अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

समीकरण और हल

मानक रूप $a_1x+b_1y+c_1=0$ और $a_2x+b_2y+c_2=0$ है। किसी समीकरण में $x$ और $y$ के गुणांक एक साथ शून्य नहीं होते। हल $(x,y)$ वह जोड़ी है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करे। मानक रूप में चिह्न का ध्यान रखिए: $2x-y=7$ का मानक रूप $2x-y-7=0$ है, यानी $c=-7$।

रेखाओं की स्थिति और संगति

$$D=a_1b_2-a_2b_1$$

• $D\ne0$: एक हल, रेखाएँ प्रतिच्छेदी, युग्म संगत और स्वतंत्र।
• $D=0$ और एक पूरा समीकरण दूसरे का गुणज: अनंत हल, रेखाएँ संपाती, युग्म संगत और आश्रित।
• $D=0$, पर अचर पद उस अनुपात में नहीं: कोई हल नहीं, रेखाएँ अलग समांतर, युग्म असंगत।

अनुपातों के हर शून्य न हों, तो यही बात अनुपातों से:

$$\frac{a_1}{a_2}\ne\frac{b_1}{b_2}\ \Rightarrow\ \text{एक हल}$$

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne\frac{c_1}{c_2}\ \Rightarrow\ \text{कोई हल नहीं}$$

$$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}\ \Rightarrow\ \text{अनंत हल}$$

$0/0$ कभी मत लिखिए। दोनों अचर पद शून्य हों, तो $D$ से या समीकरणों के गुणज देखकर फ़ैसला कीजिए। और याद रखिए, संगत युग्म में एक हल भी हो सकता है और अनंत हल भी।

हल निकालने की तीन विधियाँ

प्रतिस्थापन: एक चर को अलग कीजिए और दूसरे समीकरण में रखिए। इससे एक चर निकलेगा, उसे वापस रखकर दूसरा निकालिए। कोष्ठक का गुणा पूरा कीजिए।

विलोपन: किसी एक चर के गुणांक बराबर कीजिए। चिह्न एक जैसे हों तो घटाइए, उलटे हों तो जोड़िए। गुणा पूरे समीकरण में करना है। अंत में $0=0$ बचे तो समीकरण आश्रित हैं, और $0=5$ जैसी गलत बात आए तो युग्म असंगत है।

वज्र-गुणन: पहले मानक रूप लिखिए और गुणांक चिह्न सहित उतारिए। $D\ne0$ हो, तो

$$x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{D}$$

$$y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{D}$$

शब्द-प्रश्नों के काम के संबंध

दो संख्याओं का योग $S$ और अंतर $d$ हो, तो बड़ी संख्या $(S+d)/2$ और छोटी $(S-d)/2$ होती है। कॉपी में पहले $x+y=S$ और $x-y=d$ लिखकर हल दिखाइए।

दसक का अंक $x$ और इकाई का $y$ हो, तो संख्या $10x+y$ और उलटी संख्या $10y+x$ है। आयु के सवाल में $t$ वर्ष बाद की बात हो तो दोनों की आयु में $t$ जोड़िए, पहले की बात हो तो घटाइए। “तीन गुनी” आए, तो उस समय की पूरी आयु को 3 से गुणा कीजिए।

$$\text{चाल}=\frac{\text{दूरी}}{\text{समय}}$$

नाव के सवाल में अनुकूल चाल $u+v$ और प्रतिकूल चाल $u-v$ होती है। शांत जल में नाव की चाल इन दोनों के योग का आधा है और धारा की चाल अंतर का आधा। सारी इकाइयाँ एक जैसी रखिए।

बदले हुए चर और ग्राफ

$u=1/x$ और $v=1/y$ लिया हो, तो अंत में $x=1/u$ और $y=1/v$ निकालना मत भूलिए। मूल हर शून्य नहीं होना चाहिए, और $u$ या $v$ शून्य आए तो उससे $x$ या $y$ वापस नहीं निकलता।

ग्राफ के लिए हर रेखा पर कम-से-कम दो सही बिंदु लीजिए। अक्ष, मापनी और रेखाओं के नाम लिखिए। प्रतिच्छेद बिंदु $(x,y)$ पढ़िए और उसे दोनों मूल समीकरणों में रखकर जाँचिए। ग्राफ से हल माँगा हो, तो सिर्फ़ बीजगणित वाला उत्तर काफ़ी नहीं है।