निर्देशांक ज्यामिति: समझें और हल करें

निर्देशांक ज्यामिति: बिंदुओं से आकृति तक

निर्देशांक ज्यामिति में किसी आकृति की लंबाई, उसके बीच का कोई बिंदु और उसका क्षेत्रफल हम सिर्फ़ उसके बिंदुओं के निर्देशांकों से निकालते हैं। चित्र से अंदाज़ा मिलता है, पर पक्का उत्तर सूत्र से आता है। इसलिए पढ़ते समय कॉपी पर बिंदु बनाते चलिए।

मान लीजिए किसी नक्शे पर आपके विद्यालय का स्थान $A(1,2)$ और पुस्तकालय का स्थान $B(4,6)$ है। विद्यालय से पुस्तकालय तक एक दिशा में 3 इकाई और दूसरी दिशा में 4 इकाई का अंतर है। पर दोनों के बीच की सीधी दूरी $3+4=7$ इकाई नहीं है। 3 और 4 एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ हैं, इसलिए सीधी दूरी उसका कर्ण, यानी 5 इकाई है। दूरी का सूत्र इसी बात से बनता है।

कोई भी प्रश्न पढ़कर पहले यह तय कीजिए कि निकालना क्या है। लंबाई चाहिए तो दूरी सूत्र, बीच का कोई बिंदु चाहिए तो विभाजन या मध्यबिंदु सूत्र, और घिरा हुआ क्षेत्र चाहिए तो क्षेत्रफल का सूत्र।

1. भुज, कोटि और अक्षों से दूरी

बिंदु $P(x,y)$ में पहली संख्या $x$ उसका भुज और दूसरी संख्या $y$ उसकी कोटि है। मूलबिंदु से दाईं ओर $x$ धनात्मक, बाईं ओर ऋणात्मक होता है। ऊपर की ओर $y$ धनात्मक, नीचे की ओर ऋणात्मक होता है। तो $(-3,2)$ पर पहुँचने के लिए मूलबिंदु से तीन इकाई बाएँ और फिर दो इकाई ऊपर जाइए। $(2,-3)$ बिल्कुल अलग बिंदु है, इसलिए निर्देशांकों का क्रम कभी मत बदलिए।

$x$-अक्ष पर हर बिंदु की कोटि शून्य होती है, इसलिए उसे $(x,0)$ लिखते हैं। $y$-अक्ष पर भुज शून्य होता है, इसलिए रूप $(0,y)$ है। अक्षों पर पड़े बिंदु किसी चतुर्थांश में नहीं गिने जाते। मूलबिंदु $(0,0)$ दोनों अक्षों पर है।

किसी अक्ष से दूरी का मतलब है उस अक्ष तक की लंबवत दूरी। इसलिए,

$$x\text{-अक्ष से दूरी}=|y|,\qquad y\text{-अक्ष से दूरी}=|x|$$

जैसे $P(-3,-5)$ की कोटि $-5$ है, पर $x$-अक्ष से उसकी दूरी 5 इकाई है। निर्देशांक ऋणात्मक हो सकता है, दूरी कभी ऋणात्मक नहीं होती।

2. दूरी सूत्र कहाँ से आता है

दो बिंदु $A(x_1,y_1)$ और $B(x_2,y_2)$ लीजिए। सरल स्थिति $x_2\gt x_1$ और $y_2\gt y_1$ लेते हैं। अब एक तीसरा बिंदु $C(x_2,y_1)$ बनाइए। $AC$ क्षैतिज है और $BC$ ऊर्ध्वाधर, इसलिए $\angle ACB=90^\circ$ है।

$$AC=x_2-x_1,\qquad BC=y_2-y_1$$

अब पाइथागोरस प्रमेय लगाइए:

$$AB^2=AC^2+BC^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$$

$$\boxed{AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}$$

बिंदु किसी और चतुर्थांश में हों तो अंतर ऋणात्मक आ सकता है, पर वर्ग करने पर वही संख्या मिलती है। इसलिए यह सूत्र हर चतुर्थांश में काम करता है, और $A$, $B$ का क्रम बदलने से भी दूरी नहीं बदलती।

