वृत्त: स्पर्शरेखाएँ, प्रमाण और अभ्यास

वृत्त और स्पर्शरेखा

साइकिल का पहिया सड़क पर चलता है, तो सड़क उसे हर पल सिर्फ़ एक बिंदु पर छूती है। वृत्त को इसी तरह केवल एक बिंदु पर छूने वाली रेखा को स्पर्शरेखा कहते हैं।

इस अध्याय में बहुत सूत्र याद नहीं करने हैं। दो बातें बार-बार काम आती हैं: स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, और एक ही बाहरी बिंदु से खींचे गए दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। प्रश्न का चित्र बनाकर ये दोनों बातें सही जगह लिख दीजिए, तो आधा हल वहीं हो जाता है।

वृत्त का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई आगे के अध्याय में आएँगे। यहाँ हम स्पर्शरेखाओं से बनने वाले कोणों और लंबाइयों पर काम करेंगे। हर उदाहरण कॉपी पर चित्र बनाकर साथ-साथ हल करते चलिए।

1. जीवा, छेदक और स्पर्शरेखा

वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड जीवा कहलाता है। जो जीवा केंद्र से होकर जाए, वह व्यास है। जो पूरी रेखा वृत्त को दो अलग बिंदुओं पर काटे, उसे छेदक कहते हैं। और जो रेखा वृत्त को सिर्फ़ एक बिंदु पर छुए, वह स्पर्शरेखा है। यह साझा बिंदु स्पर्श बिंदु कहलाता है।

चित्र में नीचे वाली रेखा छेदक है, बीच वाली स्पर्शरेखा है और ऊपर वाली रेखा वृत्त को छूती ही नहीं। जीवा और छेदक का फ़र्क याद रखिए: जीवा दो बिंदुओं के बीच का एक टुकड़ा है, जबकि छेदक दोनों ओर बढ़ती पूरी रेखा है।

2. किसी बिंदु से कितनी स्पर्शरेखाएँ

यह इस पर निर्भर है कि बिंदु कहाँ है। बिंदु वृत्त के भीतर हो, तो उससे कोई स्पर्शरेखा नहीं खींची जा सकती, क्योंकि उससे होकर जाने वाली हर रेखा वृत्त को दो जगह काटेगी। बिंदु वृत्त पर हो, तो ठीक एक स्पर्शरेखा बनती है। बिंदु वृत्त के बाहर हो, तो दो स्पर्शरेखाएँ बनती हैं।

इसे पूरे वृत्त की स्पर्शरेखाओं वाले प्रश्न से मत मिलाइए। वृत्त पर अनगिनत बिंदु हैं और हर बिंदु पर एक स्पर्शरेखा है, इसलिए पूरे वृत्त की स्पर्शरेखाएँ अनंत हैं। और जब "स्पर्शरेखा की लंबाई" पूछी जाए, तो उसका मतलब बाहरी बिंदु से स्पर्श बिंदु तक के रेखाखंड की लंबाई है।

3. पहला प्रमेय: स्पर्श बिंदु पर समकोण

कथन: वृत्त के किसी बिंदु पर खींची गई स्पर्शरेखा उस बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है। अगर $O$ केंद्र है और स्पर्शरेखा $PT$ वृत्त को $T$ पर छूती है, तो

$$OT\perp PT$$

प्रमाण: मान लीजिए स्पर्शरेखा $l$ वृत्त को $T$ पर छूती है। केंद्र $O$ से $l$ पर लंब $OH$ डालिए। अगर $H$ और $T$ अलग-अलग बिंदु हों ($H\ne T$), तो समकोण त्रिभुज $OHT$ में $OT$ कर्ण होगा। कर्ण बाकी भुजाओं से बड़ा होता है, इसलिए $OH\lt OT$ होगा।

पर $OT$ तो त्रिज्या है। केंद्र से त्रिज्या से कम दूरी पर होने के कारण $H$ वृत्त के अंदर पड़ेगा। अंदर के किसी बिंदु से जाने वाली रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, जबकि $l$ स्पर्शरेखा है। यह विरोधाभास है। इसलिए $H$ और $T$ एक ही बिंदु हैं, यानी $OT\perp l$।

