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रचनाएँ: पूरे अध्याय का सार

1. रेखाखंड को $m:n$ में बाँटना

$A$ से एक सहायक किरण खींचिए और उस पर $m+n$ बराबर अंतराल लीजिए। अंतिम निशान $A_{m+n}$ को $B$ से मिलाइए। अब $A_m$ से इसके समांतर रेखा खींचिए, जो $AB$ को $C$ पर काटेगी।

$$AC:CB=m:n$$

$$AC=\frac{m}{m+n}AB$$

$$CB=\frac{n}{m+n}AB$$

इसका औचित्य आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय है। गिनती में दो निशान अलग पहचानिए: $B$ से जोड़ने के लिए अंतिम निशान और समांतर खींचने के लिए $m$वाँ निशान।

2. समरूप त्रिभुज, स्केल गुणक $m/n$

$B$ से सहायक किरण खींचकर उस पर $m$ और $n$ में से जो बड़ी संख्या हो, उतने बराबर अंतराल लीजिए। हर वाले निशान $B_n$ को मूल शीर्ष $C$ से मिलाइए। अंश वाले निशान $B_m$ से इस रेखा के समांतर रेखा खींचकर $BC$ या उसके बढ़े हुए भाग पर $C'$ लीजिए। फिर $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचकर $BA$ या उसके बढ़े हुए भाग पर $A'$ लीजिए।

$$\frac{BA'}{BA}=\frac{BC'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac mn$$

$k\lt1$ हो तो त्रिभुज छोटा बनेगा और $k\gt1$ हो तो बड़ा। परिमापों का अनुपात $k$ और क्षेत्रफलों का अनुपात $k^2$ होता है। ध्यान रहे, रेखाखंड बाँटने में अंतराल $m+n$ होते हैं, पर इस रचना में सिर्फ़ बड़ी संख्या जितने।

3. बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखाएँ

$OP$ का मध्यबिंदु $M$ बनाइए। $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या लेकर सहायक वृत्त खींचिए, जो मूल वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर काटे। $PT_1$ और $PT_2$ मिलाइए।

औचित्य: $OP$ सहायक वृत्त का व्यास है, इसलिए $\angle OT_iP=90^\circ$। त्रिज्या के सिरे पर उसके लंब रेखा स्पर्शरेखा होती है।

$$PT=\sqrt{OP^2-r^2}$$

यह सूत्र सिर्फ़ लंबाई जाँचने के लिए है। रचना में स्पर्श बिंदु दोनों वृत्तों के कटान से ही लीजिए। दो अलग स्पर्शरेखाएँ तभी बनेंगी जब $OP\gt r$ हो।

4. केंद्र और अंतःवृत्त

केंद्र न दिया हो तो दो असमांतर जीवाओं के लंब समद्विभाजक खींचिए, उनका कटान बिंदु केंद्र है। त्रिभुज का अंतःकेंद्र दो आंतरिक कोणों के समद्विभाजकों के कटान से मिलता है। अंतःवृत्त की त्रिज्या अंतःकेंद्र से किसी भुजा की लंब दूरी होती है।

5. परीक्षा में उत्तर कैसे लिखें

क्रम यह रखिए: दी गई लंबाइयाँ, फिर क्रम से लिखे रचना के चरण, फिर नामों के साथ साफ़ आकृति, फिर छोटा-सा औचित्य और अंत में माँगा गया माप। बराबर अंतराल लेते समय परकार का फैलाव मत बदलिए। समांतर रेखा आँख से नहीं, कोण की प्रतिलिपि बनाकर खींचिए। गणना से निकले दशमलव और रूलर के माप में थोड़ा-सा अंतर आए, तो घबराइए मत, इतना अंतर स्वाभाविक है।