अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

1. कोण और भुजाओं की पहचान

समकोण के सामने कर्ण होता है। जिस न्यून कोण की बात हो, उसके सामने वाली भुजा सम्मुख है और उससे लगी दूसरी भुजा संलग्न। कोण बदलते ही सम्मुख और संलग्न बदल जाते हैं, पर कर्ण वही रहता है। नीचे $p$ सम्मुख, $b$ संलग्न और $h$ कर्ण है।

$$\sin A=\frac ph$$

$$\cos A=\frac bh$$

$$\tan A=\frac pb$$

$$\operatorname{cosec} A=\frac hp$$

$$\sec A=\frac hb$$

$$\cot A=\frac bp$$

कोई अनुपात दिया हो, तो भुजाएँ $pk$, $bk$, $hk$ मान लीजिए और तीसरी भुजा पाइथागोरस से निकालिए। अनुपातों की कोई इकाई नहीं होती।

2. व्युत्क्रम और भागफल

$$\operatorname{cosec} A=\frac1{\sin A}$$

$$\sec A=\frac1{\cos A}$$

$$\cot A=\frac1{\tan A}$$

$$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$$

$$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$$

ये संबंध वहीं लगाइए जहाँ हर शून्य न हो। $\sin^2A$ का मतलब $(\sin A)^2$ है, $\sin2A$ नहीं।

3. मानक कोणों के मान

बाकी मान व्युत्क्रम से निकलते हैं, जैसे:

$$\operatorname{cosec}30^\circ=2$$

$$\sec60^\circ=2$$

$$\cot30^\circ=\sqrt3$$

$$\cot60^\circ=1/\sqrt3$$

$\sec90^\circ$, $\operatorname{cosec}0^\circ$ और $\cot0^\circ$ परिभाषित नहीं हैं। $\cot90^\circ=0$ है, जो $\cos90^\circ/\sin90^\circ$ से सीधे समझ में आता है।

4. पूरक कोण

$$\sin(90^\circ-A)=\cos A$$

$$\cos(90^\circ-A)=\sin A$$

$$\tan(90^\circ-A)=\cot A$$

$$\cot(90^\circ-A)=\tan A$$

$$\sec(90^\circ-A)=\operatorname{cosec} A$$

$$\operatorname{cosec}(90^\circ-A)=\sec A$$

दो कोणों का योग 90° हो, तो एक को दूसरे के रूप में बदल दीजिए। जैसे $\tan23^\circ\tan67^\circ=1$ और $\sin23^\circ/\cos67^\circ=1$। ऐसे सवालों में कोणों के दशमलव मान की ज़रूरत नहीं पड़ती।

5. तीन मूल सर्वसमिकाएँ

$$\boxed{\sin^2A+\cos^2A=1}$$

$$\boxed{\sec^2A-\tan^2A=1}$$

$$\boxed{\operatorname{cosec}^2A-\cot^2A=1}$$

इन्हीं से $1-\sin^2A=\cos^2A$, $1-\cos^2A=\sin^2A$ और $\sec^2A=1+\tan^2A$ मिलते हैं। चौथी घात दिखे, तो वर्गों का अंतर लगाइए, जैसे $1-\sin^4A=(1-\sin^2A)(1+\sin^2A)$।

6. काम के छोटे परिणाम

जहाँ अनुपात परिभाषित हों, वहाँ

$$(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$$

$$(\operatorname{cosec} A+\cot A)(\operatorname{cosec} A-\cot A)=1$$

$\tan A+\cot A=k$ हो, तो वर्गों का योग $k^2-2$ है। $\sin A+\cos A=s$ हो, तो गुणनफल $(s^2-1)/2$ है। दोनों में योग का वर्ग करते समय बीच वाला $2ab$ पद मत भूलिए।

7. परीक्षा में प्रमाण कैसे लिखें

एक पक्ष चुनिए, उसमें व्युत्क्रम या सर्वसमिका लगाइए, भिन्न सरल कीजिए और दूसरे पक्ष तक पहुँचिए। अंश और हर से सिर्फ़ गुणनखंड काटिए, जोड़ के अलग-अलग पद नहीं। वर्गमूल हटाते समय चिह्न देखिए, न्यून कोण में सारे अनुपात धनात्मक होते हैं। सिर्फ़ $30^\circ$ या $45^\circ$ रखकर जाँच लेना प्रमाण नहीं है, बराबरी हर न्यून कोण के लिए सिद्ध करनी होती है।