रचनाएँ: चरण, चित्र और औचित्य

रूलर और परकार से रचनाएँ

इस अध्याय में पढ़ने से ज़्यादा बनाने का काम है। इसलिए कॉपी, रूलर, परकार और नुकीली पेंसिल लेकर बैठिए। हर विधि पढ़कर उसका चित्र देखिए और फिर उसे खुद कागज़ पर बनाइए। सिर्फ़ अंतिम आकृति की नकल कर लेने से तरीका हाथ में नहीं आता। सहायक रेखाएँ और चाप हल्के रखिए, अंतिम आकृति साफ़ बनाइए और हर ज़रूरी बिंदु का नाम लिखिए।

परीक्षा में रचना के उत्तर के दो हिस्से होते हैं। रचना के चरण बताते हैं कि आकृति कैसे बनी, और औचित्य बताता है कि बनी हुई आकृति माँगी गई शर्त सच में पूरी करती है। इस पाठ में हम रेखाखंड को दिए गए अनुपात में बाँटना, किसी त्रिभुज के समरूप त्रिभुज बनाना और बाहर के बिंदु से वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ खींचना सीखेंगे। साथ में त्रिभुज का अंतःवृत्त बनाना भी देखेंगे।

चित्रों पर लिखे माप प्रश्न के माप हैं। स्क्रीन पर चित्र को रूलर से मत नापिए, कागज़ पर दी गई लंबाई से शुरू कीजिए।

1. बराबर अंतराल और लंब समद्विभाजक

सहायक किरण पर बराबर अंतराल लेने के लिए परकार को किसी सुविधाजनक फैलाव पर खोलिए। शुरू के बिंदु को केंद्र मानकर किरण पर चाप काटिए। फिर जहाँ चाप कटा, उसी बिंदु को अगला केंद्र बनाकर अगला चाप काटिए। पूरे समय फैलाव वही रहना चाहिए। पाँच अंतराल चाहिए तो शुरू के बिंदु के बाद पाँच नए बिंदु बनेंगे।

रेखाखंड $AB$ का लंब समद्विभाजक बनाने के लिए परकार को $AB$ की आधी लंबाई से ज़्यादा खोलिए। इसी फैलाव से $A$ और $B$ को केंद्र मानकर रेखाखंड के ऊपर और नीचे, दोनों ओर चाप काटिए। चापों के दोनों कटान बिंदुओं को मिला दीजिए। यह रेखा $AB$ को समकोण पर दो बराबर भागों में बाँटती है। अगर चाप एक-दूसरे को नहीं काट रहे, तो फैलाव छोटा है। उसे थोड़ा बढ़ाकर फिर से बनाइए।

2. कोण का समद्विभाजक और बिंदु से लंब

कोण को समद्विभाजित करने के लिए शीर्ष को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए, जो दोनों भुजाओं को काटे। अब इन दोनों कटान बिंदुओं को केंद्र बनाकर एक ही त्रिज्या से कोण के अंदर दो चाप काटिए। शीर्ष को इन चापों के कटान बिंदु से मिलाइए। यह रेखा कोण को दो बराबर भागों में बाँट देती है।

अब मान लीजिए रेखा के बाहर कोई बिंदु $I$ है और उससे रेखा पर लंब डालना है। $I$ को केंद्र मानकर ऐसा चाप खींचिए जो रेखा को दो बिंदुओं $U$ और $V$ पर काटे। फिर $U$ और $V$ को केंद्र बनाकर बराबर त्रिज्या के दो चाप रेखा की दूसरी ओर काटिए और उनका कटान बिंदु $K$ लीजिए। $IK$ मिलाइए। यह $UV$ का लंब समद्विभाजक है, इसलिए रेखा पर लंब है। अगर बिंदु रेखा पर ही हो, तो उसके दोनों ओर बराबर दूरी पर दो बिंदु लेकर यही समद्विभाजक वाली विधि अपनाइए।

