देना अधूरा उत्तर है। टूटे भाग को बचे भाग के बराबर मानकर ऊँचाई $2h$ भी मत लिखिए, क्योंकि दोनों की लंबाई अलग होती है।

12. चलती नाव और उत्तर की जाँच

नाव एक ही चाल से सीधे मीनार की ओर आ रही हो, तो दोनों कोणों से पहले और बाद की क्षैतिज दूरियाँ निकालिए। इनका अंतर वह दूरी है जो नाव ने तय की। चाल एक जैसी है, इसलिए समयों का अनुपात दूरियों के अनुपात के बराबर होगा। तय की गई और बची हुई दूरी अलग-अलग लिखिए, और आगे का समय पूछा हो तो उसमें बीता हुआ समय मत जोड़िए।

हल पूरा होने पर देख लीजिए कि सारी लंबाइयाँ एक ही इकाई में हैं, कर्ण बाकी भुजाओं से बड़ा है और उत्तर चित्र से मेल खाता है। आँख की ऊँचाई जोड़नी थी या ऊपर लगे खंभे के लिए भवन की ऊँचाई घटानी थी, तो वह भी हुआ या नहीं, एक नज़र देख लीजिए।

उन्नयन कोण से ऊँचाई

समतल भूमि पर मीनार के पाद से 20 मीटर दूर स्थित बिंदु से उसके शीर्ष का उन्नयन कोण $30^\circ$ है। ऊँचाई निकालिए।

हल:

मीनार की ऊँचाई $h$ मीटर मान लीजिए। क्षैतिज दूरी 20 मीटर है, इसलिए $\tan$ लगेगा।

$$\tan30^\circ=\frac{h}{20}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac h{20}\Rightarrow h=\frac{20}{\sqrt3}$$

अब हर का परिमेयकरण कीजिए:

$$h=\frac{20\sqrt3}{3}$$

तो मीनार की ऊँचाई $20\sqrt3/3$ मीटर है।

ऊँचाई से क्षैतिज दूरी

एक मीनार 18 मीटर ऊँची है। भूमि के जिस बिंदु से शीर्ष का उन्नयन कोण $60^\circ$ है, वह पाद से कितनी दूर है?

हल:

क्षैतिज दूरी $x$ मीटर मान लीजिए।

$$\tan60^\circ=\frac{18}{x}$$

$$\sqrt3=\frac{18}{x}\Rightarrow x=\frac{18}{\sqrt3}=6\sqrt3$$

इसलिए वह बिंदु पाद से $6\sqrt3$ मीटर दूर है।

छाया से सूर्य का कोण

एक ऊर्ध्वाधर खंभा 12 मीटर ऊँचा है और उसकी छाया $4\sqrt3$ मीटर है। सूर्य का उन्नयन कोण निकालिए।

हल:

सूर्य का उन्नयन कोण $\theta$ मान लीजिए। खंभा लंब है और ज़मीन पर पड़ी छाया आधार।

$$\tan\theta=\frac{12}{4\sqrt3}=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3$$

हम जानते हैं कि $\tan60^\circ=\sqrt3$ होता है। इसलिए सूर्य का उन्नयन कोण $60^\circ$ है।

भूमि से कोण बनाती सीढ़ी

10 मीटर लंबी सीढ़ी समतल भूमि से $60^\circ$ का कोण बनाकर ऊर्ध्वाधर दीवार से लगी है। ऊपरी सिरा कितनी ऊँचाई पर है?

हल:

सीढ़ी कर्ण है। ऊपरी सिरे की ऊँचाई $h$ मान लीजिए।

$$\sin60^\circ=\frac h{10}$$

$$h=10\cdot\frac{\sqrt3}{2}=5\sqrt3$$

तो सीढ़ी का ऊपरी सिरा $5\sqrt3$ मीटर की ऊँचाई पर है। यहाँ 10 मीटर सीढ़ी की लंबाई है, ज़मीन की दूरी नहीं, इसीलिए $\sin$ लगा।

दीवार से बना कोण

8 मीटर की सीढ़ी दीवार से $60^\circ$ का कोण बनाती है। दीवार पर पहुँचने की ऊँचाई और दीवार से निचले सिरे की दूरी निकालिए।

हल:

