पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। निर्देशांकों का क्रम और ऋण चिह्न ध्यान से लिखिए। पहले सूत्र लिखिए, फिर मान रखिए, और जहाँ दो मान मिलें वहाँ दोनों को मूल शर्त में रखकर जाँचिए।

दूसरे सिरे के निर्देशांक

$AB$ का मध्यबिंदु $(2,4)$ और $A(5,7)$ है। $B$ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए $B(x,y)$ है। मध्यबिंदु सूत्र से,

$$\frac{5+x}{2}=2,\qquad\frac{7+y}{2}=4$$

$$5+x=4\Rightarrow x=-1$$

$$7+y=8\Rightarrow y=1$$

इसलिए $B(-1,1)$ है।

मूलबिंदु से दी गई दूरी

$P(\lambda,4)$ की मूलबिंदु से दूरी 5 इकाई है। $\lambda$ निकालिए।

हल:

दूरी सूत्र से,

$$\sqrt{\lambda^2+4^2}=5$$

$$\lambda^2+16=25\Rightarrow\lambda^2=9$$

$$\lambda=\pm3$$

तो $\lambda=3$ या $\lambda=-3$। दोनों मानों पर दूरी 5 इकाई ही आती है, इसलिए दोनों सही हैं।

समदूरस्थ बिंदु के निर्देशांकों में संबंध

$P(x,y)$, $A(3,6)$ और $B(-3,4)$ से समदूरस्थ है। $x,y$ में संबंध स्थापित कीजिए।

हल:

दिया है कि $PA=PB$। दोनों ओर वर्ग करने पर,

$$(x-3)^2+(y-6)^2=(x+3)^2+(y-4)^2$$

अब दोनों ओर को अलग-अलग खोलते हैं:

$$PA^2=x^2+y^2-6x-12y+45$$

$$PB^2=x^2+y^2+6x-8y+25$$

दोनों में $x^2+y^2$ एक जैसा है। उसे हटाकर बराबर रखने पर,

$$-12x-4y+20=0$$

पूरे समीकरण को $-4$ से भाग दीजिए, तो $3x+y=5$ मिलता है। यहाँ बिंदु के किसी अक्ष पर होने की शर्त नहीं है, इसलिए उत्तर एक संबंध के रूप में आता है।

ऋणात्मक निर्देशांकों वाला क्षेत्रफल

शीर्ष $(0,4),(3,6),(-8,-2)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

त्रिभुज के क्षेत्रफल का सूत्र है:

$$\Delta=\frac12|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$$

$$=\frac12|0(6+2)+3(-2-4)+(-8)(4-6)|$$

$$=\frac12|0-18+16|=\frac12|-2|=1$$

तो क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई है। अंदर का जोड़ $-2$ आया था, इसलिए उसका निरपेक्ष मान लिया गया।

दूरी से अज्ञात भुज

$P(x,4)$ तथा $Q(9,10)$ के बीच दूरी 10 इकाई है। $x$ निकालिए।

हल:

दूरी सूत्र से,

$$\sqrt{(x-9)^2+(4-10)^2}=10$$

$$(x-9)^2+36=100\Rightarrow(x-9)^2=64$$

$$x-9=\pm8$$

तो $x=9+8=17$ या $x=9-8=1$। इसलिए $x=17$ अथवा $x=1$। दोनों मानों पर दूरी $\sqrt{64+36}=10$ ही आती है।

दिए बिंदु से विभाजन अनुपात

$P(-1,6)$, $A(-3,10)$ और $B(6,-8)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को किस अनुपात में बाँटता है?

हल:

मान लीजिए $AP:PB=k:1$ है। भुज के लिए विभाजन सूत्र से,

$$-1=\frac{6k-3}{k+1}$$

$$-k-1=6k-3\Rightarrow7k=2\Rightarrow k=\frac27$$

यानी अनुपात $k:1=2:7$ है। अब कोटि से जाँच लेते हैं:

$$\frac{2(-8)+7(10)}{2+7}=\frac{54}{9}=6$$

यह $P$ की कोटि ही है। इसलिए $AP:PB=2:7$, और $P$ रेखाखंड को अंदर से बाँटता है।

संरेख बिंदुओं से कोटि

किस $k$ के लिए $(1,1),(3,k),(-1,4)$ संरेख होंगे?

