वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल: समझें और अभ्यास करें

वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल

मान लीजिए आपके स्कूल में एक गोल मैदान है। उसके चारों ओर बाड़ लगानी हो, तो किनारे की लंबाई, यानी परिधि चाहिए। उसी मैदान में घास लगानी हो, तो भीतर की जगह, यानी क्षेत्रफल चाहिए। चित्र एक ही है, पर दोनों सवालों के उत्तर और उनकी इकाइयाँ अलग होंगी। इसलिए हर सवाल शुरू करने से पहले खुद से पूछिए: मुझे सीमा की लंबाई निकालनी है या भीतर का क्षेत्रफल?

इस पाठ में हम पूरे वृत्त से शुरू करके अर्धवृत्त, चतुर्थांश, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड तक चलेंगे। फिर कई टुकड़ों से बनी आकृतियाँ देखेंगे, और घड़ी की सुई व पहिए वाले सवाल भी करेंगे। कॉपी-पेन साथ रखिए और हर उदाहरण खुद भी हल करते चलिए।

$\pi$ का जो मान सवाल में दिया हो, वही लीजिए। कोई अलग निर्देश न हो, तो इस अध्याय में $\pi=22/7$ लेकर गणना कीजिए। जहाँ उत्तर $\pi$ के रूप में माँगा गया हो, वहाँ उसे दशमलव में बदलने की ज़रूरत नहीं है। वैसे $\pi$ का ठीक मान $22/7$ नहीं है, यह गणना की सुविधा के लिए लिया गया लगभग मान है।

1. त्रिज्या, व्यास और इकाई

केंद्र से वृत्त के किसी भी बिंदु तक की दूरी त्रिज्या $r$ है। जो जीवा केंद्र से होकर जाती है, वह व्यास $d$ है। इसलिए $d=2r$ और $r=d/2$।

$$C=2\pi r=\pi d$$

$$A=\pi r^2$$

सवाल में व्यास दिया हो, तो सबसे पहले त्रिज्या लिखिए। जैसे व्यास 28 सेमी है, तो क्षेत्रफल में 28 का वर्ग नहीं लगेगा, बल्कि त्रिज्या 14 सेमी का वर्ग लगेगा।

परिधि में $r$ की पहली घात है और क्षेत्रफल में दूसरी। इसीलिए परिधि सेमी में आती है और क्षेत्रफल वर्ग सेमी में। इकाई बदलते समय भी यही ध्यान रखिए: $1$ मीटर $=100$ सेमी, पर $1$ वर्ग मीटर $=100\times100=10000$ वर्ग सेमी।

परिधि दी हो, तो $r=C/(2\pi)$ से त्रिज्या निकालिए। क्षेत्रफल दिया हो, तो $r^2=A/\pi$ निकालकर उसका वर्गमूल लीजिए। त्रिज्या एक लंबाई है, इसलिए धनात्मक मान ही लीजिए। सवाल के सारे माप पहले ही एक इकाई में लिख लेंगे, तो आगे की गणना साफ़ रहेगी।

2. अनुपात वाले सवाल

दो वृत्तों की परिधियाँ $C_1=2\pi r_1$ और $C_2=2\pi r_2$ हैं। इनका अनुपात लेने पर $2\pi$ कट जाता है, इसलिए परिधियों का अनुपात वही रहता है जो त्रिज्याओं का है। क्षेत्रफलों के अनुपात में $\pi$ तो कटता है, पर त्रिज्याओं के वर्ग बचे रहते हैं।

$$C_1:C_2=r_1:r_2$$

$$A_1:A_2=r_1^2:r_2^2$$

जैसे त्रिज्याएँ $2:3$ में हों, तो परिधियाँ भी $2:3$ में होंगी, पर क्षेत्रफल $4:9$ में। उलटा सवाल भी आता है: क्षेत्रफल $16:81$ में हों, तो दोनों का वर्गमूल लेकर त्रिज्याएँ $4:9$ में मिलती हैं।

याद रखने का आसान तरीका यह है कि त्रिज्या दोगुनी कर दीजिए, तो परिधि दोगुनी होती है, पर क्षेत्रफल चार गुना हो जाता है, क्योंकि वृत्त लंबाई और चौड़ाई दोनों तरफ़ फैलता है। अनुपात वाले सवाल में पहले देखिए कि परिधि पूछी है या क्षेत्रफल, फिर तय कीजिए कि वर्ग लगाना है या नहीं।

