समांतर श्रेढ़ियाँ: समझें, हल करें और अभ्यास करें

समांतर श्रेढ़ियाँ

मान लीजिए किसी सभा में पहली पंक्ति में 12 कुर्सियाँ हैं और हर अगली पंक्ति में 3 कुर्सियाँ ज़्यादा हैं। तब पंक्तियों में कुर्सियाँ 12, 15, 18, 21, … होंगी। देखिए, हर बार वही 3 जुड़ रहा है। जिस क्रम में हर अगला पद पिछले पद में एक ही संख्या जोड़कर बने, उसे समांतर श्रेढ़ी कहते हैं। इसे छोटे में A.P. या AP लिखते हैं।

ऐसे क्रम आप रोज़ देखते हैं: 2 का पहाड़ा 2, 4, 6, 8, …, या हर महीने बराबर रकम बढ़ाकर की गई बचत। इस पाठ में हम सीखेंगे कि ऐसे क्रम का कोई भी पद, उसके पदों की संख्या और पदों का योग जल्दी कैसे निकाला जाता है। हर बात को कॉपी-पेन लेकर साथ-साथ हल करते चलिए।

1. सार्व अंतर कैसे निकालें

किसी क्रम में हर पद और उसके ठीक पहले वाले पद का अंतर एक ही हो, तो वह क्रम AP है। पहले पद को $a$ और इस बराबर अंतर को सार्व अंतर $d$ कहते हैं।

$$d=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3=\cdots$$

अंतर हमेशा अगले पद में से पिछला पद घटाकर निकालिए, उलटा नहीं।

3, 7, 11, 15, … को देखिए। यहाँ $7-3=11-7=15-11=4$ है, इसलिए $a=3$ और $d=4$। अब 2, 4, 8, 16, … लीजिए। इसके अंतर 2, 4, 8 हैं, जो बराबर नहीं हैं, इसलिए यह AP नहीं है। पद बढ़ते जा रहे हैं, सिर्फ़ इतने से कोई क्रम AP नहीं बन जाता।

अंतर ऋणात्मक भी हो सकता है। 20, 16, 12, 8, … में $d=16-20=-4$ है। 5, 5, 5, 5, … में $d=0$ है, और यह भी AP है। पद भिन्न या अपरिमेय भी हो सकते हैं: $1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ldots$ का अंतर $1/2$ है और $\sqrt2,\ 2\sqrt2,\ 3\sqrt2,\ldots$ का अंतर $\sqrt2$ है।

किसी क्रम को जाँचते समय जितने पद दिए हों, उन सबके लगातार अंतर निकालकर देखिए। सिर्फ़ पहले दो पद देखकर फ़ैसला मत कीजिए।

2. सामान्य पद का सूत्र

AP को ऐसे लिख सकते हैं:

$$a,\ a+d,\ a+2d,\ a+3d,\ldots$$

पहला पद $a_1=a$ है। दूसरे पद तक पहुँचने में $d$ एक बार जुड़ता है, तीसरे तक दो बार। इसी तरह $n$वें पद तक $d$ $n-1$ बार जुड़ेगा। इसलिए,

$$a_n=a+(n-1)d$$

यहाँ $n$ पद का स्थान है, पद का मान नहीं। स्थान हमेशा 1, 2, 3, … जैसा धनात्मक पूर्णांक होता है, पर पद का मान ऋणात्मक, शून्य या भिन्न कुछ भी हो सकता है। जैसे 2, 5, 8, … का पाँचवाँ पद 14 है। यहाँ $n=5$ है और $a_n=14$ है। इन दोनों को आपस में बदलकर मत लिखिए।

सूत्र ठीक लिखा है या नहीं, यह $n=1$ रखकर देखिए: $a_1=a$ आना चाहिए। जल्दी में लिखा गया $a+nd$ पहले पद पर ही $a+d$ दे देगा और हर उत्तर एक स्थान आगे खिसक जाएगा।

3. कोई संख्या AP का पद है या नहीं

मान लीजिए 5, 8, 11, … में देखना है कि 50 इसका पद है या नहीं। यहाँ $a=5$ और $d=3$ है। 50 को $n$वाँ पद मानकर लिखिए:

$$50=5+(n-1)3$$

इससे $45=3(n-1)$ और $n=16$ मिलता है। यह धनात्मक पूर्णांक है, तो 50 इस AP का सोलहवाँ पद है।

अब इसी AP में 51 को लीजिए। $51=5+3(n-1)$ से $n=49/3$ आता है, जो पूर्णांक नहीं है। मतलब 51 इस AP में कहीं नहीं आता। ऐसे में $n$ को पास के पूर्णांक में बदलकर उत्तर मत लिखिए।

