पिछले प्रश्नपत्रों की रचनाएँ और उनके हल

लिखित रचना-अभ्यास

ये रचनाएँ पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछी जा चुकी हैं। हर प्रश्न को पहले खुद रूलर और परकार से कागज़ पर बनाइए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। चित्र में बिंदुओं के नाम, सहायक चाप और ज़रूरी समांतर रेखाएँ दिखनी चाहिए। रचना के बाद उसका औचित्य भी लिखिए।

समबाहु त्रिभुज के अंदर स्पर्श करता वृत्त

5 सेमी भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के अंदर ऐसा वृत्त बनाइए जो उसकी तीनों भुजाओं को स्पर्श करे।

हल:

रचना के चरण:

1. $AB=5$ सेमी खींचते हैं। $A$ और $B$ को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या के चाप काटते हैं, जो $C$ पर मिलते हैं। $AC$ और $BC$ मिलाकर समबाहु त्रिभुज $ABC$ बनाते हैं।
2. $\angle A$ और $\angle B$ के समद्विभाजक बनाते हैं और उनके कटान बिंदु को $I$ कहते हैं।
3. $I$ से $AB$ पर लंब $ID$ खींचते हैं।
4. $I$ को केंद्र और $ID$ को त्रिज्या लेकर वृत्त खींचते हैं।

औचित्य: $I$ दोनों कोणों के समद्विभाजकों पर है, इसलिए तीनों भुजाओं से $I$ की लंब दूरियाँ बराबर हैं। तो $ID$ त्रिज्या वाला वृत्त तीनों भुजाओं को स्पर्श करता है। यही अभीष्ट वृत्त है।

दिए त्रिभुज का छोटा समरूप त्रिभुज

4, 5 और 6 सेमी भुजाओं का त्रिभुज बनाइए। फिर उसका समरूप त्रिभुज बनाइए जिसकी प्रत्येक भुजा मूल त्रिभुज की संगत भुजा की $2/3$ हो।

हल:

पहले दिया हुआ त्रिभुज बनाते हैं: $BC=6$ सेमी खींचते हैं। $B$ को केंद्र मानकर 5 सेमी और $C$ को केंद्र मानकर 4 सेमी त्रिज्या के चाप ऊपर की ओर काटते हैं, जो $A$ पर मिलते हैं। $AB$ और $AC$ मिलाते हैं।

समरूप त्रिभुज की रचना:

1. $B$ से $BC$ के नीचे की ओर एक सहायक किरण $BX$ खींचते हैं, जो न्यून कोण बनाती है।
2. $BX$ पर परकार से 3 बराबर अंतराल लेकर $B_1$, $B_2$, $B_3$ अंकित करते हैं।
3. $B_3$ को $C$ से मिलाते हैं। $B_2$ से $B_3C$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BC$ को $C'$ पर काटती है।
4. $C'$ से $CA$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $BA$ को $A'$ पर काटती है। अभीष्ट त्रिभुज $A'BC'$ है।

औचित्य: पहली समांतर रेखा से $BC'/BC=BB_2/BB_3=2/3$ मिलता है और दूसरी से संगत कोण बराबर हो जाते हैं। इसलिए $\triangle A'BC'\sim\triangle ABC$ है और सभी संगत भुजाओं का अनुपात $2:3$ है।

नापकर उत्तर जाँच लीजिए: नई भुजाएँ क्रमशः $8/3$, $10/3$ और 4 सेमी होनी चाहिए, यानी लगभग 2.7 सेमी, 3.3 सेमी और 4 सेमी।

रेखाखंड का अनुपात में विभाजन

7.6 सेमी लंबा रेखाखंड खींचकर उसे $5:8$ में विभाजित कीजिए। दोनों भागों को मापिए।

हल:

रचना के चरण:

1. $AB=7.6$ सेमी खींचते हैं। $A$ से एक किरण $AX$ खींचते हैं, जो $AB$ के साथ न्यून कोण बनाती है।
2. परकार का फैलाव एक-सा रखकर $AX$ पर $5+8=13$ बराबर अंतराल बनाते हैं और सिरों को $A_1, A_2, \ldots, A_{13}$ नाम देते हैं।
3. $A_{13}B$ मिलाते हैं। $A_5$ से $A_{13}B$ के समांतर रेखा खींचते हैं, जो $AB$ को $C$ पर काटती है।

औचित्य: समांतर रेखा के कारण,

$$\frac{AC}{CB}=\frac{AA_5}{A_5A_{13}}=\frac58$$

इसलिए $C$ ही सही विभाजन बिंदु है। अब दोनों भागों की लंबाई निकालकर नाप से मिलाते हैं:

$$AC=7.6\times\frac5{13}=\frac{38}{13}\approx2.92$$

$$CB=7.6\times\frac8{13}=\frac{304}{65}\approx4.68$$

तो दोनों भाग लगभग 2.92 सेमी और 4.68 सेमी हैं। रूलर पर ये लगभग 2.9 सेमी और 4.7 सेमी पढ़े जाएँगे, और दोनों का योग 7.6 सेमी होना चाहिए।