3. समांतर रेखा खींचने का सही तरीका

मान लीजिए सहायक किरण $AX$ पर बिंदु $A_3$ और $A_5$ हैं, और $A_3$ से $A_5B$ के समांतर रेखा खींचनी है। इसके लिए $A_5$ पर $A_5A$ और $A_5B$ के बीच जो कोण बना है, उसकी नकल $A_3$ पर किरण $A_3A$ के साथ उसी ओर बनानी होती है।

कोण की प्रतिलिपि ऐसे बनाइए: $A_5$ को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए, जो कोण की दोनों भुजाओं को $U$ और $V$ पर काटे। उसी त्रिज्या से $A_3$ को केंद्र मानकर चाप खींचिए, जो $A_3A$ को $U'$ पर काटे। अब परकार में दूरी $UV$ भरिए। $U'$ को केंद्र बनाकर इस दूरी का चाप काटिए, जो $A_3$ वाले चाप को उसी ओर $V'$ पर काटे। $A_3V'$ मिलाइए। दोनों संगत कोण बराबर हैं, इसलिए यह रेखा $A_5B$ के समांतर है।

आगे जहाँ भी “समांतर रेखा खींचिए” लिखा हो, उसका मतलब यही है। रूलर को आँख से झुकाकर मिला देना रचना नहीं मानी जाती।

4. रेखाखंड को अनुपात में बाँटना: बराबर निशान

मान लीजिए $AB$ को $3:2$ में बाँटना है। $A$ से एक किरण $AX$ खींचिए, जो $AB$ के साथ न्यून कोण बनाए। इस किरण पर परकार से पाँच बराबर अंतराल लीजिए और बिंदुओं के नाम क्रम से $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ लिखिए।

पाँच अंतराल इसलिए, क्योंकि $3+2=5$ है। हर अंतराल 1 सेमी का हो, यह ज़रूरी नहीं। ज़रूरी बस इतना है कि सारे अंतराल बराबर हों और चित्र कागज़ पर ठीक से आ जाए। किरण का कोण भी कोई भी सुविधाजनक न्यून कोण हो सकता है। अनुपात सही आएगा या नहीं, यह बराबर अंतरालों और आगे खींची जाने वाली समांतर रेखा पर टिका है।

5. विभाजन बिंदु तक पहुँचना

अब अंतिम निशान $A_5$ को $B$ से मिलाइए। आगे इसी रेखा $A_5B$ के समांतर रेखा खींचनी है।

अनुपात का पहला पद 3 है, इसलिए तीसरे निशान $A_3$ से $A_5B$ के समांतर रेखा खींचिए। यह $AB$ को जहाँ काटे, उस बिंदु का नाम $C$ रखिए।

त्रिभुज $AA_5B$ में $A_3C\parallel A_5B$ है। तो आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से $AC:CB=AA_3:A_3A_5=3:2$ मिलता है। किसी भी अनुपात $m:n$ के लिए यही नियम है: किरण पर कुल $m+n$ बराबर अंतराल लीजिए, अंतिम निशान को $B$ से मिलाइए और $m$वें निशान से समांतर रेखा खींचिए।

6. भागों की लंबाई से जाँच

अगर रेखाखंड की लंबाई $L$ हो और अनुपात $m:n$ हो, तो दोनों भाग ये होंगे:

$$AC=\frac{m}{m+n}L$$

$$CB=\frac{n}{m+n}L$$

इन सूत्रों से अपनी रचना जाँचिए, पर रचना की जगह इनका प्रयोग मत कीजिए। अगर आपने लंबाई का दशमलव निकालकर रूलर से सीधे बिंदु लगा दिया, तो प्रश्न में माँगी गई रचना हुई ही नहीं। दोनों भागों को जोड़कर भी देखिए, योग पूरी लंबाई के बराबर आना चाहिए।

अनुपात का क्रम भी ध्यान से देखिए। $AC:CB=2:5$ में बिंदु $C$, $A$ के ज़्यादा पास होगा। अगर आपका बिंदु $B$ के पास बन गया, तो शायद आपने गलत निशान से समांतर रेखा खींची है।