3. अर्धवृत्त और चतुर्थांश

अर्धवृत्त पूरे वृत्त का आधा है, इसलिए उसका क्षेत्रफल $\pi r^2/2$ है। उसका मुड़ा हुआ किनारा आधी परिधि, यानी $\pi r$ है। पर उसकी पूरी सीमा में नीचे का सीधा व्यास भी आता है।

$$P_{\text{semicircle}}=\pi r+2r$$

चतुर्थांश वृत्त का चौथाई भाग है। उसका क्षेत्रफल $\pi r^2/4$ है और चाप $2\pi r/4=\pi r/2$ है। इसकी सीमा में दो त्रिज्याएँ भी आती हैं।

$$P_{\text{quadrant}}=\frac{\pi r}{2}+2r$$

जैसे 7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का चाप 22 सेमी है, पर उसका परिमाप $22+14=36$ सेमी है। शक हो, तो कॉपी में आकृति बनाकर उसकी सीमा पर पेंसिल घुमाइए और देखिए कि कौन-कौन से किनारे आते हैं। चाप की लंबाई और पूरे टुकड़े का परिमाप एक चीज़ नहीं हैं। त्रिज्यखंड के सवालों में भी यही बात काम आएगी।

4. चाप और त्रिज्यखंड

दो त्रिज्याओं और उनके बीच के चाप से घिरे भाग को त्रिज्यखंड कहते हैं, जैसे गोल रोटी से काटा गया एक तिकोना टुकड़ा। पूरा वृत्त $360^\circ$ का होता है, इसलिए $\theta$ अंश वाला टुकड़ा पूरे वृत्त का $\theta/360$ भाग है। यही भिन्न परिधि और क्षेत्रफल, दोनों पर लगती है।

$$l=\frac{\theta}{360}\times2\pi r$$

$$A_{\text{sector}}=\frac{\theta}{360}\times\pi r^2$$

यहाँ $\theta$ अंश में है। कुछ भिन्न याद रखिए: $60^\circ$ यानी $1/6$, $90^\circ$ यानी $1/4$, $120^\circ$ यानी $1/3$ और $270^\circ$ यानी $3/4$। कोण $180^\circ$ से बड़ा हो, तो वह दीर्घ त्रिज्यखंड है, और सूत्र उसी कोण के साथ वैसे ही लगता है।

चित्र (a) के रंगीन भाग में केंद्र तक का त्रिभुज भी शामिल है। यह त्रिज्यखंड है। चित्र (b) में सिर्फ़ जीवा $AB$ और चाप के बीच का भाग रंगा है। यह वृत्तखंड है। इन दोनों के क्षेत्रफल अलग-अलग हैं।

5. त्रिज्यखंड का परिमाप और उलटे सवाल

त्रिज्यखंड की सीमा में एक चाप और दो त्रिज्याएँ होती हैं। इसलिए,

$$P=l+2r$$

परिमाप दिया हो, तो पहले उसमें से दोनों त्रिज्याएँ हटाकर चाप निकालिए: $l=P-2r$। फिर चाप की तुलना पूरी परिधि से कीजिए, कोण मिल जाएगा।

$$\theta=\frac{l}{2\pi r}\times360$$

मान लीजिए त्रिज्या 7 सेमी और परिमाप 25 सेमी है। तो चाप $25-14=11$ सेमी हुआ। पूरी परिधि 44 सेमी है, यानी चाप उसका चौथाई है, इसलिए कोण $90^\circ$ है। कई विद्यार्थी 25 को ही चाप मान लेते हैं और कोण गलत आ जाता है।

चाप और त्रिज्या दोनों पता हों, तो क्षेत्रफल का एक छोटा सूत्र भी है। चाप के सूत्र को $r/2$ से गुणा कीजिए:

$$A=\frac12rl$$

यहाँ $l$ चाप की लंबाई है, जीवा की नहीं। जीवा की लंबाई रखकर यह सूत्र मत लगाइए।

6. वृत्तखंड का क्षेत्रफल

जीवा और उसके चाप के बीच के भाग को वृत्तखंड कहते हैं। जीवा के दोनों सिरों को केंद्र से मिलाइए। अब छोटे त्रिज्यखंड में दो हिस्से दिखेंगे: एक त्रिभुज और एक लघु वृत्तखंड। तो त्रिज्यखंड में से त्रिभुज घटा दीजिए, वृत्तखंड बच जाएगा।

$$A_{\text{minor segment}}=A_{\text{sector}}-A_{\triangle}$$

$90^\circ$ पर दोनों त्रिज्याएँ एक-दूसरे पर लंब हैं, इसलिए त्रिभुज का क्षेत्रफल $r^2/2$ है। $60^\circ$ पर त्रिभुज समबाहु बनता है, जिसकी हर भुजा $r$ है, तो उसका क्षेत्रफल $\sqrt3 r^2/4$ है।