इसी तरह अगर $n=0$ या कोई ऋणात्मक संख्या आए, तब भी वह संख्या इस AP का पद नहीं है।

4. अंतिम पद और अंत से गिनती

कुछ AP अनंत तक चलती हैं और कुछ में अंतिम पद दिया होता है, जैसे 4, 7, 10, …, 40। यह परिमित AP है। अंतिम पद को $l$ कहें तो,

$$l=a+(n-1)d$$

इससे पदों की संख्या निकालते समय दोनों सिरे गिने जाते हैं। 10 से 20 तक कुल 11 पूर्णांक हैं, 10 नहीं। अंतराल हमेशा पदों से एक कम होते हैं, जैसे सीढ़ी में डंडों के बीच की जगहें डंडों से एक कम होती हैं।

अंत से पीछे की ओर चलें तो सार्व अंतर $-d$ हो जाता है। इसलिए अंत से $r$वाँ पद

$$l-(r-1)d$$

होता है। 4, 7, …, 40 में अंत से तीसरा पद $40-2(3)=34$ है। $r=1$ रखने पर $l$ ही मिलता है, यानी सूत्र ठीक बैठता है। घटती AP में भी यही सूत्र लगेगा, बस ऋणात्मक $d$ को कोष्ठक में रखिए।

5. दो पद दिए हों तो $a$ और $d$

अगर $a_p$ और $a_q$ मालूम हों, तो दोनों को सामान्य पद के सूत्र से लिखिए:

$$a_p=a+(p-1)d,\qquad a_q=a+(q-1)d$$

दूसरे में से पहला घटाइए, $a$ अपने-आप कट जाएगा:

$$a_q-a_p=(q-p)d$$

यानी $p\ne q$ हो तो $d=(a_q-a_p)/(q-p)$। फिर किसी भी एक समीकरण में $d$ रखकर $a$ निकाल लीजिए।

मान लीजिए तीसरा पद 11 और सातवाँ पद 27 है। तब $a+2d=11$ और $a+6d=27$। घटाने पर $4d=16$, तो $d=4$ और $a=3$। यहाँ एक बात पर ध्यान दीजिए: पदों का अंतर 16 है, पर $d$ 16 नहीं है। स्थानों में 4 का अंतर है, इसलिए 16 में चार बार $d$ समाया है।

6. तीन लगातार पद और समांतर माध्य

अगर $u$, $v$, $w$ किसी AP के तीन लगातार पद हैं, तो $v-u=w-v$। इससे

$$2v=u+w,\qquad v=\frac{u+w}{2}$$

यानी बीच वाला पद दोनों किनारे के पदों का औसत होता है। 4 और 12 का समांतर माध्य 8 है, क्योंकि $8-4=12-8=4$।

जब तीन अज्ञात लगातार पद मानने हों, तो $a-d,\ a,\ a+d$ मानिए। इनका योग $3a$ और गुणनफल $a(a^2-d^2)$ होता है, इसलिए योग दिया हो तो $a$ तुरंत मिल जाता है। आगे चलकर $d$ के दो विपरीत मान आएँ, तो एक से बढ़ता क्रम और दूसरे से घटता क्रम बनेगा। प्रश्न में क्रम तय न किया हो, तो दोनों ही सही हैं।

दो संख्याओं के बीच कई माध्य डालने हों तो पहले अंतराल गिनिए। 3 और 15 के बीच तीन माध्य डालने पर कुल पाँच पद और चार अंतराल होंगे। तब $d=(15-3)/4=3$ और पूरी AP 3, 6, 9, 12, 15 बनती है।

7. योग का सूत्र कहाँ से आता है

पहले $n$ पदों के योग को $S_n$ लिखते हैं। अंतिम पद $l$ हो, तो योग को एक बार सीधे और एक बार उलटे क्रम में लिखिए:

$$S_n=a+(a+d)+\cdots+l$$

$$S_n=l+(l-d)+\cdots+a$$

अब दोनों को ऊपर-नीचे जोड़िए। हर जोड़ी का योग $a+l$ आता है और ऐसी $n$ जोड़ियाँ हैं। इसलिए,

$$2S_n=n(a+l)$$

$$\boxed{S_n=\frac n2(a+l)}$$

चित्र में 3, 7, 11, 15, 19 के नीचे यही संख्याएँ उलटे क्रम में लिखी हैं। हर खाने का योग 22 है, तो दोनों पंक्तियों का कुल योग $5\times22=110$ हुआ। एक पंक्ति का योग इसका आधा, यानी 55 है। $n$ विषम हो तो बीच वाला पद अपने ही साथ जोड़ी बना लेता है, इसलिए सूत्र तब भी सही रहता है।

