पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। शुरुआत हमेशा पहला पद, सार्व अंतर और पदों की संख्या पहचानकर कीजिए, फिर सूत्र लिखिए और अंत में उत्तर जाँच लीजिए।

ऋणात्मक पद का स्थान

AP 21, 18, 15, … का कौन-सा पद −81 है?

हल:

यहाँ पहला पद $a=21$ है और सार्व अंतर $d=18-21=-3$। मान लीजिए $n$वाँ पद −81 है।

$$a_n=a+(n-1)d$$

$$-81=21+(n-1)(-3)$$

$$-102=-3(n-1)$$

$$n-1=34\quad\Rightarrow\quad n=35$$

तो 35वाँ पद −81 है। ऋण चिह्न वाले सवाल में मिलाकर ज़रूर देखिए: $21+34(-3)=-81$।

घटती हुई AP का योग

AP 8, 3, −2, … के प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $a=8$, $d=3-8=-5$ और $n=22$ है।

$$S_n=\frac n2[2a+(n-1)d]$$

$$S_{22}=\frac{22}{2}[2(8)+21(-5)]$$

$$=11[16-105]=11(-89)=-979$$

इसलिए प्रथम 22 पदों का योग −979 है। दूसरे सूत्र से भी यही आता है: अंतिम पद $8+21(-5)=-97$ है और $11(8-97)=-979$।

तीन अंकों के गुणज

तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?

हल:

तीन अंकों की सबसे छोटी संख्या 100 है। $7\times14=98$ और $7\times15=105$, इसलिए तीन अंकों वाला 7 का पहला गुणज 105 है।

तीन अंकों की सबसे बड़ी संख्या 999 है। $7\times142=994$ और $7\times143=1001$, इसलिए अंतिम गुणज 994 है।

अब 105, 112, 119, …, 994 एक AP है, जिसमें $a=105$, $d=7$ और $l=994$ है।

$$l=a+(n-1)d$$

$$994=105+(n-1)7$$

$$889=7(n-1)\quad\Rightarrow\quad n-1=127$$

$$n=128$$

इसलिए तीन अंकों की 128 संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं।

योग से आगे का पद

किसी AP के प्रथम 14 पदों का योग 1050 और पहला पद 10 है। 20वाँ पद ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $S_{14}=1050$ और $a=10$ है। पहले योग के सूत्र से $d$ निकालते हैं:

$$1050=\frac{14}{2}[2(10)+13d]$$

$$150=20+13d$$

$$13d=130\quad\Rightarrow\quad d=10$$

अब 20वाँ पद:

$$a_{20}=a+19d=10+19(10)=200$$

तो 20वाँ पद 200 है।

अंतिम पद से योग

किसी AP का सार्व अंतर 7 और 22वाँ पद 149 है। उसके प्रथम 22 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हल:

पहले प्रथम पद $a$ निकालते हैं:

$$a_{22}=a+21d$$

$$149=a+21(7)=a+147$$

$$a=2$$

अब पहला और अंतिम पद दोनों मालूम हैं, तो यह सूत्र लगाइए:

$$S_{22}=\frac{22}{2}(a+a_{22})$$

$$=11(2+149)=11(151)=1661$$

इसलिए प्रथम 22 पदों का योग 1661 है।

दो पद दिए हों

एक AP का तीसरा पद 4 और नौवाँ पद −8 है। उसका कौन-सा पद शून्य है?

हल:

दिए गए दोनों पदों को सामान्य पद के रूप में लिखते हैं:

$$a+2d=4\qquad(1)$$

$$a+8d=-8\qquad(2)$$

(2) में से (1) घटाने पर,

$$6d=-12\quad\Rightarrow\quad d=-2$$

इसे (1) में रखने पर $a-4=4$, यानी $a=8$। अब मान लीजिए $n$वाँ पद शून्य है:

$$0=8+(n-1)(-2)$$

$$2(n-1)=8\quad\Rightarrow\quad n=5$$

इसलिए पाँचवाँ पद शून्य है। AP लिखकर भी देख सकते हैं: 8, 6, 4, 2, 0, …।

दोनों सिरों को गिनना

AP 6, 10, 14, 18, …, 174 में कुल कितने पद हैं?

हल:

यहाँ $a=6$, $d=4$ और $l=174$ है।

$$l=a+(n-1)d$$

$$174=6+4(n-1)$$

$$168=4(n-1)\quad\Rightarrow\quad n-1=42$$

$$n=43$$

इसलिए कुल 43 पद हैं। ध्यान दीजिए, 42 तो पदों के बीच के अंतरालों की संख्या है। पहला पद भी गिनने पर 43 पद होते हैं।

योग और गुणनफल से तीन पद

AP के तीन क्रमागत पदों का योग 15 और गुणनफल 105 है। वे पद ज्ञात कीजिए।

हल:

तीन लगातार पद $a-d$, $a$, $a+d$ मान लेते हैं। इनके योग से,

$$(a-d)+a+(a+d)=15$$

$$3a=15\quad\Rightarrow\quad a=5$$

तो पद $5-d$, $5$, $5+d$ हैं। अब गुणनफल से,

$$(5-d)\times5\times(5+d)=105$$

$$5(25-d^2)=105$$

$$25-d^2=21\quad\Rightarrow\quad d^2=4$$

$$d=2\text{ या }-2$$

$d=2$ लेने पर पद 3, 5, 7 आते हैं और $d=-2$ लेने पर 7, 5, 3। दोनों में योग 15 और गुणनफल 105 ही है।

इसलिए पद 3, 5, 7 हैं (उलटे क्रम में 7, 5, 3 भी सही है)।