पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। प्रमाण वाले प्रश्न में सबसे पहले केंद्र को स्पर्श बिंदुओं से मिलाइए। लंबाई वाले प्रश्न में समकोण पहचानिए, और जीवा वाले प्रश्न में आधी जीवा लेकर समकोण त्रिभुज बनाइए।

समानांतर स्पर्शरेखाओं के स्पर्श बिंदु

सिद्ध कीजिए कि वृत्त की दो समानांतर स्पर्शरेखाओं के स्पर्श बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।

हल:

मान लीजिए दोनों समानांतर स्पर्शरेखाएँ वृत्त को $A$ और $B$ पर छूती हैं और $O$ केंद्र है। $OA$ और $OB$ को मिलाइए।

स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लंब होती है, इसलिए $OA$ पहली स्पर्शरेखा पर लंब है और $OB$ दूसरी स्पर्शरेखा पर। दोनों स्पर्शरेखाएँ समांतर हैं, तो $OA$ और $OB$ वाली रेखाएँ भी आपस में समांतर होंगी।

पर ये दोनों रेखाएँ एक ही बिंदु $O$ से होकर जाती हैं। दो अलग समांतर रेखाएँ कहीं नहीं मिलतीं, इसलिए जिन दो समांतर रेखाओं में एक बिंदु साझा हो, वे एक ही रेखा होती हैं। यानी $A$, $O$ और $B$ एक ही सीधी रेखा पर हैं।

अब $A$ और $B$ दोनों वृत्त पर हैं और $AB$ केंद्र से होकर जाता है। इसलिए $AB$ वृत्त का व्यास है।

त्रिज्या और दूरी से जीवा

6 सेमी त्रिज्या के वृत्त की एक जीवा केंद्र से 4 सेमी की दूरी पर है। जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

हल:

जीवा $AB$ पर केंद्र $O$ से लंब $OM$ खींचिए। चित्र में त्रिज्या $OA=r=6$ सेमी है और लंब दूरी $OM=d=4$ सेमी। यह लंब जीवा को आधा करता है, इसलिए $AM=MB$। अब समकोण त्रिभुज $OMA$ में,

$$AM^2=OA^2-OM^2=6^2-4^2=20$$

$$AM=\sqrt{20}=2\sqrt5$$

पूरी जीवा इसकी दुगुनी है, तो $AB=2AM=4\sqrt5$ सेमी।

अंतःवृत्त से तीसरी भुजा

$\triangle ABC$ का अंतःवृत्त $BC,CA,AB$ को क्रमशः $P,Q,R$ पर छूता है। यदि $AB=10$, $AQ=7$ और $CQ=5$ सेमी हैं, तो $BC$ ज्ञात कीजिए।

हल:

एक ही बाहरी बिंदु से खींचे गए स्पर्शखंड बराबर होते हैं। शीर्ष $A$ से,

$$AR=AQ=7$$

तो $BR=AB-AR=10-7=3$ सेमी। अब शीर्ष $B$ से,

$$BP=BR=3$$

और शीर्ष $C$ से $CP=CQ=5$ सेमी। इसलिए,

$$BC=BP+PC=3+5=8$$

तो $BC=8$ सेमी है।

जीवा से केंद्र की दूरी

वृत्त की जीवा 24 सेमी और त्रिज्या 13 सेमी है। केंद्र से जीवा की लंब दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

केंद्र $O$ से जीवा $AB$ पर लंब $OM$ खींचिए। यह लंब जीवा को दो बराबर भागों में बाँटता है:

$$AM=AB/2=24/2=12$$

अब समकोण त्रिभुज $OMA$ में कर्ण $OA$ है, जो त्रिज्या है:

$$OM^2=OA^2-AM^2=13^2-12^2=169-144=25$$

$OM=\sqrt{25}$, तो केंद्र से जीवा की लंब दूरी $OM=5$ सेमी है।