हल:

संरेख बिंदुओं के लिए क्षेत्रफल वाले सूत्र का अंदर का व्यंजक शून्य होता है।

$$1(k-4)+3(4-1)+(-1)(1-k)=0$$

$$k-4+9-1+k=0$$

$$2k+4=0\Rightarrow k=-2$$

इसलिए $k=-2$ है।

समदूरस्थ बिंदु जो अक्ष पर हो

$y$-अक्ष पर वह बिंदु निकालिए जो $(6,5)$ और $(-4,3)$ से समदूरस्थ हो।

हल:

$y$-अक्ष पर भुज शून्य होता है, इसलिए बिंदु $P(0,y)$ मान लेते हैं। दोनों दूरियों के वर्ग बराबर रखने पर,

$$36+(y-5)^2=16+(y-3)^2$$

$$36+y^2-10y+25=16+y^2-6y+9$$

$$61-10y=25-6y\Rightarrow36=4y\Rightarrow y=9$$

तो बिंदु $(0,9)$ है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: दोनों दूरियों के वर्ग $36+16=52$ और $16+36=52$ हैं, यानी बराबर।

विभाजन सूत्र से बिंदु

$A(-1,7),B(4,-3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड को अंदर से $2:3$ में बाँटने वाला बिंदु निकालिए।

हल:

विभाजन सूत्र है:

$$P=\left(\frac{mx_2+nx_1}{m+n},\frac{my_2+ny_1}{m+n}\right)$$

यहाँ $m=2$ और $n=3$ है।

$$x=\frac{2(4)+3(-1)}5=1$$

$$y=\frac{2(-3)+3(7)}5=3$$

इसलिए बिंदु $(1,3)$ है।

तीन बिंदुओं की संरेखता सिद्ध करना

सिद्ध कीजिए कि $(1,1),(-2,7),(3,-3)$ संरेख हैं।

हल:

इन तीनों बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते हैं।

$$\Delta=\frac12|1(7+3)+(-2)(-3-1)+3(1-7)|$$

$$=\frac12|10+8-18|=0$$

तीनों बिंदु अलग-अलग हैं और उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य है। इसलिए दिए गए बिंदु संरेख हैं।

तीन शीर्षों से क्षेत्रफल

शीर्ष $(-5,6),(3,0),(9,8)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालिए।

हल:

क्षेत्रफल के सूत्र में मान रखते हैं:

$$\Delta=\frac12|(-5)(0-8)+3(8-6)+9(6-0)|$$

$$=\frac12|40+6+54|=\frac{100}{2}=50$$

तो क्षेत्रफल 50 वर्ग इकाई है।

चार शीर्षों से चतुर्भुज का क्षेत्रफल

क्रम से शीर्ष $A(-4,8),B(-3,-4),C(0,-5),D(5,6)$ हैं। चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल:

विकर्ण $AC$ खींचकर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँट लेते हैं।

पहले त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल निकालिए:

$$\operatorname{ar}(ABC)=\frac12|(-4)(-4+5)+(-3)(-5-8)+0(8+4)|$$

$$=\frac12|-4+39|=\frac{35}{2}$$

इसी तरह त्रिभुज $ACD$ का क्षेत्रफल:

$$\operatorname{ar}(ACD)=\frac12|(-4)(-5-6)+0(6-8)+5(8+5)|$$

$$=\frac12|44+65|=\frac{109}{2}$$

अब दोनों को जोड़ दीजिए:

$$\operatorname{ar}(ABCD)=\frac{35}{2}+\frac{109}{2}=72$$

इसलिए चतुर्भुज का क्षेत्रफल 72 वर्ग इकाई है।