त्रिकोणमिति: अनुपात, मान और सर्वसमिकाएँ

भुजाओं से अनुपात तक

दीवार से टिकी सीढ़ी को सोचिए। सीढ़ी छोटी हो या लंबी, ज़मीन से उसका कोण वही हो तो दीवार पर पहुँची ऊँचाई और सीढ़ी की लंबाई का अनुपात भी वही रहेगा। यानी एक ही न्यून कोण वाले समकोण त्रिभुज छोटे-बड़े हो सकते हैं, पर उनकी भुजाओं के अनुपात नहीं बदलते। त्रिकोणमिति की शुरुआत यहीं से होती है।

सूत्र रटने से पहले एक बात पक्की कर लीजिए: किस कोण के सामने कौन-सी भुजा है। हर हिसाब कॉपी पर साथ-साथ करते चलिए।

इस पाठ में $A$ या $\theta$ जैसे कोण न्यून कोण माने गए हैं, यानी $0^\circ\lt A\lt90^\circ$, जब तक प्रश्न में कुछ और न कहा गया हो। $0^\circ$ और $90^\circ$ के मान हम अलग से देखेंगे। ऊँचाई और दूरी वाले सवाल अगले अध्याय में आएँगे।

1. कर्ण, सम्मुख और संलग्न भुजा

$\triangle ABC$ में $\angle B=90^\circ$ है। समकोण के सामने वाली भुजा $AC$ है, इसलिए $AC$ कर्ण है। अब कोण $A$ को देखिए। इसके ठीक सामने $BC$ है, तो $BC$ इसकी सम्मुख भुजा हुई। $A$ से लगी हुई दूसरी भुजा $AB$ है, यह इसकी संलग्न भुजा है।

चित्र में $AB=8$, $BC=6$ और $AC=10$ है। अगर हम कोण $C$ लें, तो सम्मुख भुजा $AB=8$ और संलग्न भुजा $BC=6$ हो जाती है। कर्ण वही रहता है, बाकी दो भुजाओं की भूमिका कोण के साथ बदल जाती है।

कोण से तो कर्ण भी लगा होता है, इसलिए संलग्न भुजा वह है जो कोण से लगी हो और कर्ण न हो। चित्र घुमा दिया जाए, तब भी यही नियम चलेगा। पन्ने पर नीचे दिख रही भुजा को हर बार आधार मान लेना आम गलती है।

2. छह त्रिकोणमितीय अनुपात

चुने गए न्यून कोण के लिए सम्मुख भुजा को $p$, संलग्न भुजा को $b$ और कर्ण को $h$ मान लीजिए। तब छह अनुपात ये हैं:

$$\sin A=\frac ph$$

$$\cos A=\frac bh$$

$$\tan A=\frac pb$$

$$\operatorname{cosec} A=\frac hp$$

$$\sec A=\frac hb$$

$$\cot A=\frac bp$$

इन्हें क्रम से साइन, कोसाइन, टैंजेंट, कोसीकेंट, सीकेंट और कोटैंजेंट पढ़ते हैं। पहले तीन याद कर लीजिए, बाकी तीन बस उनके उलटे यानी व्युत्क्रम हैं। ऊपर के चित्र में कोण $A$ के लिए ये मान आते हैं:

$$\sin A=\frac6{10}=\frac35$$

$$\cos A=\frac8{10}=\frac45$$

$$\tan A=\frac68=\frac34$$

$$\operatorname{cosec} A=\frac53$$

$$\sec A=\frac54$$

$$\cot A=\frac43$$

अनुपात लेते समय दोनों भुजाएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए। सेमी को सेमी से भाग देने पर इकाई कट जाती है, इसलिए इन अनुपातों की कोई इकाई नहीं होती। $3/5$ का मतलब 3 सेमी लंबाई नहीं है। भुजाएँ दोगुनी करके 12, 16, 20 कर दीजिए, फिर भी यही छह मान आएँगे।