4. स्पर्शरेखा की लंबाई और पाइथागोरस

मान लीजिए $PT$ स्पर्शरेखा है, त्रिज्या $OT=r$ है और केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी $OP=d$ है। $T$ पर समकोण है, इसलिए कर्ण $OP$ है।

$$OP^2=OT^2+PT^2$$

$$PT=\sqrt{d^2-r^2}$$

याद रखने का आसान तरीका यह है: केंद्र से बाहरी बिंदु की दूरी निकालनी हो, तो वर्ग जोड़िए। स्पर्शरेखा या त्रिज्या निकालनी हो, तो कर्ण के वर्ग में से घटाइए। कई छात्र जल्दी में $PT=OP-OT$ लिख देते हैं। यह गलत है, क्योंकि ये तीनों एक सीधी रेखा के टुकड़े नहीं, बल्कि त्रिभुज की भुजाएँ हैं। उत्तर के साथ इकाई लिखना मत भूलिए।

5. दूसरा प्रमेय: दोनों स्पर्शखंड बराबर

दिया है: केंद्र $O$ वाले वृत्त पर बाहरी बिंदु $P$ से दो स्पर्शरेखाएँ $PA$ और $PB$ खींची गई हैं।

सिद्ध करना है: $PA=PB$।

रचना: $OA$, $OB$ और $OP$ को मिलाइए।

प्रमाण: त्रिभुज $OAP$ और $OBP$ में,

• $\angle OAP=\angle OBP=90^\circ$ (स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है)
• $OP=OP$ (उभयनिष्ठ कर्ण)
• $OA=OB$ (एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

इसलिए RHS (समकोण-कर्ण-भुजा) सर्वांगसमता से $\triangle OAP\cong\triangle OBP$। सर्वांगसम त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए $PA=PB$।

अगर दोनों स्पर्शखंड $x$ वाले व्यंजकों में दिए हों, तो उन्हें बराबर रखकर समीकरण बना लीजिए। ध्यान रहे, यह बराबरी सिर्फ़ एक ही बाहरी बिंदु से खींची गई स्पर्शरेखाओं की है।

6. इसी प्रमाण से मिलने वाले कोण

ऊपर के सर्वांगसम त्रिभुजों से दो बातें और मिलती हैं: $\angle APO=\angle OPB$ और $\angle AOP=\angle POB$। यानी $OP$ बाहरी बिंदु पर बने कोण को भी आधा करता है और केंद्र पर बने छोटे कोण को भी।

अब चतुर्भुज $OAPB$ को देखिए। इसके चारों कोणों का योग $360^\circ$ है और $A$ तथा $B$ पर दोनों कोण समकोण हैं। इसलिए बचे हुए दो कोणों का योग $180^\circ$ होगा:

$$\angle AOB+\angle APB=180^\circ$$

यहाँ $\angle AOB$ केंद्र पर बना छोटा कोण है। जैसे, स्पर्शरेखाओं के बीच का कोण $60^\circ$ हो, तो $\angle AOB=120^\circ$ होगा, पर $\angle APO$ उसका आधा यानी सिर्फ़ $30^\circ$ होगा। कोण का नाम पढ़ते समय बीच वाला अक्षर देखिए: $\angle APB$ का शीर्ष $P$ है और $\angle AOP$ का शीर्ष $O$।

7. समानांतर स्पर्शरेखाएँ

किसी वृत्त की दो समानांतर स्पर्शरेखाएँ लीजिए। दोनों स्पर्श बिंदुओं पर खींची गई त्रिज्याएँ अपनी-अपनी स्पर्शरेखा पर लंब होंगी, और ये दोनों त्रिज्याएँ एक ही सीधी रेखा में पड़ती हैं। इसलिए दोनों स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होता है।