चित्र में $A(-2,1)$ और $B(4,9)$ हैं। क्षैतिज अंतर 6, ऊर्ध्वाधर अंतर 8 और सीधी दूरी 10 है। एक आम गलती से बचिए: दूरी का वर्ग 100 आए, तो उत्तर 100 नहीं, $\sqrt{100}=10$ लिखिए।

3. दूरी के कुछ खास रूप और त्रिभुज की पहचान

मूलबिंदु $O(0,0)$ से किसी बिंदु $P(x,y)$ की दूरी है:

$$\boxed{OP=\sqrt{x^2+y^2}}$$

अगर दोनों बिंदुओं की कोटि बराबर हो, तो रेखाखंड क्षैतिज होता है और दूरी सीधे $|x_2-x_1|$ होती है। भुज बराबर हो, तो रेखाखंड ऊर्ध्वाधर होता है और दूरी $|y_2-y_1|$ होती है। जैसे $(2,-4)$ और $(2,7)$ के बीच दूरी $|7-(-4)|=11$ इकाई है।

त्रिभुज का प्रकार पूछा जाए, तो पहले तीनों भुजाओं के वर्ग $AB^2$, $BC^2$ और $CA^2$ निकालिए। दो वर्ग बराबर हों तो त्रिभुज समद्विबाहु है, तीनों बराबर हों तो समबाहु। अगर सबसे बड़ा वर्ग बाकी दोनों के योग के बराबर हो, तो पाइथागोरस के विलोम से त्रिभुज समकोण है।

मान लीजिए वर्ग 9, 16 और 25 आए। $9+16=25$ है, इसलिए त्रिभुज समकोण है। अगर परिमाप पूछा हो, तो पहले भुजाएँ 3, 4 और 5 निकालिए, फिर इन्हें जोड़िए। वर्गों का योग परिमाप नहीं होता। चित्र से अंदाज़ा लग जाता है कि समकोण किस शीर्ष पर है, पर सिद्ध गणना से ही होता है।

4. अज्ञात निर्देशांक और बराबर दूरी

दूरी दी हो, तो अज्ञात निर्देशांक को अक्षर के रूप में ही सूत्र में रखिए। जैसे $P(x,4)$ की मूलबिंदु से दूरी 5 है:

$$\sqrt{x^2+16}=5\Rightarrow x^2+16=25\Rightarrow x^2=9$$

तो $x=3$ और $x=-3$ दोनों सही हैं, क्योंकि $(3,4)$ और $(-3,4)$ दोनों मूलबिंदु से 5 इकाई दूर हैं। कोई मान तभी छोड़िए जब प्रश्न में कोई शर्त हो, जैसे बिंदु किसी खास चतुर्थांश में है।

समदूरस्थ का मतलब है दो बिंदुओं से बराबर दूरी पर। अगर $PA=PB$ हो, तो सीधे $PA^2=PB^2$ लिखिए, इससे वर्गमूल हट जाता है। दोनों ओर आए $x^2$ या $y^2$ अक्सर कट जाते हैं और एक सरल रैखिक समीकरण बचता है।

अगर बिंदु किसी अक्ष पर ढूँढना हो, तो शुरू में ही शून्य वाला निर्देशांक लिख दीजिए: $x$-अक्ष के लिए $P(x,0)$ और $y$-अक्ष के लिए $P(0,y)$। अक्ष की बात न हो, तो अपनी ओर से कोई निर्देशांक शून्य मत मानिए। ऐसे प्रश्न में उत्तर $x$ और $y$ के बीच एक संबंध के रूप में आता है। उत्तर मिलने पर दोनों दूरियों के वर्ग निकालकर बराबरी देख लीजिए।