$120^\circ$ पर त्रिभुज समबाहु नहीं रहता। केंद्र से जीवा पर लंब डालिए, तो $120^\circ$ का कोण दो $60^\circ$ में बँट जाता है। अब ऊँचाई $r\cos60^\circ=r/2$ है और आधी जीवा $r\sin60^\circ=r\sqrt3/2$ है। इनसे क्षेत्रफल फिर $\sqrt3 r^2/4$ ही आता है। कॉपी में यह कारण लिखकर ही यह मान लगाइए, सीधे समबाहु वाला सूत्र मत लिखिए।

दीर्घ वृत्तखंड चाहिए, तो पूरे वृत्त में से लघु वृत्तखंड घटाइए। ध्यान रहे, दीर्घ त्रिज्यखंड और दीर्घ वृत्तखंड अलग-अलग भाग हैं। चित्र में जीवा देखकर तय कीजिए कि सवाल कौन-सा भाग माँग रहा है।

7. संकेंद्रीय वृत्त और गोल पट्टी

एक ही केंद्र वाले दो वृत्तों के बीच का भाग चूड़ी जैसी गोल पट्टी दिखता है। बड़े वृत्त की त्रिज्या $R$ और छोटे की $r$ मान लीजिए। पट्टी का क्षेत्रफल पाने के लिए बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाइए।

$$A=\pi R^2-\pi r^2=\pi(R^2-r^2)$$

इसे $\pi(R-r)^2$ मत लिखिए। पट्टी की चौड़ाई $R-r$ ज़रूर है, पर पट्टी उतनी त्रिज्या वाला वृत्त नहीं है। जैसे $R=14$ और $r=7$ हो, तो क्षेत्रफल $\pi(196-49)=147\pi$ है, $49\pi$ नहीं।

अब 10 मीटर त्रिज्या का एक गोल मैदान लीजिए, जिसके चारों ओर 2 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते की बाहरी त्रिज्या $10+2=12$ मीटर होगी और रास्ते का क्षेत्रफल $\pi(12^2-10^2)$ होगा। अगर रास्ते के दोनों किनारों पर बाड़ लगानी हो, तो बाड़ की लंबाई $2\pi R+2\pi r$ होगी। यानी क्षेत्रफल और बाड़ की लंबाई का हिसाब अलग-अलग लगेगा।

8. संयुक्त आकृतियाँ

मिली-जुली आकृति को पहले जाने-पहचाने टुकड़ों में बाँटिए: वर्ग, आयत, त्रिभुज, अर्धवृत्त या चतुर्थांश। फिर रंगीन भाग के बारे में एक पंक्ति शब्दों में लिखिए, जैसे “वर्ग में से वृत्त घटाएँगे” या “आयत में दो अर्धवृत्त जोड़ेंगे”। इसके बाद संख्याएँ रखिए। इससे परीक्षक को आपकी विधि साफ़ दिखती है।

बराबर त्रिज्या वाले दो अर्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं, इसलिए उनका कुल क्षेत्रफल सीधे $\pi r^2$ लिख सकते हैं। त्रिज्याएँ अलग हों, तो ऐसा नहीं कर सकते। अगर किसी आयत की छोटी भुजाओं पर बाहर की ओर अर्धवृत्त बने हों, तो पूरी आकृति की लंबाई आयत की लंबाई से ज़्यादा होगी, क्योंकि दोनों सिरों पर त्रिज्याएँ जुड़ जाती हैं।

परिमाप निकालते समय वे भुजाएँ छोड़ दीजिए जो आकृति के भीतर आ गई हैं। क्षेत्रफल में कोई भाग दो बार गिना जा रहा हो, तो उसे एक बार घटाइए। दो चतुर्थांश एक-दूसरे पर चढ़े हों, तो साझा भाग में जीवा खींचिए, वह दो बराबर वृत्तखंडों में बँट जाएगा। माप हमेशा दी गई जानकारी से निकालिए, चित्र देखकर अंदाज़े से नहीं।