7. समरूप त्रिभुज और स्केल गुणक

नए त्रिभुज की किसी भुजा और मूल त्रिभुज की संगत भुजा का अनुपात स्केल गुणक $k$ कहलाता है। अगर $0\lt k\lt1$ हो, तो नया त्रिभुज छोटा बनेगा, और $k\gt1$ हो तो बड़ा। $k=1$ पर दोनों त्रिभुजों की संगत भुजाएँ बराबर होंगी।

सबसे पहले दी गई तीन भुजाओं से मूल त्रिभुज बनाइए। जैसे $BC=6$ सेमी, $BA=5$ सेमी और $CA=4$ सेमी हों, तो पहले $BC$ खींचिए। फिर $B$ को केंद्र मानकर 5 सेमी का और $C$ को केंद्र मानकर 4 सेमी का चाप काटिए। दोनों चाप जहाँ मिलें, वही $A$ है। याद रखिए, त्रिभुज तभी बनता है जब किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से बड़ा हो।

समरूप त्रिभुज को अंदाज़े से छोटा या बड़ा करके मत खींचिए। उसे सहायक किरण और समांतर रेखाओं से बनाइए, तभी तीनों भुजाएँ एक ही अनुपात में बदलेंगी।

8. छोटा समरूप त्रिभुज: $3/4$ गुना

मूल त्रिभुज $ABC$ बन जाने के बाद $B$ से $BC$ के नीचे की ओर एक सहायक किरण खींचिए। उस पर चार बराबर अंतराल लेकर $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ लिखिए। हर वाले निशान $B_4$ को $C$ से मिलाइए। अब अंश वाले निशान $B_3$ से $B_4C$ के समांतर रेखा खींचिए, जो $BC$ को $C'$ पर काटेगी। फिर $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचिए, जो $BA$ को $A'$ पर काटेगी।

समांतर रेखा के कारण $BC'/BC=BB_3/BB_4=3/4$ है। और $C'A'\parallel CA$ होने से संगत कोण बराबर हैं। इसलिए $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है और सभी संगत भुजाओं का अनुपात $3:4$ है। यह नया त्रिभुज मूल त्रिभुज के अंदर ही बनता है।

9. बड़ा समरूप त्रिभुज: $4/3$ गुना

इस बार भी चार अंतराल लीजिए, लेकिन $C$ से $B_3$ को मिलाइए। $B_4$ से $B_3C$ के समांतर रेखा खींचिए। यह रेखा $BC$ को $C$ से आगे बढ़ाने पर $C'$ पर मिलेगी। फिर $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचिए, जो आगे बढ़ाई गई $BA$ को $A'$ पर काटेगी।

अब $BC'/BC=BB_4/BB_3=4/3$ है। नाम लिखते समय क्रम सही रखिए: $A'\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow B$ और $C'\leftrightarrow C$ संगत हैं।

यहाँ बहुत-से विद्यार्थी गड़बड़ा जाते हैं। रेखाखंड को $4:3$ में बाँटने के लिए सात अंतराल चाहिए, पर त्रिभुज को $4/3$ गुना करने में सिर्फ़ चार। दोनों रचनाओं में निशान गिनने का नियम अलग है।

10. बाहरी बिंदु से स्पर्शरेखाएँ: $OP$ का मध्यबिंदु

केंद्र $O$ और त्रिज्या $r$ वाला वृत्त दिया है और बिंदु $P$ वृत्त के बाहर है, यानी $OP\gt r$। पहले $OP$ मिलाइए। अब $O$ और $P$ को केंद्र मानकर, $OP$ की आधी लंबाई से ज़्यादा एक ही त्रिज्या से दोनों ओर चाप काटिए और $OP$ का लंब समद्विभाजक बनाइए। यह $OP$ को जिस बिंदु पर काटे, वही मध्यबिंदु $M$ है।