3. अनुपात त्रिभुज के आकार पर क्यों नहीं बदलते

दो समकोण त्रिभुज लीजिए जिनमें एक न्यून कोण $A$ बराबर है। समकोण तो दोनों में है ही, इसलिए AA कसौटी से दोनों त्रिभुज समरूप हैं और उनकी संगत भुजाएँ एक ही अनुपात में होंगी। तो सम्मुख/कर्ण, संलग्न/कर्ण और सम्मुख/संलग्न के मान भी दोनों में बराबर निकलेंगे।

मतलब $\sin A$ का मान सिर्फ़ कोण पर टिका है, भुजाओं की लंबाई पर नहीं। 6, 8, 10 वाले त्रिभुज और 3, 4, 5 वाले त्रिभुज में एक ही जगह के कोण का साइन बराबर होगा। इसी वजह से कोई अनुपात दिया हो, तो हम भुजाएँ $3k$, $4k$, $5k$ जैसी मान लेते हैं।

न्यून कोण वाले समकोण त्रिभुज में तीनों भुजाएँ धनात्मक होती हैं और कर्ण सबसे बड़ा होता है। इसलिए,

$$0\lt\sin A\lt1$$

$$0\lt\cos A\lt1$$

$$\sec A\gt1$$

$$\operatorname{cosec} A\gt1$$

टैंजेंट और कोटैंजेंट भी धनात्मक हैं, पर इनका मान 1 से कम, 1 के बराबर या 1 से ज़्यादा, कुछ भी हो सकता है। इसीलिए न्यून कोण के लिए $\sin A=5/3$ असंभव है, जबकि $\tan A=5/3$ बिल्कुल संभव है।

4. व्युत्क्रम, भागफल और संकेत

परिभाषाओं से सीधे ये संबंध मिलते हैं:

$$\sin A\operatorname{cosec} A=1$$

$$\cos A\sec A=1$$

$$\tan A\cot A=1$$

और भाग वाले संबंध ये हैं:

$$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{p/h}{b/h}=\frac pb=\tan A$$

$$\frac{\cos A}{\sin A}=\cot A$$

भाग तभी हो सकता है जब हर शून्य न हो। न्यून कोण में ये हर धनात्मक हैं, पर $0^\circ$ और $90^\circ$ पर इसका ध्यान रखना होगा।

$\sin^2A$ का मतलब $(\sin A)^2$ है। जैसे $\sin^230^\circ=(1/2)^2=1/4$। दूसरी तरफ़ $\sin60^\circ=\sqrt3/2$ है, तो $\sin^230^\circ$ को $\sin60^\circ$ समझना गलत है। इसी तरह $\sin(A+B)$ का मतलब कोणों के योग का साइन है। यह आम तौर पर $\sin A+\sin B$ के बराबर नहीं होता।

5. एक अनुपात दिया हो तो बाकी कैसे निकालें

मान लीजिए $\tan A=5/12$ दिया है। टैंजेंट सम्मुख/संलग्न होता है, तो सम्मुख भुजा $5k$ और संलग्न भुजा $12k$ मान लीजिए, जहाँ $k\gt0$ है। अब कर्ण पाइथागोरस से निकालिए:

$$h^2=(5k)^2+(12k)^2=169k^2$$

$$h=13k$$

अब छहों अनुपात लिखे जा सकते हैं, जैसे $\sin A=5/13$ और $\cos A=12/13$। अगर प्रश्न में कोई असली लंबाई भी दी हो, मान लीजिए कर्ण 26 सेमी है, तो $13k=26$ से $k=2$ मिलेगा। फिर बाकी भुजाएँ 10 सेमी और 24 सेमी होंगी।