5. आंतरिक विभाजन का अर्थ और सूत्र

मान लीजिए बिंदु $P$, $A$ और $B$ के बीच में है और $AP:PB=m:n$ है। यानी पूरे $AB$ में $m+n$ बराबर हिस्से हैं, $m$ हिस्से $AP$ में और $n$ हिस्से $PB$ में। इसलिए,

$$\frac{AP}{AB}=\frac{m}{m+n}$$

चित्र में बने छोटे और बड़े समकोण त्रिभुज समरूप हैं। इसलिए $A$ से $P$ तक का क्षैतिज बदलाव भी $A$ से $B$ तक के पूरे क्षैतिज बदलाव का $m/(m+n)$ भाग होगा:

$$x-x_1=\frac{m}{m+n}(x_2-x_1)$$

$$(m+n)x=(m+n)x_1+mx_2-mx_1$$

$$(m+n)x=nx_1+mx_2$$

इसी तरह ऊर्ध्वाधर बदलाव से $y=(my_2+ny_1)/(m+n)$ मिलता है। तो,

$$\boxed{P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)}$$

यहाँ $m$ और $n$ धनात्मक हैं। चित्र में $A(-2,3)$, $B(8,-2)$ और $AP:PB=2:3$ है, जिससे $P(2,1)$ मिलता है। ध्यान दीजिए, $P$ ने पूरे रास्ते का $2/5$ भाग तय किया है। अनुपात $2:3$ देखकर इसे पूरी दूरी का $2/3$ भाग समझ लेना गलत होगा।

6. अनुपात का सही क्रम और उसकी जाँच

सूत्र लगाने से पहले साफ़ लिख लीजिए: $AP:PB=m:n$। फिर $m$ को दूसरे सिरे $B$ के निर्देशांकों से और $n$ को पहले सिरे $A$ के निर्देशांकों से गुणा कीजिए। अगर अनुपात उलटे क्रम में दिया हो, तो सूत्र में रखने से पहले उसे $AP:PB$ के क्रम में बदल लीजिए।

जैसे $A(0,0)$ और $B(10,5)$ को $1:4$ में बाँटने वाला बिंदु $(2,1)$ है। $AP$ छोटा हिस्सा है, इसलिए बिंदु $A$ के पास होना चाहिए, और $(2,1)$ सच में $A$ के पास है। क्रम उलटने पर $(8,4)$ आता, जो $B$ के पास है। उत्तर लिखने से पहले एक बार सोच लीजिए कि बिंदु किस सिरे के पास होना चाहिए, गलती तुरंत पकड़ में आ जाएगी।

अगर बिंदु दिया हो और अनुपात पूछा हो, तो $AP:PB=k:1$ मान लीजिए। जो निर्देशांक बदल रहा हो, उससे समीकरण बनाकर $k$ निकालिए और दूसरे निर्देशांक से जाँच लीजिए। अगर दूसरा निर्देशांक मेल न खाए, तो दिया गया बिंदु उस रेखाखंड पर है ही नहीं।

विभाजन बिंदु $x$-अक्ष पर हो तो उसकी कोटि शून्य रखिए, और $y$-अक्ष पर हो तो उसका भुज शून्य। अज्ञात अनुपात या अज्ञात निर्देशांक निकालने में यह शर्त बहुत काम आती है।

7. मध्यबिंदु, दूसरा सिरा और वृत्त का केंद्र

मध्यबिंदु पर दोनों हिस्से बराबर होते हैं, यानी $m:n=1:1$। इसे विभाजन सूत्र में रखने पर,

$$\boxed{M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)}$$

मतलब दोनों भुजों का औसत अलग और दोनों कोटियों का औसत अलग निकालिए। जैसे $(-4,6)$ और $(8,-2)$ का मध्यबिंदु $(2,2)$ है।

अगर मध्यबिंदु $M(h,k)$ और एक सिरा $A(x_1,y_1)$ दिया हो, तो दूसरा सिरा ऐसे निकलता है:

$$\frac{x_1+x_2}{2}=h\Rightarrow x_2=2h-x_1$$

$$\frac{y_1+y_2}{2}=k\Rightarrow y_2=2k-y_1$$

याद रखने के लिए: दूसरा सिरा = मध्यबिंदु का दोगुना − पहला सिरा। परीक्षा में दोनों समीकरण लिखकर दिखाइए, हल के चरण साफ़ दिखते हैं।

वृत्त का व्यास केंद्र से होकर जाता है और केंद्र उसे दो बराबर भागों में बाँटता है। इसलिए केंद्र मध्यबिंदु सूत्र से, व्यास दूरी सूत्र से और त्रिज्या व्यास की आधी लेकर मिलती है। केंद्र एक बिंदु है और त्रिज्या एक लंबाई, उत्तर में दोनों को अलग लिखिए।