8. जब अंतिम पद मालूम न हो

योग के सूत्र में $l=a+(n-1)d$ रख दीजिए:

$$\boxed{S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]}$$

जब $a$, $d$ और $n$ दिए हों, तब यही रूप लगाइए। जब $a$, $l$ और $n$ दिए हों, तब $n(a+l)/2$ से काम जल्दी होता है। दोनों से योग एक ही आता है।

एक आम गलती यह है कि “पहले 10 पदों का योग” पूछा जाए और उत्तर में दसवाँ पद लिख दिया जाए। 2, 5, 8, … में दसवाँ पद 29 है, पर पहले 10 पदों का योग $10(2+29)/2=155$ है। प्रश्न पढ़ते समय देखिए कि “पद” माँगा है या “योग”।

ऋणात्मक पदों वाली AP का योग ऋणात्मक भी आ सकता है, इसमें घबराने की बात नहीं। 3, 0, −3, −6 का योग −6 है और सूत्र भी $4(3-6)/2=-6$ ही देता है।

9. योग से पदों की संख्या

जब योग दिया हो और $n$ निकालना हो, तो $S_n$ के सूत्र से समीकरण बनाइए। इसमें $n^2$ आ सकता है, तब पिछले अध्याय की द्विघात समीकरण वाली विधि काम आएगी।

जैसे, 1, 3, 5, … के कितने पदों का योग 100 है? यहाँ $a=1$ और $d=2$ है।

$$100=\frac n2[2+2(n-1)]=n^2$$

इससे $n=\pm10$ मिलता है। पदों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $n=10$।

कभी-कभी दोनों मान धनात्मक पूर्णांक आ जाते हैं। तब किसी को बिना जाँचे मत छोड़िए। घटती AP में आगे के ऋणात्मक पद योग को घटाकर फिर पुराने मान पर ला सकते हैं। जैसे 5, 3, 1, −1, −3, … में पहले दो पदों का योग 8 है और पहले चार पदों का योग भी 8 है। तब प्रश्न की शर्त से तय कीजिए कि कौन-सा उत्तर लेना है।

10. योग दिया हो तो $n$वाँ पद

$S_n$ में पहले $n$ पद हैं और $S_{n-1}$ में पहले $n-1$ पद। एक को दूसरे में से घटाएँ तो सिर्फ़ $n$वाँ पद बचता है:

$$a_n=S_n-S_{n-1}\quad(n\ge2)$$

पहला पद सीधे $a_1=S_1$ से मिल जाता है। जैसे $S_n=2n^2+3n$ हो, तो

$$S_{n-1}=2(n-1)^2+3(n-1)=2n^2-n-1$$

$$a_n=4n+1$$

$n=1$ रखने पर यह 5 देता है, जो $S_1=5$ से मेल खाता है। तो पहला पद 5 है और सार्व अंतर 4 है। $n$ की जगह $n-1$ रखते समय पूरे कोष्ठक का वर्ग खोलिए, जल्दी में यहीं गलती होती है।

AP के योग का रूप हमेशा $An^2+Bn$ जैसा होता है, इसमें अलग से कोई अशून्य अचर पद नहीं होता। इसलिए अगर कोई दिया गया योग इस रूप से मेल न खाए, तो $S_1$, $S_2-S_1$ और $S_3-S_2$ निकालकर अंतर जाँच लीजिए।

11. कुछ काम के योग और गुणज

पहली $n$ प्राकृतिक संख्याओं में $a=1$ और $l=n$ है:

$$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2$$

पहली $n$ धनात्मक सम संख्याओं में $a=2$ और $d=2$ है:

$$2+4+\cdots+2n=n(n+1)$$

पहली $n$ धनात्मक विषम संख्याओं में $a=1$ और $d=2$ है:

$$1+3+\cdots+(2n-1)=n^2$$

किसी सीमा में 7 से विभाज्य संख्याएँ गिननी हों या उनका योग चाहिए, तो पहले सीमा के अंदर का पहला और अंतिम गुणज ढूँढ़िए। जैसे 20 से 50 तक 7 के गुणज 21, 28, 35, 42, 49 हैं। अगर सीमा का कोई छोर खुद गुणज हो, तो प्रश्न के शब्द ध्यान से पढ़िए कि उसे गिनना है या नहीं, खासकर जब “बीच की संख्याएँ” लिखा हो।