यहाँ एक फ़र्क ध्यान से समझिए। साइन या कोसाइन दिया हो, तो कर्ण पहले से पता होता है और दूसरी भुजा निकालने में वर्ग घटाने पड़ते हैं। जैसे $\sin A=7/25$ हो, तो संलग्न भुजा $\sqrt{25^2-7^2}=24$ के अनुपात में होगी। टैंजेंट या कोटैंजेंट दिया हो, तो कर्ण निकालना पड़ता है और वर्ग जोड़ते हैं।

6. 45° के मान कैसे आते हैं

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज लीजिए, जिसकी दोनों छोटी भुजाएँ $a$ हैं। बाकी दोनों कोण बराबर हैं और उनका योग 90° है, तो हर कोण 45° हुआ। पाइथागोरस से कर्ण,

$$h=\sqrt{a^2+a^2}=a\sqrt2$$

इसलिए,

$$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac a{a\sqrt2}=\frac1{\sqrt2}$$

$$\tan45^\circ=\cot45^\circ=1$$

व्युत्क्रम लेने पर $\sec45^\circ=\operatorname{cosec}45^\circ=\sqrt2$ मिलता है। एक बात और: $1/\sqrt2$ और $\sqrt2/2$ एक ही संख्या है। विकल्प में दूसरा रूप लिखा हो, तो उसे अलग उत्तर मत समझिए।

7. 30° और 60° के मान कैसे आते हैं

एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ लीजिए जिसकी हर भुजा $2a$ है। $A$ से $BC$ पर लंब $AD$ डालिए। यह लंब आधार को दो बराबर भागों में बाँटता है और ऊपर के कोण को भी आधा कर देता है। इसलिए $BD=DC=a$, $\angle BAD=30^\circ$ और $\angle ABD=60^\circ$ है।

$$AD=\sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt3$$

अब छोटे समकोण त्रिभुज $ABD$ को देखिए। इसमें 30° के लिए सम्मुख भुजा $a$, संलग्न भुजा $a\sqrt3$ और कर्ण $2a$ है। तो,

$$\sin30^\circ=\frac12$$

$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}$$

इसी त्रिभुज में 60° का कोण लीजिए। अब सम्मुख और संलग्न भुजाएँ आपस में बदल जाएँगी:

$$\sin60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}$$

$$\cos60^\circ=\frac12$$

$$\tan60^\circ=\sqrt3$$

बाकी तीन अनुपात व्युत्क्रम से निकाल लीजिए। यह चित्र खुद दो-तीन बार बनाइए और भुजाओं पर $a$, $a\sqrt3$, $2a$ लिखिए। फिर पूरी सारणी रटनी नहीं पड़ेगी।

8. 0° और 90° पर क्या होता है

समकोण त्रिभुज में कोण $A$ को धीरे-धीरे छोटा होते हुए सोचिए। सम्मुख भुजा कर्ण के मुकाबले बहुत छोटी होती जाती है और संलग्न भुजा लगभग कर्ण जितनी हो जाती है। इसी आधार पर $\sin0^\circ=0$ और $\cos0^\circ=1$ लिया जाता है। कोण 90° के पास पहुँचे, तो उलटा होता है: $\sin90^\circ=1$ और $\cos90^\circ=0$।

अब भागफल और व्युत्क्रम वाले सूत्रों से,

$$\tan0^\circ=\frac01=0$$

$$\cot90^\circ=\frac01=0$$

$\tan90^\circ$ और $\sec90^\circ$ में हर $\cos90^\circ=0$ आता है। इसी तरह $\cot0^\circ$ और $\operatorname{cosec}0^\circ$ में हर $\sin0^\circ=0$ आता है। शून्य से भाग नहीं होता, इसलिए ये चार मान परिभाषित नहीं हैं। परीक्षा में इन्हें 0 या कोई बहुत बड़ी संख्या मत लिखिए।

