पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। शुरू में ही देख लीजिए कि कौन-सा कोण है और कौन-सा अनुपात काम आएगा। सर्वसमिका सिद्ध करनी हो, तो एक पक्ष से चलिए और हर पंक्ति का कारण लिखिए। जहाँ कोण के बारे में कुछ न कहा हो, वहाँ उसे न्यून कोण मानिए।

दो भिन्नों का योग

सिद्ध कीजिए: $\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\dfrac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=2\operatorname{cosec}\theta$।

हल:

बाएँ पक्ष के दूसरे पद में अंश और हर को $1-\cos\theta$ से गुणा कीजिए, ताकि हर में $1-\cos^2\theta$ बन जाए:

$$\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{1-\cos^2\theta}$$

$$=\frac{\sin\theta(1-\cos\theta)}{\sin^2\theta}=\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$

अब बायाँ पक्ष ऐसा हो गया:

$$\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}+\frac{1-\cos\theta}{\sin\theta}$$

$$=\frac2{\sin\theta}=2\operatorname{cosec}\theta$$

यही दायाँ पक्ष है, इसलिए सिद्ध हुआ।

कोसाइन से टैंजेंट और कोटैंजेंट

$\cos A=3/4$ हो तो $\cot A$ तथा $\tan A$ निकालिए।

हल:

संलग्न भुजा $3k$ और कर्ण $4k$ मान लीजिए। पाइथागोरस से सम्मुख भुजा,

$$p=\sqrt{16k^2-9k^2}=\sqrt7\,k$$

अब दोनों अनुपात लिखिए:

$$\cot A=\frac{3k}{\sqrt7\,k}=\frac3{\sqrt7}=\frac{3\sqrt7}{7}$$

$$\tan A=\frac{\sqrt7\,k}{3k}=\frac{\sqrt7}{3}$$

तो $\cot A=3\sqrt7/7$ और $\tan A=\sqrt7/3$।

पूरक कोणों की जोड़ियाँ

सिद्ध कीजिए: $\tan48^\circ\tan23^\circ\tan42^\circ\tan67^\circ=1$।

हल:

$42^\circ$ और $48^\circ$ पूरक हैं, और $67^\circ$ व $23^\circ$ भी। इसलिए,

$$\tan42^\circ=\cot48^\circ$$

$$\tan67^\circ=\cot23^\circ$$

इन्हें बाएँ पक्ष में रखकर जोड़ियाँ बनाइए:

$$(\tan48^\circ\cot48^\circ)(\tan23^\circ\cot23^\circ)$$

$$=1\times1=1$$

यही दायाँ पक्ष है, यानी सिद्ध हुआ।

पूरक कोण और सर्वसमिका साथ में

$\operatorname{cosec}39^\circ\cos51^\circ+\tan21^\circ\cot69^\circ-\sec^221^\circ$ का मान निकालिए।

हल:

$39^\circ+51^\circ=90^\circ$ है, तो $\cos51^\circ=\sin39^\circ$। इसी तरह $\cot69^\circ=\tan21^\circ$ है। इसलिए पहला पद

$$\operatorname{cosec}39^\circ\cos51^\circ=1$$

बन जाता है और दूसरा पद $\tan^221^\circ$ हो जाता है। अब पूरा व्यंजक ऐसा दिखेगा:

$$1+\tan^221^\circ-\sec^221^\circ$$

$1+\tan^2A=\sec^2A$ होता है, इसलिए यह शून्य है। तो मान 0 है।

चौथी घातों का अंतर

सिद्ध कीजिए: $\sec^4\theta-\tan^4\theta=1+2\tan^2\theta$।

हल:

बाएँ पक्ष पर वर्गों के अंतर का सूत्र लगाइए:

$$\sec^4\theta-\tan^4\theta=(\sec^2\theta-\tan^2\theta)(\sec^2\theta+\tan^2\theta)$$

पहला गुणनखंड तो 1 ही है। इसलिए,

$$=1\cdot(\sec^2\theta+\tan^2\theta)$$

अब $\sec^2\theta$ की जगह $1+\tan^2\theta$ रखिए:

$$=1+\tan^2\theta+\tan^2\theta=1+2\tan^2\theta$$

यही दायाँ पक्ष है। इस तरह सिद्ध हुआ।

मान और घात की गणना

$4\tan^245^\circ+\cos^230^\circ-\sin^260^\circ$ का मान निकालिए।

हल:

सारणी से $\tan45^\circ=1$ है, और $\cos30^\circ$ व $\sin60^\circ$ दोनों $\sqrt3/2$ हैं।

$$4(1)^2+\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2$$

$$=4+\frac34-\frac34=4$$

तो मान 4 है।

वर्गमूल वाली सर्वसमिका

सिद्ध कीजिए: $\sqrt{\dfrac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\dfrac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$, जहाँ $\theta$ न्यून कोण है।

हल:

मूल के अंदर अंश और हर, दोनों को $1+\cos\theta$ से गुणा कीजिए:

$$\sqrt{\frac{1+\cos\theta}{1-\cos\theta}}=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{1-\cos^2\theta}}$$

$$=\sqrt{\frac{(1+\cos\theta)^2}{\sin^2\theta}}$$

न्यून कोण में $1+\cos\theta$ और $\sin\theta$ दोनों धनात्मक हैं, इसलिए वर्गमूल सीधे हट जाता है:

$$=\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}$$

यही दायाँ पक्ष है, यानी सिद्ध हुआ।

पूरक कोणों से बराबरी

सिद्ध कीजिए: $\tan9^\circ\tan27^\circ=\cot63^\circ\cot81^\circ$।

हल:

पूरक कोण संबंध $\tan A=\cot(90^\circ-A)$ से,

$$\tan9^\circ=\cot81^\circ$$

$$\tan27^\circ=\cot63^\circ$$

दोनों बराबरियों का गुणा कीजिए:

$$\tan9^\circ\tan27^\circ=\cot81^\circ\cot63^\circ$$

दाईं ओर गुणा का क्रम बदलने पर यही दिया हुआ दायाँ पक्ष बनता है। तो सिद्ध हुआ।

टैंजेंट से अनुपातों का योग

$\tan\theta=5/12$ हो तो $\sin\theta+\cos\theta$ निकालिए।

हल:

सम्मुख भुजा $5k$ और संलग्न भुजा $12k$ मान लीजिए। अब कर्ण निकालिए:

$$h=\sqrt{25k^2+144k^2}=13k$$

इसलिए $\sin\theta=5/13$ और $\cos\theta=12/13$ है।

$$\sin\theta+\cos\theta=\frac5{13}+\frac{12}{13}=\frac{17}{13}$$

तो मान $17/13$ है। यह 1 से बड़ा है, पर इसमें कोई गलती नहीं। अकेला साइन या कोसाइन 1 से बड़ा नहीं होता, पर उनका योग हो सकता है।

चार पदों का व्यंजक

$\dfrac{\sec39^\circ}{\operatorname{cosec}51^\circ}+\dfrac{\sin67^\circ}{\cos23^\circ}-\cot45^\circ-\cos0^\circ$ निकालिए।

हल:

पूरक कोणों से $\sec39^\circ=\operatorname{cosec}51^\circ$ और $\sin67^\circ=\cos23^\circ$ है। मतलब दोनों भिन्न 1 के बराबर हैं। साथ ही $\cot45^\circ=1$ और $\cos0^\circ=1$ है।

$$\text{दिया व्यंजक}=1+1-1-1=0$$

तो मान 0 है।

दो अनुपातों का गुणनफल

$4\tan\theta=3$ हो तो $\sin\theta\cos\theta$ निकालिए।

हल:

$4\tan\theta=3$ से $\tan\theta=3/4$ मिलता है। सम्मुख भुजा $3k$ और संलग्न भुजा $4k$ लीजिए, तो कर्ण $5k$ होगा।

$$\sin\theta=\frac35$$

$$\cos\theta=\frac45$$

इसलिए,

$$\sin\theta\cos\theta=\frac35\times\frac45=\frac{12}{25}$$

तो गुणनफल $12/25$ है।

साइन और कोसाइन को टैंजेंट में लिखना

$\sin\theta$ तथा $\cos\theta$ को $\tan\theta$ के रूप में व्यक्त कीजिए, जहाँ $\theta$ न्यून कोण है।

हल:

सर्वसमिका से शुरू कीजिए:

$$\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$$

न्यून कोण में सेकेंट धनात्मक होता है, इसलिए धनात्मक वर्गमूल लीजिए:

$$\sec\theta=\sqrt{1+\tan^2\theta}$$

दोनों तरफ़ व्युत्क्रम लेने पर,

$$\boxed{\cos\theta=\frac1{\sqrt{1+\tan^2\theta}}}$$

अब $\sin\theta=\tan\theta\cos\theta$ में यह मान रखिए:

$$\boxed{\sin\theta=\frac{\tan\theta}{\sqrt{1+\tan^2\theta}}}$$

यही दोनों माँगे गए रूप हैं।