9. घड़ी की सुई

मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर, यानी $360^\circ$ घूमती है। तो हर मिनट में वह $6^\circ$ घूमती है, और $t$ मिनट में $6t$ अंश। यहाँ सुई की लंबाई ही त्रिज्या है। एक चक्कर के अंदर सुई जितना क्षेत्रफल तय करती है, वह है:

$$A=\frac{t}{60}\pi r^2$$

20 मिनट में सुई $120^\circ$ घूमती है और 40 मिनट में $240^\circ$। 40 मिनट बाद सुई की शुरुआती और आख़िरी स्थिति के बीच छोटा कोण $120^\circ$ दिखता है, पर सुई उस छोटे हिस्से से होकर नहीं गई। सवाल घूमे हुए भाग का क्षेत्रफल पूछता है, इसलिए यहाँ $240^\circ$ ही लीजिए।

घंटे की सुई धीरे चलती है। वह 12 घंटे में $360^\circ$ घूमती है, यानी एक घंटे में $30^\circ$ और एक मिनट में $0.5^\circ$। मिनट की सुई वाला $6t$ नियम घंटे की सुई पर मत लगाइए।

10. पहिया और तार

पहिया बिना फिसले एक पूरा चक्कर लगाता है, तो वह अपनी परिधि जितनी दूरी तय करता है। इसलिए,

$$\text{दूरी}=\text{चक्कर}\times2\pi r$$

$$\text{चक्कर}=\frac{\text{दूरी}}{2\pi r}$$

अक्सर दूरी मीटर में और त्रिज्या सेमी में दी होती है। ऐसे में पहले दोनों को एक ही इकाई में बदलिए। व्यास दिया हो, तो परिधि सीधे $\pi d$ से निकालिए। उत्तर में सिर्फ़ चक्करों की संख्या लिखिए, उसके साथ सेमी या वर्ग सेमी नहीं।

तार को बिना खींचे या काटे किसी दूसरी आकृति में मोड़ दिया जाए, तो उसकी कुल लंबाई वही रहती है। वृत्ताकार तार से वर्ग बने, तो $2\pi r=4a$ लिखिए। क्षेत्रफल बराबर मानकर समीकरण मत बनाइए। इसी तरह, नए वृत्त की परिधि दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर हो, तो $2\pi R=2\pi r_1+2\pi r_2$ से $R=r_1+r_2$ मिलता है। पर सवाल क्षेत्रफलों के योग का हो, तो समीकरण $R^2=r_1^2+r_2^2$ बनेगा।

11. कॉपी में हल कैसे लिखें

पहली पंक्ति में ज़रूरी माप लिखिए: त्रिज्या, व्यास या कोण। दूसरी पंक्ति में बताइए कि किस भाग का क्षेत्रफल या परिमाप चाहिए। फिर सूत्र लिखिए, मान रखिए, गणना कीजिए और अंत में उत्तर इकाई के साथ लिखिए। संयुक्त आकृति में “बड़ा भाग − छोटा भाग” जैसी पंक्ति ज़रूर लिखिए, यह हल का ज़रूरी हिस्सा है।

जहाँ $\sqrt3$ आए और उसका दशमलव मान न दिया हो, वहाँ उत्तर $\sqrt3$ के साथ ही छोड़ सकते हैं। दशमलव में उत्तर चाहिए, तो बीच के चरणों में बार-बार गोल मत कीजिए। सबसे अंत में $\approx$ लगाकर दो दशमलव स्थान तक उत्तर लिखिए।

उत्तर लिखने के बाद तीन बातें देख लीजिए: क्षेत्रफल की इकाई वर्ग में है या नहीं, लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल अपने त्रिज्यखंड से छोटा आया या नहीं, और त्रिज्यखंड के परिमाप में दोनों त्रिज्याएँ जुड़ी हैं या नहीं। अब नीचे के उदाहरण पहले हल को ढककर खुद कीजिए, फिर अपने चरण मिलाइए।

व्यास से परिधि और क्षेत्रफल

एक वृत्त का व्यास 14 सेमी है। परिधि और क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

व्यास 14 सेमी है, तो त्रिज्या $r=14/2=7$ सेमी है।

$$C=2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times7=44$$

$$A=\pi r^2=\frac{22}{7}\times7^2=154$$

तो परिधि 44 सेमी और क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी है।

परिधि से क्षेत्रफल

वृत्त की परिधि 66 सेमी है। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

क्षेत्रफल के लिए त्रिज्या चाहिए, इसलिए पहले परिधि से त्रिज्या निकालते हैं।

$$2\pi r=66$$

$$r=\frac{66\times7}{44}=10.5$$

अब इसी त्रिज्या से क्षेत्रफल निकालिए:

$$A=\frac{22}{7}\times10.5\times10.5=346.5$$

इसलिए क्षेत्रफल 346.5 वर्ग सेमी है।

अर्धवृत्त की पूरी सीमा

7 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।

हल:

अर्धवृत्त का क्षेत्रफल पूरे वृत्त के क्षेत्रफल का आधा होता है।

$$A=\frac12\pi r^2=\frac12\times\frac{22}{7}\times49=77$$

परिमाप में आधी परिधि के साथ नीचे का व्यास भी जुड़ेगा।

$$P=\pi r+2r=22+14=36$$

तो क्षेत्रफल 77 वर्ग सेमी और परिमाप 36 सेमी है।

चतुर्थांश की सीमा

14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के चतुर्थांश का क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।

हल:

चतुर्थांश वृत्त का चौथाई भाग है और उसका केंद्रीय कोण $90^\circ$ है।

$$A=\frac14\pi r^2=\frac14\times\frac{22}{7}\times196=154$$

इसकी सीमा में चौथाई परिधि और दो त्रिज्याएँ आती हैं।

$$P=\frac14(2\pi r)+2r=22+28=50$$

इस तरह क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी और परिमाप 50 सेमी है।

त्रिज्यखंड के तीन माप

त्रिज्या 21 सेमी और केंद्रीय कोण $60^\circ$ है। चाप, क्षेत्रफल और परिमाप निकालिए।

हल:

$60^\circ$ का त्रिज्यखंड पूरे वृत्त का $60/360=1/6$ भाग है। यही भिन्न चाप और क्षेत्रफल, दोनों में लगेगी।

$$l=\frac16\times2\times\frac{22}{7}\times21=22$$

$$A=\frac16\times\frac{22}{7}\times21^2=231$$

परिमाप के लिए चाप में दोनों त्रिज्याएँ जोड़िए:

$$P=l+2r=22+42=64$$

तो चाप 22 सेमी, क्षेत्रफल 231 वर्ग सेमी और परिमाप 64 सेमी है।

परिमाप से केंद्रीय कोण

7 सेमी त्रिज्या वाले त्रिज्यखंड का परिमाप 25 सेमी है। कोण और क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

परिमाप में से दोनों त्रिज्याएँ घटा दीजिए, चाप बचेगा।

$$l=25-2\times7=11$$

पूरे वृत्त की परिधि $44$ सेमी है। चाप इसका कितना भाग है, यह देखिए:

$$\frac{\theta}{360}=\frac{11}{44}=\frac14$$

$$\theta=90^\circ$$

क्षेत्रफल में भी यही $1/4$ लगेगा:

$$A=\frac14\times\frac{22}{7}\times49=38.5$$

तो कोण $90^\circ$ और क्षेत्रफल 38.5 वर्ग सेमी है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $11+2\times7=25$, यानी परिमाप ठीक मिलता है।

समकोण वाला वृत्तखंड

14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर $90^\circ$ का कोण बनाती है। लघु और दीर्घ वृत्तखंड के क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

लघु वृत्तखंड पाने के लिए त्रिज्यखंड में से त्रिभुज $OAB$ घटाना है।

$$A_{\text{sector}}=\frac{90}{360}\times\frac{22}{7}\times196=154$$

$OA\perp OB$ है और दोनों 14 सेमी के हैं। इसलिए,

$$A_{\triangle OAB}=\frac12\times14\times14=98$$

$$A_{\text{minor}}=154-98=56$$

दीर्घ वृत्तखंड के लिए पूरे वृत्त का क्षेत्रफल चाहिए, जो $616$ वर्ग सेमी है।

$$A_{\text{major}}=616-56=560$$

तो लघु वृत्तखंड 56 वर्ग सेमी और दीर्घ वृत्तखंड 560 वर्ग सेमी है।

साठ अंश वाला वृत्तखंड

6 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की एक जीवा केंद्र पर $60^\circ$ का कोण बनाती है। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $\pi$ और $\sqrt3$ के रूप में दीजिए।

हल:

$OA=OB$ है, क्योंकि दोनों त्रिज्याएँ हैं, और इनके बीच का कोण $60^\circ$ है। तो बाकी दोनों कोण भी $60^\circ$ के होंगे। यानी $\triangle OAB$ समबाहु है और उसकी हर भुजा 6 सेमी है।

$$A_{\text{sector}}=\frac{60}{360}\pi\times36=6\pi$$

$$A_{\triangle OAB}=\frac{\sqrt3}{4}\times6^2=9\sqrt3$$

त्रिज्यखंड में से त्रिभुज घटाइए। लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल $(6\pi-9\sqrt3)$ वर्ग सेमी है।