9. मानक कोणों की सारणी

मान रखकर हल करने वाले सवालों में पहले हर अनुपात का मान लिखिए, फिर वर्ग, गुणा, भाग या जोड़ कीजिए। जैसे $2\sin^230^\circ=2(1/2)^2=1/2$। अगर आप पहले $2\sin30^\circ$ निकालकर फिर उसका वर्ग करेंगे, तो उत्तर अलग आएगा। मूल वाले उत्तर को दशमलव में बदलने की ज़रूरत नहीं है, उसे भिन्न या मूल के रूप में ही रहने दीजिए।

10. पूरक कोणों के संबंध

समकोण त्रिभुज के दोनों न्यून कोणों का योग 90° होता है। एक कोण $A$ है, तो दूसरा $90^\circ-A$ होगा। दूसरे कोण के लिए सम्मुख और संलग्न भुजाएँ आपस में बदल जाती हैं, इसलिए,

$$\sin(90^\circ-A)=\cos A$$

$$\cos(90^\circ-A)=\sin A$$

$$\tan(90^\circ-A)=\cot A$$

$$\cot(90^\circ-A)=\tan A$$

व्युत्क्रम लेने पर,

$$\sec(90^\circ-A)=\operatorname{cosec} A$$

$$\operatorname{cosec}(90^\circ-A)=\sec A$$

जैसे 37° और 53° का योग 90° है, तो $\sin37^\circ=\cos53^\circ$। इन कोणों के मान जाने बिना भी $\sin37^\circ/\cos53^\circ$ का मान 1 निकल आता है। इसी तरह $\tan37^\circ\tan53^\circ=\tan37^\circ\cot37^\circ=1$ है।

अगर $\sin x=\cos y$ हो और दोनों कोण न्यून हों, तो $x+y=90^\circ$ होगा। जैसे $\sin2A=\cos3A$ में $2A$ और $3A$ न्यून हों, तो $2A+3A=90^\circ$ से $A=18^\circ$ मिलता है।

11. तीन मूल सर्वसमिकाएँ कहाँ से आती हैं

समकोण त्रिभुज में $p^2+b^2=h^2$ होता है। दोनों तरफ़ $h^2$ से भाग दीजिए:

$$\frac{p^2}{h^2}+\frac{b^2}{h^2}=1$$

$$\boxed{\sin^2A+\cos^2A=1}$$

अब इसी पाइथागोरस वाले संबंध को $b^2$ से भाग दीजिए:

$$\frac{p^2}{b^2}+1=\frac{h^2}{b^2}$$

$$\boxed{1+\tan^2A=\sec^2A}$$

और $p^2$ से भाग देने पर,

$$1+\frac{b^2}{p^2}=\frac{h^2}{p^2}$$

$$\boxed{1+\cot^2A=\operatorname{cosec}^2A}$$

सर्वसमिका वह बराबरी है जो हर उस कोण पर सही हो जहाँ उसके सारे अनुपात परिभाषित हैं। पहली सर्वसमिका $0^\circ$ और $90^\circ$ पर भी सही है। पर दूसरी $90^\circ$ पर और तीसरी $0^\circ$ पर नहीं लगती, क्योंकि वहाँ उनके कुछ अनुपात परिभाषित ही नहीं हैं।

12. सर्वसमिका सिद्ध करने का सही तरीका

आम तौर पर जो पक्ष ज़्यादा उलझा दिखे, वहीं से शुरू कीजिए। उसमें व्युत्क्रम लिखिए, अंश और हर से साझा गुणनखंड निकालिए, या $1-\sin^2A$ की जगह $\cos^2A$ रखिए। हर पंक्ति पिछली पंक्ति से निकलनी चाहिए। जो बात सिद्ध करनी है, उसे शुरू में ही सही मानकर आगे मत बढ़िए।

एक छोटा उदाहरण देखिए:

$$\frac{1-\sin^2A}{\cos A}=\frac{\cos^2A}{\cos A}=\cos A$$

यहाँ $\cos A$ इसलिए कटा, क्योंकि वह अंश का गुणनखंड है। पर $(1+\cos A)/\cos A$ में सिर्फ़ जोड़ वाले पद को काटकर 1 लिख देना गलत है। इसका सही रूप $\sec A+1$ है।