12. बचत, पंक्तियाँ और रोज़ बढ़ती चीज़ें

हर महीने बचत में बराबर रुपये बढ़ें, तो बचत की रकम AP बनाती है। पर हर महीने बराबर प्रतिशत से बढ़ने पर आम तौर पर AP नहीं बनती। मान लीजिए आप पहले महीने 100 रुपये बचाते हैं और हर महीने 20 रुपये ज़्यादा। तब बचत 100, 120, 140, … होगी। “दसवें महीने की बचत” पूछी जाए तो $a_{10}$ निकालिए, और “दस महीनों की कुल बचत” पूछी जाए तो $S_{10}$।

पेड़ों के बीच की दूरी, कुर्सियों की पंक्तियाँ, रोज़ पढ़े गए पन्ने, ईंटों की परतें, ऐसे बहुत से सवाल इसी तरह बनते हैं। सबसे पहले तय कीजिए कि एक पद किस चीज़ को गिन रहा है, और सारी इकाइयाँ एक जैसी रखिए। चीज़ों की संख्या और उनके बीच के अंतरालों की संख्या में 1 का अंतर होता है, यह भी याद रखिए।

कॉपी में पहले $a$, $d$, $n$ या $l$ लिखिए, फिर सूत्र, फिर मान रखकर गणना। $d$ ऋणात्मक हो तो उसे कोष्ठक में रखिए। आख़िर में वही लिखिए जो पूछा गया है: पद का मान, उसका स्थान या कुल योग।

सार्व अंतर की पहचान

क्या 18, 13, 8, 3, … एक AP है? पहला पद और सार्व अंतर लिखिए।

हल:

लगातार पदों के अंतर निकालते हैं:

$$13-18=-5,\quad8-13=-5,\quad3-8=-5$$

हर बार अंतर −5 आया, इसलिए यह AP है, जिसमें $a=18$ और $d=-5$। पद घटते जा रहे हैं, इसीलिए $d$ ऋणात्मक है।

दूर का पद

AP 4, 7, 10, … का 25वाँ पद निकालिए।

हल:

यहाँ $a=4$, $d=3$ और $n=25$ है।

$$a_n=a+(n-1)d$$

$$a_{25}=4+24(3)=4+72=76$$

तो 25वाँ पद 76 है।

दिया मान कौन-सा पद है?

AP 7, 12, 17, … का कौन-सा पद 102 है?

हल:

यहाँ $a=7$ और $d=5$ है। मान लीजिए $n$वाँ पद 102 है।

$$102=7+(n-1)5$$

$$95=5(n-1)\quad\Rightarrow\quad n-1=19\quad\Rightarrow\quad n=20$$

इसलिए 102 इस AP का बीसवाँ पद है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $7+19(5)=102$।

श्रेढ़ी में नहीं आने वाली संख्या

क्या 100, AP 7, 12, 17, … का कोई पद है?

हल:

मान लीजिए 100 इसका $n$वाँ पद है। तब

$$100=7+5(n-1)$$

$$93=5(n-1)\quad\Rightarrow\quad n=\frac{98}{5}=19.6$$

कोई पद 19.6वें स्थान पर नहीं हो सकता, क्योंकि स्थान हमेशा धनात्मक पूर्णांक होता है। इसलिए 100 इस AP का पद नहीं है।

दो पदों से पूरी AP

एक AP का तीसरा पद 11 और सातवाँ पद 27 है। पहला पद और सार्व अंतर निकालिए।

हल:

सामान्य पद $a_n=a+(n-1)d$ से दोनों पद लिखते हैं:

$$a+2d=11\qquad(1)$$

$$a+6d=27\qquad(2)$$

(2) में से (1) घटाने पर $4d=16$, यानी $d=4$। अब यह मान (1) में रखिए:

$$a+8=11\quad\Rightarrow\quad a=3$$

तो $a=3$ और $d=4$, और AP 3, 7, 11, 15, … है।

अंत से पद

AP 5, 9, 13, …, 85 का अंत से छठा पद निकालिए।

हल:

यहाँ अंतिम पद $l=85$, सार्व अंतर $d=4$ और $r=6$ है।

$$\text{अंत से }r\text{वाँ पद}=l-(r-1)d$$

$$=85-5(4)=65$$

इसलिए अंत से छठा पद 65 है। उलटा गिनकर भी देख सकते हैं: 85, 81, 77, 73, 69, 65।

तीन पदों में अज्ञात संख्या

$2x+1,\ 3x+4,\ 5x+3$ AP के तीन क्रमागत पद हैं। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