तो अगर त्रिज्या $r$ है, तो दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी $2r$ होगी। उलटा, दूरी दी हो तो उसे आधा करके त्रिज्या निकाल लीजिए। दो रेखाओं के बीच की दूरी हमेशा लंब दूरी ही होती है, कोई तिरछा टुकड़ा नहीं। इस बात का पूरा प्रमाण अगले भाग के लिखित प्रश्नों में हल किया गया है।

8. त्रिभुज का अंतःवृत्त

जो वृत्त त्रिभुज के भीतर रहकर उसकी तीनों भुजाओं को छूता है, उसे अंतःवृत्त कहते हैं। मान लीजिए यह $AB$, $BC$ और $CA$ को क्रमशः $R$, $P$ और $Q$ पर छूता है। हर शीर्ष यहाँ एक बाहरी बिंदु की तरह है, इसलिए वहाँ से निकलने वाले दोनों स्पर्शखंड बराबर होंगे:

$$AR=AQ$$

$$BR=BP$$

$$CP=CQ$$

हर बराबरी में दोनों खंड एक ही शीर्ष से निकलते हैं। $AR=BR$ लिख देना आम गलती है, जबकि ऐसा होना ज़रूरी नहीं। पूरी भुजा दो खंडों को जोड़कर बनती है: $AB=AR+RB$, $BC=BP+PC$ और $CA=CQ+QA$।

जब तीनों भुजाएँ दी हों, तो तीनों शीर्षों के स्पर्शखंड $x$, $y$ और $z$ मान लीजिए। तब $AB=x+y$, $BC=y+z$ और $CA=z+x$ होगा। पहली और तीसरी बराबरी जोड़कर उसमें से दूसरी घटाइए, तो $2x=AB+CA-BC$ मिलता है।

9. वृत्त के परिगत चतुर्भुज

जिस चतुर्भुज की चारों भुजाएँ एक ही वृत्त को छूती हों, उसे वृत्त के परिगत चतुर्भुज कहते हैं। मान लीजिए $ABCD$ की भुजाएँ $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ वृत्त को क्रमशः $P$, $Q$, $R$ और $S$ पर छूती हैं। हर शीर्ष से निकलने वाले दोनों स्पर्शखंड बराबर हैं:

$$AP=AS$$

$$BP=BQ$$

$$CQ=CR$$

$$DR=DS$$

अब $AB+CD=(AP+PB)+(CR+RD)$ लिखिए। बराबर खंडों को बदल देने पर यह $(AS+BQ)+(CQ+DS)$ बन जाता है, जो $AD+BC$ ही है। इसलिए,

$$AB+CD=BC+AD$$

यानी आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं। प्रमाण वाले प्रश्न में ऊपर वाला यही तरीका लिखना होता है। परिगत और चक्रीय चतुर्भुज को आपस में मत मिलाइए: चक्रीय चतुर्भुज के चारों शीर्ष वृत्त पर होते हैं, जबकि परिगत चतुर्भुज की चारों भुजाएँ वृत्त को छूती हैं। भुजाओं के योग वाला यह नियम परिगत चतुर्भुज का है।

10. जीवा से जुड़ी ज़रूरी बातें

केंद्र से किसी जीवा पर डाला गया लंब उस जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है। यानी $OM\perp AB$ हो, तो $AM=MB$ होगा। इसे RHS से समझ सकते हैं: $OA=OB$ (दोनों त्रिज्याएँ), $OM$ दोनों त्रिभुजों में उभयनिष्ठ है और दोनों त्रिभुज समकोण हैं।

अगर त्रिज्या $r$, केंद्र से जीवा की लंब दूरी $d$ और पूरी जीवा की लंबाई $c$ हो, तो

$$\left(\frac c2\right)^2+d^2=r^2$$

ध्यान दीजिए, समकोण त्रिभुज की भुजा पूरी जीवा नहीं, आधी जीवा होती है। एक बात और: केंद्र और जीवा के दोनों सिरों से बने त्रिभुज में दो भुजाएँ त्रिज्याएँ हैं, इसलिए उसके आधार कोण बराबर होते हैं। कोण वाले कई प्रश्न इसी से बनते हैं।

11. दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ

जो रेखा दोनों वृत्तों को छूती है, उसे उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा कहते हैं। ऐसी कितनी रेखाएँ बनेंगी, यह इस पर निर्भर है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे के सापेक्ष कैसे रखे हैं।

बाएँ चित्र में दोनों वृत्त एक-दूसरे को दो बिंदुओं पर काटते हैं। इनकी केवल 2 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं, एक ऊपर और एक नीचे। दाएँ चित्र में दोनों वृत्त बाहर से एक बिंदु पर छूते हैं। यहाँ ऊपर-नीचे की दो रेखाओं के अलावा उस साझा बिंदु पर एक तीसरी रेखा भी बनती है, इसलिए 3 उभयनिष्ठ स्पर्शरेखाएँ हैं। जहाँ भी रेखा किसी वृत्त को छूती है, वहाँ उस वृत्त की त्रिज्या उस रेखा पर लंब होती है।

12. उत्तर-पुस्तिका में हल कैसे लिखें

सबसे पहले साफ़ चित्र बनाकर केंद्र, स्पर्श बिंदु और बाहरी बिंदु के नाम लिखिए। लंबाई वाले प्रश्न में केंद्र को स्पर्श बिंदु से मिलाकर समकोण का निशान लगाइए। कोण वाले प्रश्न में दोनों समकोण लिखकर चतुर्भुज के कोणों का योग लगाइए। दो स्पर्शखंडों को बराबर लिखने से पहले देख लीजिए कि वे सचमुच एक ही बाहरी बिंदु से निकले हैं।

प्रमाण हमेशा दी हुई बात से शुरू कीजिए। जो सिद्ध करना है, उसे बीच में ही सच मानकर मत चलिए। सर्वांगसमता का नियम (जैसे RHS) और शीर्षों का सही क्रम लिखिए। हिसाब पूरा होने पर अंतिम उत्तर इकाई के साथ लिखिए। चित्र में कोई लंबाई छोटी-बड़ी दिखे, तब भी प्रश्न में दिया गया मान ही लीजिए, चित्र देखकर अंदाज़ा मत लगाइए।

स्पर्शरेखा की लंबाई

केंद्र $O$ से बाह्य बिंदु $P$ की दूरी 13 सेमी और त्रिज्या 5 सेमी है। $PT$ स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए $OT\perp PT$ है। अब समकोण त्रिभुज $OTP$ में पाइथागोरस प्रमेय लगाइए:

$$PT^2=OP^2-OT^2=13^2-5^2=169-25=144$$

144 का वर्गमूल 12 है, इसलिए $PT=12$ सेमी।

केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी

त्रिज्या 8 सेमी और बाह्य बिंदु से स्पर्शरेखा 15 सेमी है। केंद्र से बाह्य बिंदु की दूरी निकालिए।

हल:

त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब है, इसलिए समकोण स्पर्श बिंदु पर बनेगा। केंद्र से बाहरी बिंदु तक का रेखाखंड $OP$ इस त्रिभुज का कर्ण है।

$$OP^2=8^2+15^2=64+225=289$$

$289=17^2$ है, तो $OP=17$ सेमी। ध्यान दीजिए, यहाँ कर्ण निकालना था, इसलिए वर्गों को जोड़ा गया है।

त्रिज्या निकालना

$OP=25$ सेमी और स्पर्शरेखा $PT=20$ सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए त्रिज्या $OT=r$ है। $OT\perp PT$ है, इसलिए $OP$ कर्ण है और

$$r^2=OP^2-PT^2=25^2-20^2=625-400=225$$

तो $r=15$, यानी त्रिज्या 15 सेमी है।

बराबर स्पर्शरेखाओं से समीकरण

एक बाह्य बिंदु से खींची दो स्पर्शरेखाओं की लंबाइयाँ $(3x+2)$ सेमी और $(5x-6)$ सेमी हैं। $x$ और लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

