अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

1. त्रिज्या और इकाई

व्यास $d$ दिया हो, तो पहले $r=d/2$ लिखिए। परिधि एक लंबाई है, इसलिए वह सेमी या मीटर में आती है। क्षेत्रफल वर्ग सेमी या वर्ग मीटर में आता है। $1$ मीटर $=100$ सेमी, पर $1$ वर्ग मीटर $=10000$ वर्ग सेमी। $\pi$ का मान सवाल में दिया हो, तो वही लीजिए, नहीं तो $22/7$ लीजिए।

2. पूरा वृत्त, अर्धवृत्त और चतुर्थांश

$$C=2\pi r=\pi d$$

$$A=\pi r^2$$

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2/2$ और परिमाप $\pi r+2r$ है। चतुर्थांश का क्षेत्रफल $\pi r^2/4$ और परिमाप $\pi r/2+2r$ है। दोनों के परिमाप में सीधे किनारे गिनना मत भूलिए।

3. त्रिज्यखंड

यहाँ $\theta$ अंश में है और $l$ चाप की लंबाई है।

$$l=\frac{\theta}{360}\times2\pi r$$

$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360}\times\pi r^2$$

$$P_{\text{sector}}=l+2r$$

चाप और त्रिज्या दी हों, तो $A=rl/2$ भी लगा सकते हैं। कोण निकालना हो, तो $\theta=360l/(2\pi r)$ लिखिए। परिमाप दिया हो, तो पहले $l=P-2r$ निकालिए।

4. वृत्तखंड

लघु वृत्तखंड पाने के लिए लघु त्रिज्यखंड में से वह त्रिभुज घटाइए जो दो त्रिज्याओं और जीवा से बनता है।

$$A_{\text{minor segment}}=A_{\text{sector}}-A_{\triangle}$$

दीर्घ वृत्तखंड = पूरा वृत्त − लघु वृत्तखंड। त्रिभुज का क्षेत्रफल $90^\circ$ पर $r^2/2$ होता है और $60^\circ$ पर, जहाँ त्रिभुज समबाहु है, $\sqrt3 r^2/4$। $120^\circ$ पर त्रिभुज समद्विबाहु होता है, फिर भी उसका क्षेत्रफल $\sqrt3 r^2/4$ ही आता है, क्योंकि ऊँचाई $r/2$ और आधार $r\sqrt3$ है।

5. पट्टी और संयुक्त आकृतियाँ

$$A_{\text{ring}}=\pi(R^2-r^2)$$

बड़े भाग में से हटाया गया भाग घटाइए। जो भाग दो बार गिना गया हो, उसे एक बार घटाइए। बाहरी परिमाप में भीतर की साझा भुजा मत जोड़िए। वर्ग के अंदर चारों भुजाओं को छूते वृत्त का व्यास वर्ग की भुजा के बराबर होता है।

6. घड़ी, पहिया और तार

मिनट की सुई $t$ मिनट में $6t$ अंश घूमती है, और $0\le t\le60$ के लिए तय क्षेत्रफल $(t/60)\pi r^2$ है। 40 मिनट के लिए $240^\circ$ लीजिए, $120^\circ$ नहीं।

$$\text{चक्कर}=\frac{\text{कुल दूरी}}{2\pi r}$$

दूरी और परिधि एक ही इकाई में होनी चाहिए। तार मोड़ने पर परिमाप वही रहता है, क्षेत्रफल नहीं।

7. अनुपात और उत्तर की जाँच

$$C_1:C_2=r_1:r_2$$

$$A_1:A_2=r_1^2:r_2^2$$

लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल अपने त्रिज्यखंड से कम ही आना चाहिए। संयुक्त आकृति के उत्तर में लिखिए कि कौन-से भाग जोड़े और कौन-से घटाए। दशमलव में गोल करना सबसे अंत में कीजिए और वहाँ $\approx$ लगाइए।