पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। अलग निर्देश न हो, तो $\pi=22/7$ लीजिए, पर जहाँ विकल्प $\pi$ के रूप में हों, वहाँ $\pi$ को वैसे ही रहने दीजिए।

वृत्ताकार तार से वर्ग

एक तार 84 सेमी त्रिज्या के वृत्त के रूप में है। उसी तार को मोड़कर बने वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए।

हल:

तार को मोड़ने से उसकी लंबाई नहीं बदलती। इसलिए वर्ग का परिमाप वृत्त की परिधि के बराबर होगा।

$$C=2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times84=528\ \text{cm}$$

वर्ग की भुजा $a$ मान लीजिए। तब,

$$4a=528$$

$$a=528/4=132$$

तो वर्ग की भुजा 132 सेमी है।

बीस मिनट में तय क्षेत्रफल

घड़ी की मिनट की सुई 15 सेमी लंबी है। 20 मिनट में उसके द्वारा तय क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

मिनट की सुई 60 मिनट में $360^\circ$ घूमती है, तो 20 मिनट में वह इतना घूमेगी:

$$\theta=\frac{20}{60}\times360^\circ=120^\circ$$

यहाँ सुई की लंबाई ही त्रिज्या है, यानी $r=15$ सेमी।

$$A=\frac{120}{360}\pi\times15^2=75\pi$$

अब $\pi$ का मान $22/7$ रखिए:

$$A=\frac{1650}{7}\approx235.71$$

इसलिए क्षेत्रफल $75\pi$ वर्ग सेमी, यानी लगभग 235.71 वर्ग सेमी है।

चालीस मिनट में बड़ा त्रिज्यखंड

घड़ी की मिनट की सुई 7 सेमी लंबी है। 40 मिनट में उसके द्वारा तय क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

40 मिनट में सुई जितना घूमती है, वह कोण है:

$$\theta=\frac{40}{60}\times360^\circ=240^\circ$$

यह आधे वृत्त से बड़ा भाग है। सुई की शुरुआती और आख़िरी स्थिति के बीच जो छोटा कोण दिखता है, वह यहाँ नहीं लेना है, क्योंकि सुई उस रास्ते से नहीं घूमी।

$$A=\frac{240}{360}\pi\times7^2=\frac{98\pi}{3}$$

$\pi=22/7$ रखने पर,

$$A=\frac23\times\frac{22}{7}\times49=\frac{308}{3}$$

तो तय क्षेत्रफल $308/3$ वर्ग सेमी, लगभग 102.67 वर्ग सेमी है।

परिधियों के योग से नया वृत्त

दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 19 और 9 सेमी हैं। उस वृत्त की त्रिज्या निकालिए जिसकी परिधि इन दोनों की परिधियों के योग के बराबर है।

हल:

नए वृत्त की त्रिज्या $R$ मान लीजिए। सवाल की शर्त से,

$$2\pi R=2\pi\times19+2\pi\times9$$

दोनों तरफ़ $2\pi$ से भाग दीजिए:

$$R=19+9=28$$

तो नए वृत्त की त्रिज्या 28 सेमी है। देखिए, परिधियों के योग वाले सवाल में त्रिज्याएँ सीधे जुड़ जाती हैं।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल

21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के $120^\circ$ केंद्रीय कोण वाले त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $r=21$ सेमी और $\theta=120^\circ$ दिया है। $120^\circ$ पूरे वृत्त का एक-तिहाई है।

$$A=\frac{\theta}{360}\pi r^2$$

$$A=\frac{120}{360}\times\frac{22}{7}\times21\times21$$

$$A=\frac13\times1386=462$$

तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 462 वर्ग सेमी है।

व्यास से दोनों माप

वृत्त का व्यास 28 सेमी है। उसकी परिधि और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

व्यास 28 सेमी है, तो त्रिज्या $r=d/2=28/2=14$ सेमी।

$$C=2\pi r=2\times\frac{22}{7}\times14=88$$

$$A=\pi r^2=\frac{22}{7}\times14\times14=616$$

इस तरह परिधि 88 सेमी और क्षेत्रफल 616 वर्ग सेमी है।

चकती के तीन त्रिज्यखंड

6 सेमी त्रिज्या वाली चकती को $90^\circ$, $120^\circ$ और $150^\circ$ के तीन त्रिज्यखंडों में बाँटा गया है। $150^\circ$ वाला भाग पूरी चकती का कितना भाग है? तीनों के क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

पूरी चकती $360^\circ$ की है, इसलिए $150^\circ$ वाला भाग पूरी चकती का इतना है:

$$\frac{150}{360}=\frac5{12}$$

पूरी चकती का क्षेत्रफल $\pi\times6^2=36\pi$ वर्ग सेमी है। अब हर त्रिज्यखंड के लिए उसके कोण वाला भाग लीजिए।

$$A_{90}=\frac{90}{360}\times36\pi=9\pi$$

$$A_{120}=\frac{120}{360}\times36\pi=12\pi$$

$$A_{150}=\frac{150}{360}\times36\pi=15\pi$$

तो $150^\circ$ वाला भाग $5/12$ है, और तीनों के क्षेत्रफल क्रमशः $9\pi$, $12\pi$, $15\pi$ वर्ग सेमी हैं। $\pi=22/7$ रखने पर ये $198/7$, $264/7$ और $330/7$ वर्ग सेमी होते हैं। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $9\pi+12\pi+15\pi=36\pi$, जो पूरी चकती का क्षेत्रफल है।