चौथी घात दिखे, तो $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ याद कीजिए। जैसे,

$$1-\sin^4A=(1-\sin^2A)(1+\sin^2A)$$

वर्गमूल हटाते समय याद रखिए कि $\sqrt{x^2}=|x|$ होता है। न्यून कोण में सारे अनुपात धनात्मक हैं, इसलिए निरपेक्ष मान का चिह्न हट जाता है, पर यह कारण उत्तर में एक पंक्ति में लिख दीजिए। और हाँ, किसी एक कोण पर मान रखकर जाँच लेना प्रमाण नहीं माना जाता।

13. योग और अंतर वाले सवाल

$\tan A+\cot A=k$ दिया हो, तो दोनों तरफ़ वर्ग कीजिए:

$$k^2=\tan^2A+\cot^2A+2\tan A\cot A$$

$\tan A\cot A=1$ है, इसलिए वर्गों का योग $k^2-2$ आता है। बीच वाला पद भूल गए, तो उत्तर 2 ज़्यादा आ जाएगा। इसी तरह $\sin A+\cos A=s$ हो, तो

$$s^2=1+2\sin A\cos A$$

और इससे गुणनफल $(s^2-1)/2$ मिलता है।

एक और काम का परिणाम है:

$$(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$$

यानी योग दिया हो, तो अंतर उसका व्युत्क्रम है। फिर दोनों को जोड़ने पर सेकेंट और घटाने पर टैंजेंट निकल आता है।

उत्तर लिखने से पहले एक बार खुद से पूछिए: सही कोण की सही भुजाएँ लीं? अनुपात के साथ इकाई तो नहीं लिख दी? घात पूरे अनुपात पर लगाई? कहीं हर शून्य तो नहीं? अब नीचे के प्रश्न पहले खुद हल कीजिए, फिर हल से मिलाइए।

कोण बदलने पर भुजाओं की पहचान

$\triangle ABC$ में $\angle B=90^\circ$, $AB=8$, $BC=6$, $AC=10$ सेमी हैं। $\sin A,\cos A,\tan A$ और $\sin C$ निकालिए।

हल:

कर्ण $AC$ है। कोण $A$ के सामने $BC$ है और उससे लगी दूसरी भुजा $AB$ है।

$$\sin A=\frac{BC}{AC}=\frac6{10}=\frac35$$

$$\cos A=\frac{AB}{AC}=\frac8{10}=\frac45$$

$$\tan A=\frac{BC}{AB}=\frac68=\frac34$$

कोण $C$ के लिए सम्मुख भुजा बदलकर $AB$ हो जाती है। इसलिए,

$$\sin C=\frac{AB}{AC}=\frac45$$

तो $\sin A=3/5$, $\cos A=4/5$, $\tan A=3/4$ और $\sin C=4/5$। ध्यान दीजिए, $\sin C$ और $\cos A$ बराबर आए, क्योंकि $A$ और $C$ मिलकर 90° बनाते हैं।

एक अनुपात से बाकी पाँच

$\theta$ न्यून कोण और $\sin\theta=5/13$ है। अन्य पाँच अनुपात निकालिए।

हल:

सम्मुख भुजा $5k$ और कर्ण $13k$ मान लेते हैं, जहाँ $k\gt0$ है। पाइथागोरस से संलग्न भुजा,

$$b=\sqrt{(13k)^2-(5k)^2}=12k$$

अब परिभाषाओं से बाकी अनुपात लिखिए:

$$\cos\theta=\frac{12}{13}$$

$$\tan\theta=\frac5{12}$$

$$\cot\theta=\frac{12}{5}$$

$$\sec\theta=\frac{13}{12}$$

$$\operatorname{cosec}\theta=\frac{13}{5}$$

भुजाओं की असली लंबाई की ज़रूरत नहीं पड़ी, क्योंकि हर अनुपात में $k$ कट जाता है।

कोटैंजेंट से साइन और कोसाइन

$\cot A=7/24$ और $A$ न्यून कोण है। $\sin A,\cos A$ निकालिए।

हल:

$\cot A$ संलग्न/सम्मुख होता है। इसलिए संलग्न भुजा $7k$ और सम्मुख भुजा $24k$ मान लीजिए। अब कर्ण,

$$h=\sqrt{(7k)^2+(24k)^2}=25k$$

$$\sin A=\frac{24k}{25k}=\frac{24}{25}$$

$$\cos A=\frac{7k}{25k}=\frac7{25}$$

तो $\sin A=24/25$ और $\cos A=7/25$। उत्तर सही है या नहीं, यह भी देख लेते हैं: $\cos A/\sin A=7/24$, जो दिया हुआ $\cot A$ ही है।

अनुपात से वास्तविक भुजाएँ

एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण $A$ के लिए $\tan A=3/4$ और कर्ण 20 सेमी है। बाकी भुजाएँ निकालिए।

हल:

सम्मुख और संलग्न भुजाएँ $3k$ और $4k$ मान लीजिए। तब कर्ण,

$$h=\sqrt{9k^2+16k^2}=5k$$

कर्ण 20 सेमी दिया है, तो $5k=20$ और $k=4$।

$$\text{सम्मुख भुजा}=3(4)=12$$

$$\text{संलग्न भुजा}=4(4)=16$$

इसलिए बाकी भुजाएँ 12 सेमी और 16 सेमी हैं।

मान रखकर सरल करना

$2\sin30^\circ+3\cos60^\circ-\tan45^\circ$ का मान निकालिए।

हल:

सारणी से $\sin30^\circ=1/2$, $\cos60^\circ=1/2$ और $\tan45^\circ=1$ रखिए:

$$2\left(\frac12\right)+3\left(\frac12\right)-1$$

$$=1+\frac32-1=\frac32$$

तो मान $3/2$ है।

पहले अनुपात का मान, फिर वर्ग

$4\sin^230^\circ+\sec^260^\circ-\cot^245^\circ$ निकालिए।

हल:

$\sin^230^\circ$ का मतलब है $(\sin30^\circ)^2$। साथ ही $\sec60^\circ=2$ और $\cot45^\circ=1$ है। अब मान रखिए:

$$4\left(\frac12\right)^2+2^2-1^2$$

$$=4\left(\frac14\right)+4-1=4$$

तो मान 4 है। वर्ग पूरे अनुपात पर लगता है, उसे कोण का दोगुना मत समझिए।

पूरक कोणों का भागफल

$\dfrac{\sin28^\circ}{\cos62^\circ}+\dfrac{\tan17^\circ}{\cot73^\circ}$ निकालिए।

हल:

$28^\circ+62^\circ=90^\circ$ है, इसलिए $\sin28^\circ=\cos62^\circ$। इसी तरह $17^\circ$ और $73^\circ$ भी पूरक हैं, तो $\tan17^\circ=\cot73^\circ$।

$$\frac{\sin28^\circ}{\cos62^\circ}=1$$

$$\frac{\tan17^\circ}{\cot73^\circ}=1$$

तो कुल मान $1+1=2$ है।

कोण निकालना

$\sin(2A)=\cos30^\circ$ और $0^\circ\lt2A\lt90^\circ$ है। $A$ निकालिए।

हल:

पहले पूरक कोण संबंध से $\cos30^\circ$ को साइन में बदलिए:

$$\cos30^\circ=\sin60^\circ$$

अब $\sin2A=\sin60^\circ$ है। दोनों कोण न्यून हैं, इसलिए

$$2A=60^\circ\Rightarrow A=30^\circ$$

तो $A=30^\circ$। न्यून कोणों में कोण बढ़ने के साथ साइन भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग-अलग न्यून कोणों का साइन बराबर नहीं हो सकता।

