अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

1. पहचान और संकेत

AP में हर पद और उसके पिछले पद का अंतर एक जैसा रहता है। पहला पद $a$, सार्व अंतर $d$, पद का स्थान $n$, $n$वाँ पद $a_n$ और पहले $n$ पदों का योग $S_n$ लिखा जाता है।

$$d=a_2-a_1=a_3-a_2$$

अंतर धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य कुछ भी हो सकता है। घटती AP में ऋण चिह्न छूटने मत दीजिए। और याद रखिए, $a_n$ एक पद है, जबकि $S_n$ कई पदों का योग।

2. पद और उसका स्थान

$$\boxed{a_n=a+(n-1)d}$$

$n$वें पद तक पहले पद में $d$ सिर्फ़ $n-1$ बार जुड़ता है। जैसे $a=5$ और $d=3$ हो, तो $a_{10}=5+9(3)=32$।

किसी संख्या $x$ का स्थान जानना हो, तो $x=a+(n-1)d$ हल कीजिए। $n$ धनात्मक पूर्णांक आए, तभी $x$ उस AP का पद है। $d\ne0$ हो तो सीधे यह भी लिख सकते हैं:

$$n=\frac{x-a}{d}+1$$

3. दो पद और अंत से पद

$$a_q-a_p=(q-p)d$$

दो दिए गए पदों को घटाकर $d$ निकालिए, फिर किसी एक में रखकर $a$ निकालिए। ध्यान रहे, पदों के मानों के अंतर को स्थानों के अंतर से भाग देना है।

परिमित AP का अंतिम पद $l$ हो, तो

$$\text{अंत से }r\text{वाँ पद}=l-(r-1)d$$

यहाँ $1\le r\le n$ है। $r=1$ रखने पर $l$ ही आना चाहिए।

4. योग के दोनों सूत्र

$$\boxed{S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]}$$

$$\boxed{S_n=\frac n2(a+l)}\qquad(l=a_n)$$

$a$, $d$ और $n$ दिए हों तो पहला सूत्र, और पहला व अंतिम पद दिए हों तो दूसरा सूत्र आसान पड़ता है। पदों की संख्या गिनते समय दोनों सिरे शामिल कीजिए: 11 से 45 तक $45-11+1=35$ पद हैं।

योग से $n$ निकालते समय द्विघात समीकरण बन सकता है। ऋणात्मक या भिन्न वाला मान छोड़ दीजिए। अगर दोनों मान धनात्मक पूर्णांक आएँ, तो दोनों को मूल योग में रखकर जाँचिए, क्योंकि घटती AP में दोनों सही हो सकते हैं।

5. योग से पद

$$a_1=S_1,\qquad a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2)$$

$S_{n-1}$ लिखते समय $n$ की जगह हर जगह $(n-1)$ रखिए। जैसे $S_n=2n^2+3n$ से $a_n=4n+1$ आता है, यानी पहला पद 5 और अंतर 4। ध्यान रहे, $S_n$ को $n$ से भाग देने पर $n$वाँ पद नहीं मिलता।

6. माध्य और तीन लगातार पद

$u$, $v$, $w$ AP में हों, तो

$$2v=u+w,\qquad v=\frac{u+w}{2}$$

तीन लगातार पद मानने हों तो $a-d$, $a$, $a+d$ लीजिए, इनका योग $3a$ आता है। दो संख्याओं $u$ और $v$ के बीच $m$ समांतर माध्य डालने हों, तो $m+1$ बराबर अंतराल बनते हैं:

$$d=\frac{v-u}{m+1}$$

7. याद रखने लायक योग

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

$$2+4+\cdots+2n=n(n+1)$$

$$1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$$

ये क्रमशः पहली $n$ प्राकृतिक, सम और विषम संख्याओं के योग हैं। किसी सीमा में गुणजों का योग चाहिए, तो पहले सही पहला और अंतिम गुणज चुनिए, फिर $n$ निकालिए।

8. उत्तर लिखने का तरीका

पहले $a$, $d$, $n$ या $l$ लिखिए। फिर सूत्र, मान रखने वाली पंक्ति और गणना दिखाइए। बचत, दूरी या कुर्सियों वाले सवाल में पहले तय कीजिए कि एक दिन या एक पंक्ति की संख्या चाहिए या सबका योग। अंत में वही राशि उसकी इकाई के साथ लिखिए।