एक ही बाहरी बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर होती हैं, इसलिए दोनों लंबाइयों को बराबर रखिए:

$$3x+2=5x-6$$

$$2x=8\Rightarrow x=4$$

अब $x=4$ रखकर लंबाई निकालिए: $3\times4+2=14$ सेमी। दूसरी लंबाई में रखकर भी देख लेते हैं: $5\times4-6=14$ सेमी, यानी दोनों बराबर आईं। इसलिए $x=4$ और प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई 14 सेमी है।

स्पर्शरेखाओं के बीच कोण

$PA,PB$ स्पर्शरेखाएँ हैं। केंद्र पर छोटा कोण $\angle AOB=120^\circ$ है। $\angle APB$ ज्ञात कीजिए।

हल:

$OA\perp PA$ और $OB\perp PB$ है, यानी $A$ और $B$ पर दोनों कोण $90^\circ$ के हैं। चतुर्भुज $OAPB$ के चारों कोणों का योग $360^\circ$ होता है, इसलिए

$$\angle APB=360^\circ-90^\circ-90^\circ-120^\circ$$

तो $\angle APB=60^\circ$।

आधे कोण का उपयोग

$PA,PB$ स्पर्शरेखाएँ हैं और $\angle APB=70^\circ$ है। $\angle APO$ तथा $\angle AOP$ ज्ञात कीजिए।

हल:

केंद्र और बाहरी बिंदु को मिलाने वाली रेखा $OP$ कोण $APB$ को दो बराबर भागों में बाँटती है:

$$\angle APO=70^\circ/2=35^\circ$$

अब समकोण त्रिभुज $OAP$ में $A$ पर $90^\circ$ है, इसलिए

$$\angle AOP=180^\circ-90^\circ-35^\circ=55^\circ$$

इस तरह $\angle APO=35^\circ$ और $\angle AOP=55^\circ$ है।

समानांतर स्पर्शरेखाओं की दूरी

एक वृत्त की त्रिज्या 4.5 सेमी है। उसकी दो अलग समानांतर स्पर्शरेखाओं के बीच दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

स्पर्श बिंदुओं पर खींची गई त्रिज्याएँ दोनों समानांतर स्पर्शरेखाओं पर लंब हैं। इसलिए दोनों स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड केंद्र से होकर जाता है, यानी वह व्यास है। स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी इसी व्यास के बराबर होगी।

$$d=2r=2\times4.5=9$$

तो दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच की दूरी 9 सेमी है।

अंतःवृत्त से भुजा के खंड

$\triangle ABC$ का अंतःवृत्त $AB,BC,CA$ को क्रमशः $R,P,Q$ पर छूता है। $AB=13$, $BC=14$, $CA=15$ सेमी हैं। $AR$ ज्ञात कीजिए।

हल:

हर शीर्ष से निकलने वाले दोनों स्पर्शखंड बराबर होते हैं। इसलिए मान लीजिए $AR=AQ=x$, $BR=BP=y$ और $CP=CQ=z$ है। अब तीनों भुजाओं को इन खंडों में लिखिए:

$$x+y=13$$

$$y+z=14$$

$$z+x=15$$

पहली और तीसरी समीकरण जोड़कर उसमें से दूसरी घटाइए:

$$2x=13+15-14=14$$

इसलिए $AR=7$ सेमी। इसी से $y=13-7=6$ सेमी और $z=15-7=8$ सेमी भी मिल जाते हैं।

परिगत चतुर्भुज की चौथी भुजा

एक वृत्त को छूने वाले चतुर्भुज $ABCD$ में $AB=8$, $BC=11$, $CD=10$ सेमी हैं। $AD$ ज्ञात कीजिए।

हल:

चारों भुजाएँ एक ही वृत्त को छूती हैं, इसलिए यह वृत्त के परिगत चतुर्भुज है। इसमें आमने-सामने की भुजाओं के योग बराबर होते हैं:

$$AB+CD=BC+AD$$

$$8+10=11+AD$$

यानी $18=11+AD$, तो $AD=7$ सेमी।

परिगत समांतर चतुर्भुज

सिद्ध कीजिए कि किसी वृत्त के परिगत समांतर चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।