ध्यान दीजिए, मध्यबिंदु रूलर से अंदाज़े से आधा नापकर नहीं लिया गया, परकार से बनाया गया है। $MO=MP$ है, इसलिए $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या लेकर बना वृत्त $O$ और $P$ दोनों से होकर जाएगा। अगले चरण में यही वृत्त काम आएगा।

11. सहायक वृत्त और स्पर्श बिंदु

$M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या लेकर सहायक वृत्त खींचिए। यह मूल वृत्त को दो बिंदुओं $T_1$ और $T_2$ पर काटेगा।

अब $PT_1$ और $PT_2$ मिला दीजिए।

औचित्य: $OP$ सहायक वृत्त का व्यास है। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle OT_1P=\angle OT_2P=90^\circ$। मतलब $PT_1$ और $PT_2$ स्पर्श बिंदुओं पर त्रिज्याओं के लंब हैं, इसलिए दोनों स्पर्शरेखाएँ हैं। उत्तर में यही कारण लिखिए। सिर्फ़ यह लिख देना कि “रेखाएँ वृत्त को छू रही हैं” काफ़ी नहीं है।

12. केंद्र ढूँढना, अंतःवृत्त और अंतिम जाँच

अगर वृत्त का केंद्र नहीं दिया है, तो वृत्त में दो ऐसी जीवाएँ खींचिए जो समांतर न हों। दोनों के लंब समद्विभाजक जहाँ मिलें, वही केंद्र है। क्योंकि केंद्र हर जीवा के दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है, इसलिए वह हर जीवा के लंब समद्विभाजक पर पड़ता है। केंद्र मिल जाए, तो स्पर्शरेखाएँ ऊपर वाली विधि से ही बनाइए।

त्रिभुज का अंतःवृत्त बनाने के लिए दो आंतरिक कोणों के समद्विभाजक खींचिए। इनका कटान बिंदु अंतःकेंद्र $I$ है। अब $I$ से किसी भी भुजा पर लंब डालिए और इसी लंब की लंबाई को त्रिज्या मानकर वृत्त खींचिए। यह वृत्त तीनों भुजाओं को छुएगा। अगर $I$ से किसी शीर्ष तक की दूरी को त्रिज्या ले लिया, तो अंतःवृत्त नहीं बनेगा।

रचना पूरी होने पर एक बार जाँच लीजिए: अनुपात में बाँटने पर दोनों भागों का योग पूरी लंबाई के बराबर हो, समरूप त्रिभुज में हर संगत भुजा का अनुपात एक ही हो, और बाहरी बिंदु से खींची दोनों स्पर्शरेखाएँ बराबर लंबी हों। माप पूछा हो तो अपनी आकृति रूलर से नापकर लिखिए, और औचित्य में समांतरता, समरूपता या समकोण वाला कारण ज़रूर दीजिए।

रेखाखंड को 3 : 2 में बाँटना

10 सेमी के रेखाखंड $AB$ को बिंदु $C$ पर $3:2$ में विभाजित कीजिए।

हल:

रचना के चरण:

1. रूलर से $AB=10$ सेमी खींचते हैं। $A$ से एक किरण $AX$ खींचते हैं, जो $AB$ के साथ न्यून कोण बनाती है।
2. परकार का फैलाव बदले बिना $AX$ पर पाँच बराबर अंतराल लेते हैं और बिंदुओं को $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$, $A_5$ नाम देते हैं।
3. $A_5$ को $B$ से मिलाते हैं। फिर $A_3$ से $A_5B$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $AB$ को $C$ पर काटती है।

औचित्य: $A_3C\parallel A_5B$ है, इसलिए आधारभूत समानुपातिकता प्रमेय से,

$$\frac{AC}{CB}=\frac{AA_3}{A_3A_5}=\frac32$$

तो $C$ ही अभीष्ट बिंदु है। नापने पर $AC=6$ सेमी और $CB=4$ सेमी आता है, और दोनों का योग 10 सेमी है।

दो और सात के अनुपात में विभाजन

9 सेमी के रेखाखंड को $2:7$ में विभाजित कीजिए।

हल:

रचना: $AB=9$ सेमी खींचते हैं। $A$ से सहायक किरण $AX$ खींचकर उस पर परकार के एक ही फैलाव से नौ बराबर अंतराल लेते हैं और सिरों को $A_1$ से $A_9$ तक नाम देते हैं। $A_9B$ मिलाते हैं। फिर $A_2$ से $A_9B$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $AB$ को $C$ पर काटती है।

औचित्य: समांतर रेखा के कारण $AC:CB=AA_2:A_2A_9=2:7$ है, इसलिए रचना सही है। नापने पर $AC=2$ सेमी और $CB=7$ सेमी मिलेंगे।

ध्यान रहे, किरण पर सिर्फ़ 2 और 7 के दो निशान लगाने से काम नहीं चलेगा। कुल 9 बराबर अंतराल चाहिए।

पाँच बराबर भाग

7 सेमी लंबे रेखाखंड को पाँच बराबर भागों में बाँटिए।

हल:

$AB=7$ सेमी खींचते हैं। $A$ से एक सहायक किरण खींचकर उस पर पाँच बराबर अंतराल $AA_1, A_1A_2, \ldots, A_4A_5$ लेते हैं। $A_5B$ मिलाते हैं। अब $A_1$, $A_2$, $A_3$ और $A_4$ से $A_5B$ के समांतर रेखाएँ खींचते हैं। ये $AB$ को चार बिंदुओं पर काटती हैं।

समांतर रेखाओं से जो छोटे त्रिभुज बनते हैं, वे समरूप हैं। इसलिए $AB$ पर बने लगातार टुकड़े भी बराबर हैं। हर भाग की लंबाई $7/5$ सेमी, यानी 1.4 सेमी होगी। देखिए, पाँच भाग करने के लिए रेखाखंड के अंदर चार ही विभाजन बिंदु बनते हैं।

छोटा समरूप त्रिभुज

4, 5 और 6 सेमी भुजाओं का त्रिभुज बनाकर उसकी संगत भुजाओं की $3/4$ गुनी भुजाओं वाला त्रिभुज बनाइए।

हल:

पहले दिया हुआ त्रिभुज बनाते हैं: $BC=6$ सेमी खींचते हैं। $B$ को केंद्र मानकर 5 सेमी और $C$ को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप $BC$ के ऊपर काटते हैं। ये $A$ पर मिलते हैं। $AB$ और $AC$ मिलाते हैं।

समरूप त्रिभुज की रचना:

1. $B$ से $BC$ के नीचे की ओर एक सहायक किरण $BX$ खींचते हैं, जो न्यून कोण बनाती है।
2. $BX$ पर परकार से 4 बराबर अंतराल लेकर $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ अंकित करते हैं।
3. $B_4$ को $C$ से मिलाते हैं। $B_3$ से $B_4C$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BA$ को $A'$ पर काटती है।

इस तरह $A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य: पहली समांतर रेखा से $BC'/BC=BB_3/BB_4=3/4$ मिलता है। दूसरी समांतर रेखा से संगत कोण बराबर हो जाते हैं। इसलिए $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है और सभी संगत भुजाओं का अनुपात $3:4$ है।

बड़ा समरूप त्रिभुज

4, 5 और 6 सेमी भुजाओं के त्रिभुज की संगत भुजाओं की $4/3$ गुनी भुजाओं वाला त्रिभुज बनाइए।

हल:

पहले दिया हुआ त्रिभुज बनाते हैं: पिछले प्रश्न की तरह $BC=6$ सेमी खींचकर $B$ से 5 सेमी और $C$ से 4 सेमी त्रिज्या के चाप ऊपर की ओर काटते हैं और कटान बिंदु $A$ लेते हैं। $AB$ और $AC$ मिलाते हैं।

समरूप त्रिभुज की रचना:

1. $B$ से $BC$ के नीचे की ओर एक सहायक किरण $BX$ खींचते हैं, जो न्यून कोण बनाती है।
2. $BX$ पर परकार से 4 बराबर अंतराल लेकर $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ अंकित करते हैं।
3. इस बार $B_3$ को $C$ से मिलाते हैं। $B_4$ से $B_3C$ के समांतर रेखा खींचते हैं। यह $C$ से आगे बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $A$ से आगे बढ़ाई गई $BA$ को $A'$ पर काटती है।

इस तरह $A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य: पहली समांतर रेखा से $BC'/BC=BB_4/BB_3=4/3$ मिलता है। दूसरी समांतर रेखा से संगत कोण बराबर हो जाते हैं। इसलिए $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है और सभी संगत भुजाओं का अनुपात $4:3$ है।

समबाहु त्रिभुज को बड़ा करना

6 सेमी भुजा का समबाहु त्रिभुज बनाकर उसकी भुजा की $5/3$ गुनी भुजा वाला समरूप त्रिभुज बनाइए।

हल:

1. $BC=6$ सेमी खींचते हैं। $B$ और $C$ को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या के चाप काटते हैं, जो $A$ पर मिलते हैं। $AB$ और $AC$ मिलाते हैं।
2. $B$ से नीचे की ओर एक सहायक किरण खींचकर उस पर पाँच बराबर अंतराल $B_1$ से $B_5$ तक अंकित करते हैं।
3. $B_3C$ मिलाते हैं। $B_5$ से इसके समांतर रेखा खींचते हैं, जो बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो बढ़ाई गई $BA$ को $A'$ पर काटती है।

औचित्य: $BC'/BC=BB_5/BB_3=5/3$ है और $C'A'\parallel CA$ है, इसलिए दोनों त्रिभुज समरूप हैं। नई भुजा $6\times5/3=10$ सेमी होगी।

तो $A'BC'$ अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

समकोण त्रिभुज का विस्तार

3 और 4 सेमी लंबवत भुजाओं का समकोण त्रिभुज बनाकर $3/2$ स्केल गुणक का समरूप त्रिभुज बनाइए।

हल:

1. $BC=4$ सेमी खींचते हैं। $B$ पर परकार से $BC$ का लंब बनाते हैं और उस पर $BA=3$ सेमी काटते हैं। $AC$ मिलाते हैं।
2. $B$ से त्रिभुज के नीचे की ओर एक किरण खींचकर उस पर तीन बराबर अंतराल $B_1$, $B_2$, $B_3$ लेते हैं।
3. $B_2C$ मिलाते हैं। $B_3$ से इसके समांतर रेखा खींचते हैं, जो बढ़ाई गई $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो बढ़ाई गई $BA$ को $A'$ पर काटती है।

औचित्य: समांतर रेखाओं के कारण $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है और $BC'/BC=3/2$ है। इसलिए नए त्रिभुज की लंबवत भुजाएँ 4.5 सेमी और 6 सेमी होंगी। मूल कर्ण 5 सेमी है, तो नया कर्ण 7.5 सेमी होगा।

बाह्य बिंदु से दो स्पर्शरेखाएँ

3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचिए। केंद्र से 5 सेमी दूर स्थित बिंदु से दोनों स्पर्शरेखाएँ बनाइए।

हल:

1. केंद्र $O$ लेकर 3 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं। $O$ से 5 सेमी दूर एक बिंदु $P$ लेते हैं और $OP$ मिलाते हैं।
2. परकार से $OP$ का लंब समद्विभाजक बनाकर उसका मध्यबिंदु $M$ प्राप्त करते हैं।
3. $M$ को केंद्र और $MO$ को त्रिज्या लेकर सहायक वृत्त खींचते हैं। यह मूल वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर काटता है।
4. $PT_1$ और $PT_2$ मिलाते हैं। यही अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य: $OP$ सहायक वृत्त का व्यास है। अर्धवृत्त में बना कोण समकोण होता है, इसलिए $\angle OT_1P=\angle OT_2P=90^\circ$। यानी $PT_1$ और $PT_2$ स्पर्श बिंदुओं पर त्रिज्याओं के लंब हैं, इसलिए ये मूल वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं।

