सारांश: पूरे अध्याय की ज़रूरी बातें

1. स्पर्शरेखा और छेदक

स्पर्शरेखा वृत्त को एक बिंदु पर छूती है और छेदक उसे दो बिंदुओं पर काटता है। वृत्त के भीतर के बिंदु से 0, वृत्त पर के बिंदु से 1 और बाहरी बिंदु से 2 स्पर्शरेखाएँ खींची जा सकती हैं। पूरे वृत्त पर गिनिए तो स्पर्शरेखाएँ अनंत हैं।

2. दो मुख्य प्रमेय

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है: OT⊥PTOT\perp PT। एक ही बाहरी बिंदु से एक ही वृत्त पर खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं: PA=PBPA=PB।

3. लंबाई के सूत्र

OP=dOP=d, त्रिज्या rr और स्पर्शखंड PT=tPT=t हो, तो समकोण त्रिभुज OTPOTP से:

t2=d2−r2t^2=d^2-r^2

t=d2−r2t=\sqrt{d^2-r^2}

d=r2+t2d=\sqrt{r^2+t^2}

यहाँ कर्ण OPOP है। स्पर्शरेखा की लंबाई के लिए वर्गों का अंतर लीजिए, सीधे लंबाइयों का अंतर नहीं।

4. कोण वाले सूत्र

PAPA और PBPB स्पर्शरेखाएँ हों और OO केंद्र हो, तो:

∠APB+∠AOB=180∘\angle APB+\angle AOB=180^\circ

यहाँ ∠AOB\angle AOB केंद्र पर बना छोटा कोण है। OPOP बाहर वाले कोण को भी आधा करता है और केंद्र वाले कोण को भी, इसलिए:

∠APO=12∠APB\angle APO=\frac12\angle APB

∠AOP=90∘−12∠APB\angle AOP=90^\circ-\frac12\angle APB

दो समानांतर स्पर्शरेखाओं के स्पर्श बिंदु व्यास के दोनों सिरे होते हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी 2r2r है।

5. अंतःवृत्त और परिगत चतुर्भुज

त्रिभुज के हर शीर्ष से निकलने वाले दोनों स्पर्शखंड बराबर लिखिए, और याद रखिए कि पूरी भुजा दो खंडों का जोड़ है। वृत्त के परिगत चतुर्भुज में:

AB+CD=BC+ADAB+CD=BC+AD

यह नियम तभी लगाइए जब चारों भुजाएँ एक ही वृत्त को छूती हों। इसी नियम से परिगत समांतर चतुर्भुज हमेशा समचतुर्भुज निकलता है।

6. जीवा और उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को आधा करता है। त्रिज्या rr, लंब दूरी dd और जीवा cc के लिए:

(c2)2+d2=r2\left(\frac c2\right)^2+d^2=r^2

दो वृत्त एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटें तो उनकी 2 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ होती हैं, और बाहर से छुएँ तो 3।

7. प्रमाण लिखने का क्रम

प्रमाण इस क्रम में लिखिए: दिया है → सिद्ध करना है → रचना → कारण सहित चरण → निष्कर्ष। बराबर स्पर्शरेखाओं वाले प्रमेय में त्रिज्याएँ मिलाकर RHS सर्वांगसमता लगाइए। सिर्फ़ चित्र देखकर कोई बराबरी लिख देना प्रमाण नहीं माना जाता।