हल:

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज $ABCD$ की चारों भुजाएँ एक वृत्त को छूती हैं। तब परिगत चतुर्भुज के गुण से,

$$AB+CD=BC+AD$$

समांतर चतुर्भुज में आमने-सामने की भुजाएँ बराबर होती हैं, यानी $AB=CD$ और $BC=AD$। इन्हें ऊपर की बराबरी में रखने पर,

$$2AB=2BC\Rightarrow AB=BC$$

अब $AB=BC$ मिल गया, और $AB=CD$ तथा $BC=AD$ पहले से हैं। तो $AB=BC=CD=AD$। इसलिए परिगत समांतर चतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर हैं, यानी वह समचतुर्भुज है।

जीवा की लंबाई

वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है। केंद्र से जीवा की लंब दूरी 6 सेमी है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर लंब $OM$ खींचिए। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब उसे समद्विभाजित करता है, इसलिए $AM=MB$। अब समकोण त्रिभुज $OMA$ में,

$$AM^2=OA^2-OM^2=10^2-6^2=64$$

तो $AM=8$ सेमी। पूरी जीवा इसकी दुगुनी होगी, इसलिए $AB=2AM=16$ सेमी।

रेखा स्पर्शरेखा है या छेदक?

वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। तीन रेखाओं की केंद्र से लंब दूरियाँ क्रमशः 3, 5 और 7 सेमी हैं। प्रत्येक की स्थिति बताइए।

हल:

हर रेखा के लिए केंद्र से उसकी लंब दूरी $d$ को त्रिज्या $r=5$ सेमी से मिलाकर देखिए।

पहली रेखा के लिए $3\lt5$ है। रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है, इसलिए यह छेदक है।

दूसरी रेखा के लिए $5=5$ है। रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है, इसलिए यह स्पर्शरेखा है।

तीसरी रेखा के लिए $7\gt5$ है। रेखा वृत्त से बाहर रह जाती है, यानी उसका वृत्त से कोई साझा बिंदु नहीं है।

त्रिज्या और कोण से स्पर्शरेखा

5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की दो स्पर्शरेखाएँ $60^\circ$ का कोण बनाती हैं। प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए केंद्र $O$ है, बाहरी बिंदु $P$ है और एक स्पर्श बिंदु $A$ है। $OP$ स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को आधा करता है, इसलिए $\angle APO=30^\circ$। $A$ पर समकोण है, तो समकोण त्रिभुज $OAP$ में,

$$\tan30^\circ=\frac{OA}{PA}=\frac5{PA}$$

$$\frac1{\sqrt3}=\frac5{PA}\Rightarrow PA=5\sqrt3$$

दोनों स्पर्शरेखाएँ एक ही बाहरी बिंदु से हैं, इसलिए बराबर हैं। तो प्रत्येक स्पर्शरेखा की लंबाई $5\sqrt3$ सेमी है।

स्पर्श बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा

$PA,PB$ स्पर्शरेखाएँ हैं। $OA=3$ सेमी और $OP=5$ सेमी है। जीवा $AB$ की लंबाई निकालिए।

हल:

पहले $PA$ निकालिए। $OA\perp PA$ है, इसलिए $PA=\sqrt{5^2-3^2}=4$ सेमी।

मान लीजिए $AB$ और $OP$ एक-दूसरे को $M$ पर काटते हैं। $PA=PB$ है और $OP$ कोण $APB$ को आधा करता है, इसलिए त्रिभुज $APM$ और $BPM$ सर्वांगसम (SAS) हैं। इससे $AM=MB$ और $OP\perp AB$ मिलता है।

अब समकोण त्रिभुज $OAP$ का क्षेत्रफल दो तरह से लिखिए: एक बार $OA$ और $PA$ से, और एक बार $OP$ को आधार और $AM$ को ऊँचाई लेकर।

$$\frac12 OA\cdot PA=\frac12 OP\cdot AM$$

$$AM=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}$$

इसलिए $AB=2AM=24/5$ सेमी, यानी 4.8 सेमी।