लंबाई से उत्तर जाँच लेते हैं: $PT_1=PT_2=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}$ सेमी, यानी हर स्पर्शखंड 4 सेमी का होगा।

अलग माप में वही विधि

4 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर केंद्र से 7 सेमी दूर स्थित बिंदु से स्पर्शरेखाएँ बनाइए।

हल:

1. केंद्र $O$ लेकर 4 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं। $O$ से 7 सेमी दूर बिंदु $P$ लेकर $OP$ मिलाते हैं।
2. $OP$ का लंब समद्विभाजक बनाकर मध्यबिंदु $M$ पाते हैं।
3. $M$ केंद्र और $MO$ त्रिज्या से सहायक वृत्त खींचते हैं, जो मूल वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर काटता है।
4. $PT_1$ और $PT_2$ मिलाते हैं। यही अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य: $OP$ सहायक वृत्त का व्यास है, इसलिए अर्धवृत्त के कोण से $\angle OT_1P=\angle OT_2P=90^\circ$ है। स्पर्श बिंदुओं पर ये रेखाएँ त्रिज्याओं के लंब हैं, इसलिए $PT_1$ और $PT_2$ मूल वृत्त की स्पर्शरेखाएँ हैं।

जाँच के लिए लंबाई निकालते हैं: $PT_1=PT_2=\sqrt{7^2-4^2}=\sqrt{33}$ सेमी। यानी हर स्पर्शखंड $\sqrt{33}$ सेमी, लगभग 5.74 सेमी होगा। यह गणना सिर्फ़ जाँच के लिए है, उत्तर में रचना ही मुख्य है।

केंद्र नहीं दिया हो

एक वृत्त का केंद्र नहीं दिया है। उसके बाहर बिंदु $P$ से दो स्पर्शरेखाएँ बनाइए।

हल:

1. वृत्त पर तीन अलग बिंदु $A$, $B$, $C$ लेकर जीवाएँ $AB$ और $BC$ मिलाते हैं।
2. दोनों जीवाओं के लंब समद्विभाजक बनाते हैं। ये जिस बिंदु $O$ पर मिलते हैं, वही वृत्त का केंद्र है।
3. $OP$ मिलाकर उसका मध्यबिंदु $M$ बनाते हैं। $M$ केंद्र और $MO$ त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं, जो मूल वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर काटता है।
4. $PT_1$ और $PT_2$ मिलाते हैं। यही दोनों अभीष्ट स्पर्शरेखाएँ हैं।

औचित्य: केंद्र हर जीवा के लंब समद्विभाजक पर होता है, इसलिए दोनों समद्विभाजकों का कटान बिंदु ही केंद्र है। इसके बाद $OP$ व्यास वाले वृत्त से $T_1$ और $T_2$ पर समकोण बनता है, तो दोनों रेखाएँ स्पर्शरेखाएँ हैं।

60° का कोण बनाती स्पर्शरेखाएँ

2 सेमी त्रिज्या के वृत्त पर ऐसी दो स्पर्शरेखाएँ बनाइए जो आपस में $60^\circ$ बनाती हों।

हल:

1. केंद्र $O$ लेकर 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त खींचते हैं। $O$ से एक किरण खींचते हैं, जो वृत्त को $A$ पर काटती है।
2. उसी किरण पर $A$ से आगे परकार से $OA$ के बराबर एक और लंबाई काटकर बिंदु $P$ लेते हैं। तब $OP=2OA=4$ सेमी।
3. $OP$ का मध्यबिंदु बनाकर $OP$ व्यास का सहायक वृत्त खींचते हैं। यह मूल वृत्त को $T_1$ और $T_2$ पर काटता है। इन्हें $P$ से मिलाते हैं।

औचित्य: $\triangle OT_1P$ में $T_1$ पर समकोण है। इसलिए $\sin\angle T_1PO=OT_1/OP=1/2$, यानी $\angle T_1PO=30^\circ$। $OP$ दोनों स्पर्शरेखाओं के बीच के कोण को आधा-आधा बाँटता है, इसलिए $\angle T_1PT_2=60^\circ$ है।

समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त

6 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का अंतःवृत्त बनाइए।

हल:

1. $AB=6$ सेमी खींचते हैं। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर 6 सेमी त्रिज्या के चाप काटते हैं, जो $C$ पर मिलते हैं। $AC$ और $BC$ मिलाते हैं।
2. $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक बनाते हैं। ये जिस बिंदु पर मिलते हैं, उसे $I$ कहते हैं।
3. $I$ से भुजा $AB$ पर लंब $ID$ डालते हैं।
4. $I$ को केंद्र और $ID$ को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचते हैं।

औचित्य: कोण के समद्विभाजक पर स्थित हर बिंदु उस कोण की दोनों भुजाओं से बराबर दूरी पर होता है। $I$ दोनों समद्विभाजकों पर है, इसलिए वह तीनों भुजाओं से बराबर दूरी पर है। तो यह वृत्त तीनों भुजाओं को छूता है और यही अभीष्ट अंतःवृत्त है। त्रिज्या लंब $ID$ है, शीर्ष तक की दूरी $IA$ नहीं।

क्षेत्रफल अनुपात से रचना

4, 5 और 6 सेमी भुजाओं वाले त्रिभुज के समरूप ऐसा त्रिभुज बनाइए जिसका क्षेत्रफल मूल त्रिभुज का $4/9$ हो।

हल:

समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनकी संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग होता है। इसलिए पहले भुजाओं का अनुपात निकालते हैं:

$$k=\sqrt{\frac49}=\frac23$$

यानी मूल त्रिभुज का $2/3$ गुना समरूप त्रिभुज बनाना है।

पहले दिया हुआ त्रिभुज बनाते हैं: $BC=6$ सेमी खींचकर $B$ से 5 सेमी और $C$ से 4 सेमी त्रिज्या के चाप $BC$ के ऊपर काटते हैं। ये $A$ पर मिलते हैं। $AB$ और $AC$ मिलाते हैं।

समरूप त्रिभुज की रचना:

1. $B$ से $BC$ के नीचे की ओर सहायक किरण $BX$ खींचते हैं, जो न्यून कोण बनाती है।
2. $BX$ पर परकार से 3 बराबर अंतराल लेकर $B_1$, $B_2$, $B_3$ अंकित करते हैं।
3. $B_3$ को $C$ से मिलाते हैं। $B_2$ से $B_3C$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BA$ को $A'$ पर काटती है।

इस तरह $A'BC'$ अभीष्ट त्रिभुज है।

औचित्य: पहली समांतर रेखा से $BC'/BC=BB_2/BB_3=2/3$ है और दूसरी से संगत कोण बराबर हैं। इसलिए $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है, भुजाओं का अनुपात $2:3$ है और क्षेत्रफलों का अनुपात $(2/3)^2=4/9$ है।

गलत निशान चुनने पर सुधार

किसी त्रिभुज को $2/3$ गुना करना था। छात्र ने $B_2C$ मिलाया और $B_3$ से समांतर खींचा। गलती सुधारकर सही रचना लिखिए।

हल:

छात्र ने जो किया, उससे $BC'/BC=BB_3/BB_2=3/2$ मिलेगा। यानी त्रिभुज छोटा होने की जगह बड़ा बन जाएगा।

सही रचना: $B$ से सहायक किरण पर तीन बराबर अंतराल लेते हैं। हर वाले निशान $B_3$ को $C$ से मिलाते हैं। अंश वाले निशान $B_2$ से $B_3C$ के समांतर रेखा खींचकर $BC$ पर $C'$ लेते हैं। फिर $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BA$ को $A'$ पर काटती है।

अब $BC'/BC=BB_2/BB_3=2/3$ है। इसलिए $A'BC'$ ही सही छोटा समरूप त्रिभुज है। याद रखने का आसान तरीका: हर वाला निशान $C$ से जुड़ता है और अंश वाले निशान से समांतर रेखा खिंचती है।