सर्वसमिका से तुरंत मान

$5\sec^2\theta-5\tan^2\theta+2$ का मान निकालिए, जहाँ $\theta$ न्यून कोण है।

हल:

यहाँ सर्वसमिका $\sec^2\theta-\tan^2\theta=1$ काम आएगी। पहले दो पदों से 5 बाहर निकालिए:

$$5\sec^2\theta-5\tan^2\theta+2$$

$$=5(\sec^2\theta-\tan^2\theta)+2=5+2=7$$

तो मान 7 है।

चौथी घात की सर्वसमिका

सिद्ध कीजिए: $1-\cos^4A=\sin^2A(1+\cos^2A)$।

हल:

बाएँ पक्ष से शुरू कीजिए। $1-\cos^4A$ वर्गों का अंतर है:

$$1-\cos^4A=(1-\cos^2A)(1+\cos^2A)$$

अब $1-\cos^2A=\sin^2A$ रखिए:

$$1-\cos^4A=\sin^2A(1+\cos^2A)$$

यही दायाँ पक्ष है, यानी सिद्ध हुआ।

भिन्नों वाली सर्वसमिका

न्यून कोण $A$ के लिए सिद्ध कीजिए: $\dfrac{1-\cos A}{\sin A}=\dfrac{\sin A}{1+\cos A}$।

हल:

बाएँ पक्ष के अंश और हर, दोनों को $1+\cos A$ से गुणा कीजिए:

$$\frac{1-\cos A}{\sin A}=\frac{(1-\cos A)(1+\cos A)}{\sin A(1+\cos A)}$$

$$=\frac{1-\cos^2A}{\sin A(1+\cos A)}$$

$$=\frac{\sin^2A}{\sin A(1+\cos A)}=\frac{\sin A}{1+\cos A}$$

यही दायाँ पक्ष है। न्यून कोण में दोनों हर शून्य नहीं होते, इसलिए यह गुणा-भाग ठीक है। इस तरह सिद्ध हुआ।

योग दिया हो तो वर्गों का योग

$\tan A+\cot A=4$ है। $\tan^2A+\cot^2A$ निकालिए।

हल:

दोनों तरफ़ वर्ग कीजिए:

$$(\tan A+\cot A)^2=16$$

$$\tan^2A+\cot^2A+2\tan A\cot A=16$$

$\tan A\cot A=1$ है, इसलिए

$$\tan^2A+\cot^2A=16-2=14$$

तो मान 14 है।

साइन-कोसाइन के योग से गुणनफल

$\sin A+\cos A=\sqrt{3/2}$ है। $\sin A\cos A$ निकालिए।

हल:

दोनों तरफ़ वर्ग कीजिए:

$$\sin^2A+\cos^2A+2\sin A\cos A=\frac32$$

$\sin^2A+\cos^2A=1$ रखने पर,

$$1+2\sin A\cos A=\frac32$$

$$2\sin A\cos A=\frac12$$

इसलिए $\sin A\cos A=1/4$।

सेकेंट और टैंजेंट का योग

न्यून कोण $A$ के लिए $\sec A+\tan A=3$। $\sec A$ तथा $\tan A$ निकालिए।

हल:

सर्वसमिका $\sec^2A-\tan^2A=1$ को गुणनखंड के रूप में लिखिए:

$$(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)=1$$

इसमें $\sec A+\tan A=3$ रखिए:

$$3(\sec A-\tan A)=1\Rightarrow\sec A-\tan A=\frac13$$

अब दोनों बराबरियाँ जोड़िए:

$$2\sec A=3+\frac13=\frac{10}{3}\Rightarrow\sec A=\frac53$$

और घटाइए:

$$2\tan A=3-\frac13=\frac83\Rightarrow\tan A=\frac43$$

तो $\sec A=5/3$ और $\tan A=4/3$। जाँच लेते हैं: $25/9-16/9=1$, यानी $\sec^2A-\tan^2A=1$ ठीक बैठता है।