8. त्रिभाजन और केंद्रक

मान लीजिए $P$ और $Q$ रेखाखंड $AB$ को तीन बराबर भागों में बाँटते हैं, क्रम $A$, $P$, $Q$, $B$ है। तब $AP=PQ=QB$। पर विभाजन सूत्र में हर बिंदु के दोनों ओर के पूरे हिस्सों की तुलना होती है:

$$AP:PB=1:2,\qquad AQ:QB=2:1$$

इसलिए विभाजन सूत्र दो बार लगाइए। जैसे $(1,2)$ और $(10,8)$ के त्रिभाजन बिंदु $(4,4)$ और $(7,6)$ हैं। इन बिंदुओं को मध्यबिंदु सूत्र से निकालने की गलती मत कीजिए।

त्रिभुज की माध्यिका शीर्ष को सामने की भुजा के मध्यबिंदु से मिलाती है। तीनों माध्यिकाएँ केंद्रक $G$ पर मिलती हैं। केंद्रक हर माध्यिका को शीर्ष की ओर से $2:1$ में बाँटता है।

$D$ भुजा $BC$ का मध्यबिंदु है, इसलिए $D=((x_2+x_3)/2,(y_2+y_3)/2)$। अब $AG:GD=2:1$ से विभाजन सूत्र लगाइए:

$$x_G=\frac{2\left(\frac{x_2+x_3}{2}\right)+x_1}{3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}$$

इसी तरह $y_G=(y_1+y_2+y_3)/3$ आता है। तो,

$$\boxed{G=\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}$$

यानी तीनों शीर्षों का औसत, इसलिए यहाँ 3 से भाग देते हैं। चित्र में $A(0,6)$, $B(-3,0)$ और $C(6,0)$ से $G(1,2)$ मिलता है।

9. त्रिभुज का क्षेत्रफल

अगर त्रिभुज के तीन शीर्ष $A(x_1,y_1)$, $B(x_2,y_2)$ और $C(x_3,y_3)$ हों, तो,

$$\boxed{\Delta=\frac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|}$$

यह सूत्र भी असल में $\frac12\times$ आधार $\times$ ऊँचाई से ही निकलता है। मान लीजिए तीनों शीर्ष $x$-अक्ष के ऊपर हैं और $x_1\lt x_2\lt x_3$ है। हर शीर्ष से $x$-अक्ष पर लंब डालिए। $AC$ के नीचे के बड़े समलंब में से $AB$ और $BC$ के नीचे के दो छोटे समलंब हटाने पर त्रिभुज बचता है (आकृति के हिसाब से अंतर उलटा भी आ सकता है)। इसलिए अंतर का निरपेक्ष मान लेते हैं:

$$\frac12\left|(y_1+y_3)(x_3-x_1)-(y_1+y_2)(x_2-x_1)-(y_2+y_3)(x_3-x_2)\right|$$

कोष्ठक खोलकर समान पद काटने पर ऊपर वाला सूत्र मिल जाता है। अक्षों को खिसकाने से क्षेत्रफल नहीं बदलता, इसलिए यह सूत्र किसी भी चतुर्थांश के बिंदुओं पर लागू होता है।

हिसाब लगाते समय पदों का क्रम मत बिगाड़िए: पहला पद $x_1(y_2-y_3)$, दूसरा $x_2(y_3-y_1)$ और तीसरा $x_3(y_1-y_2)$। चित्र वाले त्रिभुज के लिए $\Delta=\frac12|-4+25-2|=19/2$ वर्ग इकाई आता है।

निरपेक्ष मान पूरे जोड़ का लिया जाता है, हर पद का अलग-अलग नहीं। $|-4|+|25|+|-2|$ लेना गलत है। अंदर का जोड़ ऋणात्मक आए तो उसका धनात्मक मान लीजिए, क्योंकि क्षेत्रफल ऋणात्मक नहीं होता। लंबाई सेमी में हो तो क्षेत्रफल वर्ग सेमी में होगा, कोई इकाई न दी हो तो वर्ग इकाई लिखिए।