$60^\circ$ का कोण ऊपर, दीवार और सीढ़ी के बीच है। इस कोण के लिए ऊँचाई बगल वाली भुजा है।

$$\cos60^\circ=\frac h8\Rightarrow h=4$$

दीवार से दूरी $d$ इसी कोण के सामने है।

$$\sin60^\circ=\frac d8\Rightarrow d=4\sqrt3$$

इसलिए ऊँचाई 4 मीटर और दीवार से दूरी $4\sqrt3$ मीटर है। भूमि से सीढ़ी का कोण $30^\circ$ होगा।

पतंग की तनी डोर

एक पतंग भूमि से $20\sqrt3$ मीटर ऊपर है। भूमि पर पकड़ी तनी डोर क्षैतिज से $60^\circ$ बनाती है। डोर की लंबाई निकालिए।

हल:

डोर की लंबाई $L$ मीटर मान लीजिए। तनी हुई डोर सीधी है और त्रिभुज का कर्ण बनती है।

$$\sin60^\circ=\frac{20\sqrt3}{L}$$

$$\frac{\sqrt3}{2}=\frac{20\sqrt3}{L}\Rightarrow L=40$$

तो डोर की लंबाई 40 मीटर है।

प्रेक्षक की आँख की ऊँचाई

एक व्यक्ति की आँखें भूमि से 1.5 मीटर ऊपर हैं। भवन के पाद से 10 मीटर दूर खड़े होकर उसे शीर्ष $45^\circ$ पर दिखता है। भवन की ऊँचाई निकालिए।

हल:

भवन की पूरी ऊँचाई $H$ मीटर मान लीजिए। कोण आँख से बन रहा है, इसलिए त्रिभुज का लंब आँख के ऊपर का हिस्सा, यानी $H-1.5$ मीटर है।

$$\tan45^\circ=\frac{H-1.5}{10}$$

$$1=\frac{H-1.5}{10}\Rightarrow H-1.5=10$$

इसलिए भवन की ऊँचाई $H=11.5$ मीटर है। 10 मीटर उत्तर मत लिखिए, वह सिर्फ़ आँख से ऊपर का हिस्सा है।

अवनमन से दूरी

24 मीटर ऊँचे प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से समुद्र की सतह पर नाव का अवनमन कोण $30^\circ$ है। नाव की क्षैतिज दूरी निकालिए।

हल:

चोटी की क्षैतिज रेखा और समुद्र की सतह समांतर हैं, इसलिए नाव से चोटी का उन्नयन कोण भी $30^\circ$ है। नाव की दूरी $d$ मीटर मान लीजिए।

$$\tan30^\circ=\frac{24}{d}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac{24}{d}\Rightarrow d=24\sqrt3$$

तो नाव प्रकाशस्तंभ से $24\sqrt3$ मीटर की क्षैतिज दूरी पर है।

पास जाने पर कोण बदलना

एक मीनार के एक ही ओर स्थित दो भूमि-बिंदुओं की दूरी 20 मीटर है। दूर वाले बिंदु से उन्नयन कोण $30^\circ$ और पास वाले से $60^\circ$ है। मीनार की ऊँचाई निकालिए।

हल:

पास वाले बिंदु की पाद से दूरी $x$ और ऊँचाई $h$ मान लीजिए। दूर वाला बिंदु 20 मीटर और पीछे है, तो उसकी दूरी $x+20$ होगी।

$$h=x\tan60^\circ=\sqrt3x$$

$$h=(x+20)\tan30^\circ=\frac{x+20}{\sqrt3}$$

दोनों को बराबर रखकर $\sqrt3$ से गुणा कीजिए: $3x=x+20$, यानी $x=10$।

$$h=10\sqrt3$$

इसलिए मीनार की ऊँचाई $10\sqrt3$ मीटर है। दूसरे समीकरण से मिलाकर देख लेते हैं: $30/\sqrt3=10\sqrt3$, वही उत्तर।

विपरीत ओर के बिंदु

40 मीटर दूर स्थित दो भूमि-बिंदुओं के बीच एक मीनार है। दोनों बिंदुओं से शीर्ष के उन्नयन कोण क्रमशः $60^\circ$ और $30^\circ$ हैं। ऊँचाई निकालिए।

हल:

पहले बिंदु ($60^\circ$ वाले) की पाद से दूरी $x$ हो, तो मीनार बीच में होने से दूसरे की दूरी $40-x$ होगी।

$$h=\sqrt3x$$

$$h=\frac{40-x}{\sqrt3}$$

दोनों को बराबर रखने पर $3x=40-x$, तो $4x=40$ और $x=10$।

इसलिए मीनार की ऊँचाई $10\sqrt3$ मीटर है। यहाँ दोनों दूरियाँ 10 और 30 मीटर हैं, जिनका योग 40 है।

भवन पर लगा झंडा

एक भवन के पाद से 10 मीटर दूर भूमि-बिंदु से भवन का शीर्ष $45^\circ$ और उस पर लगे झंडे का शीर्ष $60^\circ$ पर दिखता है। झंडे की ऊँचाई निकालिए।

हल:

भवन की ऊँचाई $H$ और झंडे की ऊँचाई $p$ मान लीजिए। दोनों के लिए दूरी 10 मीटर ही है।

$$H=10\tan45^\circ=10$$

$$H+p=10\tan60^\circ=10\sqrt3$$

दूसरी ऊँचाई में भवन भी शामिल है, इसलिए उसमें से पहली घटाइए:

$$p=10\sqrt3-10=10(\sqrt3-1)$$

तो झंडे की ऊँचाई $10(\sqrt3-1)$ मीटर है।

टूटा हुआ पेड़

एक पेड़ का ऊपरी भाग टूटकर भूमि से $30^\circ$ बनाता है। उसका सिरा पाद से $6\sqrt3$ मीटर दूर भूमि को छूता है। पेड़ की मूल ऊँचाई निकालिए।

हल:

खड़े बचे भाग की ऊँचाई $h$ और टूटे भाग की लंबाई $L$ मान लीजिए।

$$h=6\sqrt3\tan30^\circ=6$$

$$\cos30^\circ=\frac{6\sqrt3}{L}\Rightarrow L=12$$

टूटने से पहले दोनों भाग सीधे खड़े थे, इसलिए मूल ऊँचाई $h+L=6+12$ है। तो पेड़ की मूल ऊँचाई 18 मीटर है।

बराबर ऊँचाई के खंभे

40 मीटर चौड़ी सड़क के किनारों पर बराबर ऊँचाई के दो खंभे हैं। दोनों खंभों को जोड़ने वाले सड़क-पार रेखाखंड के एक बिंदु से उनके शीर्ष $30^\circ$ और $60^\circ$ पर दिखते हैं। खंभों की ऊँचाई निकालिए।

हल:

दोनों खंभों की ऊँचाई $h$ है। $60^\circ$ वाले खंभे की दूरी $x$ मान लीजिए, तो दूसरे की $40-x$ होगी।

$$h=x\tan60^\circ=\sqrt3x$$

$$h=(40-x)\tan30^\circ=\frac{40-x}{\sqrt3}$$

दोनों को बराबर रखने पर $3x=40-x$, यानी $x=10$।

तो हर खंभे की ऊँचाई $10\sqrt3$ मीटर है। प्रेक्षक सड़क के बीचोंबीच नहीं है: उसकी दूरियाँ 10 और 30 मीटर हैं।

चलती नाव का समय

प्रकाशस्तंभ के शीर्ष से सीधे उसके पाद की ओर आती नाव का अवनमन कोण $30^\circ$ से $60^\circ$ होने में 4 मिनट लगते हैं। समान चाल से नाव को अब पाद तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?

हल:

प्रकाशस्तंभ की ऊँचाई $h$ मान लीजिए। शुरू में नाव की क्षैतिज दूरी $d_1$ थी और बाद में $d_2$ रह गई। अवनमन कोण नाव पर बने उन्नयन कोण के बराबर है, इसलिए

$$d_1=\frac h{\tan30^\circ}=h\sqrt3$$

$$d_2=\frac h{\tan60^\circ}=\frac h{\sqrt3}$$

4 मिनट में तय की गई दूरी,

$$d_1-d_2=\frac{2h}{\sqrt3}=2d_2$$

यानी बची दूरी की दोगुनी दूरी 4 मिनट में तय हुई। चाल वही है, तो बची दूरी में इसका आधा समय लगेगा: 2 मिनट।