वृत्ताकार पट्टी

दो संकेंद्रीय वृत्तों की त्रिज्याएँ 14 और 7 सेमी हैं। बीच की पट्टी का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

बड़े वृत्त के क्षेत्रफल में से छोटे वृत्त का क्षेत्रफल घटाना है।

$$A=\pi(R^2-r^2)$$

$$A=\frac{22}{7}(14^2-7^2)=\frac{22}{7}\times147=462$$

इस तरह पट्टी का क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।

वर्ग के कोनों में बचा भाग

14 सेमी भुजा वाले वर्ग के भीतर चारों भुजाओं को छूता वृत्त है। वृत्त के बाहर बचा क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

वृत्त वर्ग की चारों भुजाओं को छूता है, इसलिए उसका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है। तो $r=14/2=7$ सेमी।

$$A_{\text{square}}=14^2=196$$

$$A_{\text{circle}}=\frac{22}{7}\times49=154$$

वर्ग में से वृत्त घटाने पर बचा क्षेत्रफल $196-154=42$ वर्ग सेमी है।

आयत और दो अर्धवृत्त

28 सेमी लंबाई और 14 सेमी चौड़ाई वाले आयत की दोनों छोटी भुजाओं के बाहर अर्धवृत्त बने हैं। पूरी आकृति का क्षेत्रफल और बाहरी परिमाप निकालिए।

हल:

हर अर्धवृत्त आयत की 14 सेमी वाली भुजा पर बना है, तो उसकी त्रिज्या 7 सेमी है। बराबर त्रिज्या वाले ये दोनों अर्धवृत्त मिलकर एक पूरा वृत्त बनाते हैं।

$$A=28\times14+\frac{22}{7}\times7^2=392+154=546$$

बाहरी सीमा में आयत की दोनों लंबी भुजाएँ और दोनों अर्धवृत्तों के चाप आते हैं। आयत की छोटी भुजाएँ अब आकृति के भीतर हैं, इसलिए उन्हें नहीं जोड़ेंगे।

$$P=2\times28+2\times\frac{22}{7}\times7=56+44=100$$

तो क्षेत्रफल 546 वर्ग सेमी और परिमाप 100 सेमी है।

मिनट की सुई से बना क्षेत्र

14 सेमी लंबी मिनट की सुई 15 मिनट में कितना क्षेत्रफल तय करती है?

हल:

मिनट की सुई 60 मिनट में $360^\circ$ घूमती है, तो 15 मिनट में वह इतना घूमेगी:

$$\theta=\frac{15}{60}\times360^\circ=90^\circ$$

सुई की लंबाई ही त्रिज्या है। इसलिए तय किया गया क्षेत्रफल,

$$A=\frac{90}{360}\times\frac{22}{7}\times14^2=154$$

यानी सुई 15 मिनट में 154 वर्ग सेमी क्षेत्रफल तय करती है।

पहिए के चक्कर

35 सेमी त्रिज्या का पहिया बिना फिसले 220 मीटर चलता है। चक्करों की संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

एक चक्कर में पहिया अपनी परिधि जितना चलता है।

$$C=2\times\frac{22}{7}\times35=220\ \text{cm}$$

कुल दूरी मीटर में है, उसे सेमी में बदलिए: $220\times100=22000$ सेमी। अब दोनों दूरियाँ एक ही इकाई में हैं।

$$n=\frac{22000}{220}=100$$

तो पहिया 100 चक्कर लगाएगा।

दो चतुर्थांशों का साझा भाग

14 सेमी भुजा के वर्ग के दो सम्मुख शीर्षों को केंद्र मानकर 14 सेमी त्रिज्या के चतुर्थांश बनाए हैं। चित्र में उनके साझा रंगीन भाग का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

जीवा $AB$ खींचिए। यह रंगीन भाग को दो बराबर वृत्तखंडों में बाँट देती है। हर वृत्तखंड का क्षेत्रफल चतुर्थांश के क्षेत्रफल में से समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाकर मिलेगा।

$$A_{\text{one}}=\frac14\times\frac{22}{7}\times14^2-\frac12\times14\times14$$

$$A_{\text{one}}=154-98=56$$

ऐसे दो वृत्तखंड हैं, इसलिए साझा क्षेत्रफल $2\times56=112$ वर्ग सेमी है।