तीन लगातार पदों में बीच वाले पद का दुगुना, किनारे के दोनों पदों के योग के बराबर होता है।

$$2(3x+4)=(2x+1)+(5x+3)$$

$$6x+8=7x+4\quad\Rightarrow\quad x=4$$

$x=4$ रखने पर पद 9, 16, 23 बनते हैं, जिनमें दोनों अंतर 7 हैं। इसलिए $x=4$।

बीच में समांतर माध्य

3 और 15 के बीच तीन समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

बीच में तीन नए पद डालने पर कुल पाँच पद हो जाएँगे, यानी पहले और अंतिम पद के बीच चार अंतराल होंगे।

$$15=3+4d\quad\Rightarrow\quad d=3$$

अब पद 3, 6, 9, 12, 15 बनते हैं। तो समांतर माध्य 6, 9 और 12 हैं।

पहले कई पदों का योग

AP 5, 8, 11, … के पहले 20 पदों का योग निकालिए।

हल:

यहाँ $a=5$, $d=3$ और $n=20$ है।

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$

$$S_{20}=\frac{20}{2}[10+19(3)]=10(67)=670$$

तो योग 670 है। दूसरे सूत्र से भी मिला लेते हैं: अंतिम पद $5+57=62$ है और $20(5+62)/2=670$।

सीमाओं के भीतर गुणज

100 से 200 तक 7 से विभाज्य संख्याओं का योग निकालिए।

हल:

100 के बाद 7 का पहला गुणज 105 है और 200 से पहले अंतिम गुणज 196 है। ये गुणज 105, 112, …, 196 एक AP बनाते हैं, जिसमें $d=7$ है। पहले पदों की संख्या निकालते हैं:

$$196=105+(n-1)7$$

$$91=7(n-1)\quad\Rightarrow\quad n=14$$

अब योग:

$$S=\frac{14}{2}(105+196)=7(301)=2107$$

इसलिए योग 2107 है।

योग से पदों की संख्या

AP 3, 7, 11, … के कितने पदों का योग 210 है?

हल:

यहाँ $a=3$ और $d=4$ है। मान लीजिए $n$ पदों का योग 210 है।

$$210=\frac n2[6+4(n-1)]=n(2n+1)$$

$$2n^2+n-210=0$$

$$(2n+21)(n-10)=0$$

इससे $n=-21/2$ या $n=10$ आता है। पदों की संख्या भिन्न या ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए 10 पद लेने होंगे। मिलाकर देखिए: $10(21)=210$।

योग के सूत्र से सामान्य पद

$S_n=2n^2+3n$ हो, तो पहला पद और सार्व अंतर निकालिए।

हल:

पहला पद $a=S_1=2+3=5$ है। अब $n\ge2$ के लिए,

$$a_n=S_n-S_{n-1}$$

$$=2n^2+3n-[2(n-1)^2+3(n-1)]$$

$$=2n^2+3n-(2n^2-n-1)=4n+1$$

$n=1$ रखने पर भी यह 5 ही देता है। अब दो लगातार पदों का अंतर देखिए:

$$a_{n+1}-a_n=[4(n+1)+1]-(4n+1)=4$$

तो पहला पद 5 है और सार्व अंतर 4 है।

हर महीने बढ़ती बचत

एक विद्यार्थी पहले महीने 100 रुपये बचाता है और हर अगले महीने 20 रुपये अधिक। 12वें महीने की बचत और 12 महीनों की कुल बचत निकालिए।

हल:

हर महीने की बचत 100, 120, 140, … है, जो एक AP है। यहाँ $a=100$ और $d=20$ है। 12वें महीने की बचत:

$$a_{12}=100+11(20)=320$$

12 महीनों की कुल बचत:

$$S_{12}=\frac{12}{2}(100+320)=6(420)=2520$$

इसलिए 12वें महीने की बचत 320 रुपये है और 12 महीनों की कुल बचत 2520 रुपये है। पहला उत्तर एक पद है, दूसरा योग।

कुर्सियों की पंक्तियाँ

एक हॉल की पहली पंक्ति में 15 कुर्सियाँ हैं। हर अगली पंक्ति में 2 कुर्सियाँ अधिक हैं। 10 पंक्तियों में कुल कितनी कुर्सियाँ होंगी?

हल:

पंक्तियों में कुर्सियाँ 15, 17, 19, … हैं। यहाँ $a=15$, $d=2$ और $n=10$ है। दसवीं पंक्ति में:

$$a_{10}=15+9(2)=33$$

कुल कुर्सियाँ:

$$S_{10}=\frac{10}{2}(15+33)=5(48)=240$$

इसलिए कुल 240 कुर्सियाँ होंगी।