10. संरेखता और अज्ञात शीर्ष

तीन अलग-अलग बिंदु एक सीधी रेखा पर हों, तो उनसे कोई त्रिभुज नहीं बनता और क्षेत्रफल शून्य होता है। इसलिए संरेखता की शर्त है:

$$x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)=0$$

यहाँ $1/2$ और निरपेक्ष मान की ज़रूरत नहीं, सीधे अंदर का व्यंजक शून्य रखिए। कोई निर्देशांक अज्ञात हो, तो यही शर्त उसका समीकरण देती है।

जैसे $(1,2)$, $(3,k)$ और $(5,6)$ संरेख हों, तो,

$$1(k-6)+3(6-2)+5(2-k)=0$$

$$16-4k=0\Rightarrow k=4$$

अगर क्षेत्रफल 6 दिया हो और अंदर का व्यंजक $2k-4$ आए, तो $|2k-4|/2=6$ से दो समीकरण बनते हैं: $2k-4=12$ और $2k-4=-12$। यानी $k=8$ या $k=-4$। क्षेत्रफल धनात्मक है, पर इससे अज्ञात निर्देशांक धनात्मक नहीं हो जाता। दोनों बिंदु आधार रेखा के अलग-अलग ओर हो सकते हैं, इसलिए दोनों मान रखिए।

चित्र में बिंदु एक सीध में दिख जाएँ, इतना काफ़ी नहीं है। परीक्षा में क्षेत्रफल शून्य निकालकर ही निष्कर्ष लिखिए।

11. चतुर्भुज का क्षेत्रफल और उत्तर की जाँच

चतुर्भुज के शीर्ष उसी क्रम में लीजिए जिस क्रम में वे उसकी सीमा पर आते हैं। साधारण उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ में अंदर का विकर्ण $AC$ खींचिए, तो दो त्रिभुज बन जाते हैं:

$$\operatorname{ar}(ABCD)=\operatorname{ar}(ABC)+\operatorname{ar}(ACD)$$

दोनों त्रिभुजों का क्षेत्रफल अलग निकालकर जोड़ दीजिए। शीर्षों को बेतरतीब क्रम में जोड़ने पर भुजाएँ एक-दूसरे को काट सकती हैं और दूसरी ही आकृति बन जाती है, इसलिए पहले कच्चा चित्र बना लीजिए।

उत्तर लिखते समय यह क्रम रखिए: दिए गए निर्देशांक → सूत्र या बराबरी की शर्त → मान रखकर गणना → इकाई सहित निष्कर्ष। तीन बातें खास याद रखिए। बराबर दूरियों में उनके वर्ग बराबर रखिए। मध्यबिंदु में 2 से और केंद्रक में 3 से भाग दीजिए। क्षेत्रफल में पूरे जोड़ का निरपेक्ष मान लीजिए।

आगे बढ़ने से पहले कॉपी पर तीन छोटे सवाल खुद कीजिए: $(3,4)$ की मूलबिंदु से दूरी 5, $(0,0)$ और $(6,4)$ का मध्यबिंदु $(3,2)$, और $(0,0)$, $(6,0)$, $(0,4)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई आना चाहिए। कहीं अटक जाएँ, तो उसी सूत्र वाला भाग फिर से पढ़िए और प्रश्न बिना देखे दोबारा हल कीजिए।

अक्षों से दूरी

बिंदु $P(-7,4)$ की दोनों अक्षों तथा मूलबिंदु से दूरी निकालिए।

हल:

यहाँ $x=-7$ और $y=4$ है।

$x$-अक्ष से दूरी $=|y|=4$ इकाई।

$y$-अक्ष से दूरी $=|x|=|-7|=7$ इकाई।

मूलबिंदु से दूरी,

$$OP=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{49+16}=\sqrt{65}$$

इसलिए $x$-अक्ष से 4 इकाई, $y$-अक्ष से 7 इकाई और मूलबिंदु से $\sqrt{65}$ इकाई दूरी है। $x$ ऋणात्मक था, फिर भी दूरी धनात्मक आई।

दो बिंदुओं के बीच दूरी

$A(-2,1)$ और $B(4,9)$ की दूरी ज्ञात कीजिए।

हल:

दूरी सूत्र लगाते हैं:

$$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$$

$$=\sqrt{(4+2)^2+(9-1)^2}=\sqrt{36+64}=10$$

तो $AB=10$ इकाई है। ऋणात्मक निर्देशांक घटाते समय चिह्न का ध्यान रखिए: $4-(-2)=6$ होता है।

