अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

1. निर्देशांक और दूरी

$P(x,y)$ में $x$ भुज है और $y$ कोटि। $x$-अक्ष पर $y=0$ और $y$-अक्ष पर $x=0$ होता है। चारों चतुर्थांशों में चिह्न क्रम से $(+,+)$, $(-,+)$, $(-,-)$ और $(+,-)$ होते हैं। अक्ष पर पड़ा बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं गिना जाता।

$$\boxed{OP=\sqrt{x^2+y^2}}$$

$$\boxed{x\text{-अक्ष से दूरी}=|y|,\quad y\text{-अक्ष से दूरी}=|x|}$$

$$\boxed{AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$$

दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती। जैसे $(-5,12)$ की $x$-अक्ष से दूरी 12, $y$-अक्ष से 5 और मूलबिंदु से 13 है। दो दूरियाँ बराबर रखनी हों तो उनके वर्ग बराबर रखिए, हिसाब आसान हो जाता है। $x^2=16$ से $x=\pm4$ आता है, और जब तक प्रश्न में कोई शर्त न हो, ऋणात्मक मान मत छोड़िए।

2. विभाजन और मध्यबिंदु

$A(x_1,y_1)$ और $B(x_2,y_2)$ के बीच $AP:PB=m:n$ हो तो,

$$\boxed{P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)}$$

$m$ को $B$ के और $n$ को $A$ के निर्देशांकों से गुणा कीजिए, और शुरू में ही अनुपात का क्रम लिख लीजिए। जाँच के लिए देखिए कि $AP/AB=m/(m+n)$ है और $P$ दोनों सिरों के बीच है।

$$\boxed{M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)}$$

मध्यबिंदु $M(h,k)$ और एक सिरा $(x_1,y_1)$ हो, तो दूसरा सिरा $(2h-x_1,2k-y_1)$ है। वृत्त का केंद्र व्यास का मध्यबिंदु होता है और त्रिज्या व्यास की आधी। त्रिभाजन में दो अनुपात $1:2$ और $2:1$ लगते हैं, इसलिए उत्तर में दोनों बिंदु लिखिए।

3. केंद्रक

$$\boxed{G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}$$

केंद्रक तीनों माध्यिकाओं का मिलन बिंदु है। माध्यिका $AD$ पर $AG:GD=2:1$ होता है, यानी $AG=2AD/3$ और $GD=AD/3$। दो शीर्षों का औसत मध्यबिंदु देता है और तीन शीर्षों का औसत केंद्रक।

4. क्षेत्रफल और संरेखता

$$\boxed{\Delta=\frac12\left|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\right|}$$

सूत्र में पदों का चक्रीय क्रम बनाए रखिए। अंदर का पूरा जोड़ निकालकर उसका निरपेक्ष मान लीजिए। हर पद का अलग-अलग निरपेक्ष मान लेने से उत्तर गलत हो जाएगा। जैसे अंदर $-18$ आए, तो क्षेत्रफल $|-18|/2=9$ वर्ग इकाई है।

तीन अलग-अलग बिंदु संरेख हों तो यह व्यंजक शून्य होता है, और उलटे, व्यंजक शून्य हो तो बिंदु संरेख होते हैं। अज्ञात निर्देशांक वाले प्रश्न में इसी शर्त से समीकरण बनाइए। आधार किसी अक्ष के समानांतर हो, तो सीधे $\frac12\times$ आधार $\times$ लंबवत ऊँचाई से भी क्षेत्रफल निकल आता है।

चतुर्भुज के शीर्ष सीमा के क्रम में लीजिए, अंदर का एक विकर्ण खींचिए और बने दोनों त्रिभुजों के क्षेत्रफल जोड़ दीजिए।

5. उत्तर लिखने से पहले आखिरी जाँच

समदूरस्थ बिंदु $x$-अक्ष पर हो तो उसे $(x,0)$ मानिए, और $y$-अक्ष पर हो तो $(0,y)$। अक्ष की कोई शर्त न हो, तो दोनों निर्देशांक अज्ञात रखिए। त्रिभुज का प्रकार बताना हो तो भुजाओं के वर्ग निकालिए: सबसे बड़ा वर्ग बाकी दो के योग के बराबर हो, तो त्रिभुज समकोण है। परिमाप में तीनों असली लंबाइयाँ जोड़िए, उनके वर्ग नहीं। अंत में दूरी के साथ इकाई और क्षेत्रफल के साथ वर्ग इकाई लिखना मत भूलिए।