त्रिभुज का प्रकार

$A(1,1),B(5,1),C(1,4)$ से बने त्रिभुज का प्रकार बताइए।

हल:

पहले तीनों भुजाओं के वर्ग निकालते हैं।

$$AB^2=(5-1)^2+(1-1)^2=16$$

$$AC^2=(1-1)^2+(4-1)^2=9$$

$$BC^2=(1-5)^2+(4-1)^2=25$$

अब देखिए, $AB^2+AC^2=16+9=25=BC^2$ है। पाइथागोरस के विलोम से त्रिभुज $A$ पर समकोण है। इसकी भुजाएँ 4, 3 और 5 हैं, जो तीनों अलग-अलग हैं, इसलिए यह विषमबाहु भी है।

अज्ञात निर्देशांक के दो मान

$P(x,2)$ की $A(3,6)$ से दूरी 5 इकाई है। $x$ ज्ञात कीजिए।

हल:

दूरी सूत्र में मान रखते हैं:

$$\sqrt{(x-3)^2+(2-6)^2}=5$$

अब दोनों ओर वर्ग कीजिए:

$$(x-3)^2+16=25\Rightarrow(x-3)^2=9$$

$$x-3=\pm3\Rightarrow x=6\text{ अथवा }0$$

दोनों मानों पर दूरी $\sqrt{9+16}=5$ ही आती है। इसलिए $x=0$ या $x=6$।

अक्ष पर समदूरस्थ बिंदु

$x$-अक्ष पर वह बिंदु निकालिए जो $A(2,3)$ और $B(6,5)$ से समदूरस्थ हो।

हल:

$x$-अक्ष पर कोटि शून्य होती है, इसलिए बिंदु $P(x,0)$ मान लेते हैं। $PA=PB$ है, तो $PA^2=PB^2$ लिखिए:

$$(x-2)^2+9=(x-6)^2+25$$

$$x^2-4x+13=x^2-12x+61$$

$$8x=48\Rightarrow x=6$$

तो बिंदु $(6,0)$ है। जाँच कर लेते हैं: $PA=\sqrt{16+9}=5$ और $PB=\sqrt{0+25}=5$, दोनों बराबर हैं।

आंतरिक विभाजन

$A(-2,3)$ और $B(8,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को $AP:PB=2:3$ में बाँटने वाला बिंदु निकालिए।

हल:

विभाजन सूत्र है:

$$P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$$

यहाँ $m=2$ और $n=3$ है।

$$x=\frac{2(8)+3(-2)}5=2$$

$$y=\frac{2(-2)+3(3)}5=1$$

इसलिए $P(2,1)$ है। यह बिंदु दोनों सिरों के बीच है और $A$ से चलकर पूरे रास्ते का $2/5$ भाग तय करता है।

अनुपात ज्ञात करना

$P(1,2)$, $A(-3,4)$ और $B(9,-2)$ को मिलाने वाले रेखाखंड पर है। $AP:PB$ निकालिए।

हल:

मान लीजिए $AP:PB=k:1$ है। विभाजन सूत्र के $x$-निर्देशांक से,

$$1=\frac{9k-3}{k+1}$$

$$k+1=9k-3\Rightarrow8k=4\Rightarrow k=\frac12$$

यानी अनुपात $k:1=1:2$ है। अब $y$-निर्देशांक से जाँच लेते हैं: $[1(-2)+2(4)]/3=2$, जो $P$ की कोटि ही है। इसलिए $AP:PB=1:2$।

मध्यबिंदु से दूसरा सिरा

$AB$ का मध्यबिंदु $M(2,-1)$ है। $A(-4,3)$ हो तो $B$ निकालिए।

हल:

मान लीजिए $B(x,y)$ है। मध्यबिंदु सूत्र से,

$$\frac{-4+x}{2}=2\Rightarrow x=8$$

$$\frac{3+y}{2}=-1\Rightarrow y=-5$$

इसलिए $B(8,-5)$ है। $A$ और $B$ का मध्यबिंदु निकालें तो फिर से $(2,-1)$ आता है।

वृत्त का केंद्र और त्रिज्या

व्यास के सिरे $A(-2,1)$ और $B(6,7)$ हैं। केंद्र और त्रिज्या निकालिए।

हल:

वृत्त का केंद्र व्यास का मध्यबिंदु होता है।

$$O=\left(\frac{-2+6}{2},\frac{1+7}{2}\right)=(2,4)$$

व्यास की लंबाई दूरी सूत्र से:

$$AB=\sqrt{(6+2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{100}=10$$

त्रिज्या $=AB/2=5$ इकाई। इस तरह केंद्र $(2,4)$ और त्रिज्या 5 इकाई है।

त्रिभाजन के दोनों बिंदु

$A(1,2)$ तथा $B(10,8)$ के बीच रेखाखंड को तीन बराबर भागों में बाँटिए।

हल:

बिंदुओं का क्रम $A$, $P$, $Q$, $B$ मान लेते हैं। तब $AP:PB=1:2$ और $AQ:QB=2:1$ होगा।

$$P=\left(\frac{10+2(1)}3,\frac{8+2(2)}3\right)=(4,4)$$

$$Q=\left(\frac{2(10)+1}3,\frac{2(8)+2}3\right)=(7,6)$$

इसलिए त्रिभाजन बिंदु $(4,4)$ और $(7,6)$ हैं। देखिए, हर कदम पर निर्देशांक $(3,2)$ बढ़ते हैं, यानी तीनों भाग सच में बराबर हैं।

केंद्रक और माध्यिका

$A(0,6),B(-3,0),C(6,0)$ का केंद्रक निकालिए।

हल:

केंद्रक के निर्देशांक तीनों शीर्षों के निर्देशांकों का औसत होते हैं।

$$G=\left(\frac{0-3+6}{3},\frac{6+0+0}{3}\right)=(1,2)$$

इसे माध्यिका से भी जाँच सकते हैं। $BC$ का मध्यबिंदु $D=(3/2,0)$ है। अब $AD$ को $2:1$ में बाँटिए:

$$\left(\frac{2(3/2)+0}{3},\frac{2(0)+6}{3}\right)=(1,2)$$

वही बिंदु मिला। इसलिए केंद्रक $(1,2)$ है और $AG:GD=2:1$।

त्रिभुज का क्षेत्रफल

$A(1,1),B(5,2),C(2,6)$ का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

शीर्षों को $A$, $B$, $C$ के क्रम में सूत्र में रखते हैं।

$$\Delta=\frac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$$

$$=\frac12|1(2-6)+5(6-1)+2(1-2)|$$

$$=\frac12|-4+25-2|=\frac{19}{2}$$

तो क्षेत्रफल $19/2$ वर्ग इकाई है।

संरेखता से अज्ञात मान

$A(1,2),B(3,k),C(5,6)$ संरेख हैं। $k$ निकालिए।

हल:

संरेख बिंदुओं से त्रिभुज नहीं बनता, यानी उनका क्षेत्रफल शून्य होता है। इसलिए,

$$1(k-6)+3(6-2)+5(2-k)=0$$

$$k-6+12+10-5k=0$$

$$16-4k=0\Rightarrow k=4$$

तो $k=4$ है। अब $B(3,4)$ ठीक $A$ और $C$ का मध्यबिंदु निकलता है, जिससे उत्तर की जाँच भी हो जाती है।

चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटना

क्रम से दिए शीर्ष $A(0,0),B(6,0),C(4,4),D(0,3)$ के चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

विकर्ण $AC$ खींचिए। इससे दो त्रिभुज $ABC$ और $ACD$ बनते हैं।

$ABC$ में आधार $AB=6$ ($x$-अक्ष पर) और $C$ की ऊँचाई 4 है।

$$\operatorname{ar}(ABC)=\frac12\times6\times4=12$$

$ACD$ में आधार $AD=3$ ($y$-अक्ष पर) और $C$ की $y$-अक्ष से दूरी 4 है।

$$\operatorname{ar}(ACD)=\frac12\times3\times4=6$$

$$\operatorname{ar}(ABCD)=12+6=18$$

इसलिए चतुर्भुज का क्षेत्रफल 18 वर्ग इकाई है।