पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

हर प्रश्न पहले खुद अपनी कॉपी में हल कीजिए, फिर नीचे के हल से मिलाइए। ग्राफ वाले प्रश्न ग्राफ पेपर पर बनाइए। लिखित प्रश्नों के बाद वस्तुनिष्ठ प्रश्नों की क्विज़ है।

अंतर और तीन गुना संबंध

दो संख्याओं का अंतर 26 है और एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है। तब

$$x-y=26\qquad(1)$$

$$x=3y\qquad(2)$$

(2) से $x$ का मान (1) में रखने पर,

$$3y-y=26\quad\Rightarrow\quad2y=26\quad\Rightarrow\quad y=13$$

अब $x=3(13)=39$। इसलिए संख्याएँ 39 और 13 हैं। मिलाकर देखिए: $39-13=26$ और $39=3(13)$।

योग और अनुपात

दो संख्याओं का योग 50 है। एक संख्या दूसरी की $7/3$ गुनी है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।

$$x+y=50\qquad (1)$$

$$x=\frac73y\quad\Rightarrow\quad3x-7y=0\qquad (2)$$

(1) को 3 से गुणा करने पर $3x+3y=150$ मिलता है। इसमें से (2) घटाइए:

$$10y=150\quad\Rightarrow\quad y=15$$

अब $x=50-15=35$। तो संख्याएँ 35 और 15 हैं। भाग देकर देखिए, $35/15$ सचमुच $7/3$ ही है।

वज्र-गुणन से दोनों चर

$3x+2y=12$ तथा $5x-2y=4$ को वज्र-गुणन विधि से हल कीजिए।

हल:

मानक रूप $3x+2y-12=0$ और $5x-2y-4=0$ है। इसलिए,

$$a_1=3,\ b_1=2,\ c_1=-12,\ a_2=5,\ b_2=-2,\ c_2=-4$$

$$x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}=\frac{2(-4)-(-2)(-12)}{3(-2)-5(2)}=\frac{-32}{-16}=2$$

$$y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{a_1b_2-a_2b_1}=\frac{(-12)(5)-(-4)(3)}{-16}=\frac{-48}{-16}=3$$

इसलिए $x=2$, $y=3$। मूल समीकरणों में रखकर देखिए: $3(2)+2(3)=12$ और $5(2)-2(3)=4$।

अद्वितीय हल की शर्त

$3x+5y=0$ तथा $kx+10y=0$ के अद्वितीय हल के लिए $k$ की शर्त ज्ञात कीजिए।

हल:

अद्वितीय हल के लिए $a_1b_2-a_2b_1\ne0$ होना चाहिए।

$$3(10)-k(5)\ne0$$

$$30-5k\ne0\quad\Rightarrow\quad k\ne6$$

इसलिए $k$ का 6 को छोड़कर कोई भी वास्तविक मान लिया जा सकता है। ऐसे हर मान पर एकमात्र हल $(0,0)$ होगा। $k=6$ पर दूसरा समीकरण पहले का दुगुना होगा और अनंत हल मिलेंगे।

योग और अंतर

दो संख्याओं का योग 137 और अंतर 43 है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए बड़ी संख्या $x$ और छोटी संख्या $y$ है।

$$x+y=137\qquad(1)$$

$$x-y=43\qquad(2)$$

दोनों को जोड़ने पर,

$$2x=180\quad\Rightarrow\quad x=90$$

(1) में रखने पर $90+y=137$, यानी $y=47$। तो संख्याएँ 90 और 47 हैं।

ग्राफ से हल: 1

$4x-5y=20$ तथा $3x+5y=15$ का ग्राफ बनाकर हल कीजिए।

हल:

पहले समीकरण से $y=(4x-20)/5$ और दूसरे से $y=(15-3x)/5$। $x$ के ऐसे मान लीजिए जिनसे $y$ पूर्णांक आए:

एक खाना एक इकाई मानकर बिंदु अंकित कीजिए और रेखाएँ खींचिए:

दोनों रेखाएँ $(5,0)$ पर मिलती हैं। इसलिए $x=5$, $y=0$।

मूल समीकरणों में रखकर देखिए: $4(5)-5(0)=20$ और $3(5)+5(0)=15$, दोनों सही हैं।

ग्राफ से हल: 2

$3x-5y+1=0$ तथा $2x-y+3=0$ का ग्राफ बनाकर हल कीजिए।

हल:

पहले समीकरण से $y=(3x+1)/5$ और दूसरे से $y=2x+3$ मिलता है। $x=-2$ और $x=3$ पर पहली रेखा के $y$ पूर्णांक आते हैं:

एक खाना एक इकाई मानकर बिंदु अंकित कीजिए और दोनों रेखाएँ खींचिए:

रेखाएँ $(-2,-1)$ पर कटती हैं, तो $x=-2$, $y=-1$।

उत्तर की जाँच: $3(-2)-5(-1)+1=0$ और $2(-2)-(-1)+3=0$।

ग्राफ से हल: 3

$x+3y-6=0$ तथा $2x-3y-12=0$ का ग्राफ बनाकर हल कीजिए।

हल:

समीकरणों से $y=(6-x)/3$ और $y=(2x-12)/3$ मिलते हैं। $x=0$ और $x=6$ रखने पर ये बिंदु आते हैं:

एक खाना एक इकाई लेकर बिंदु अंकित कीजिए और रेखाएँ खींचिए:

दोनों रेखाएँ x-अक्ष पर $(6,0)$ पर मिलती हैं। इसलिए $x=6$, $y=0$।

यह बिंदु दोनों रेखाओं पर है, क्योंकि $6+3(0)-6=0$ और $2(6)-3(0)-12=0$।

ग्राफ से हल: 4

$2x-3y+13=0$ तथा $3x-2y+12=0$ का ग्राफ बनाकर हल कीजिए।

हल:

समीकरणों से $y=(2x+13)/3$ और $y=(3x+12)/2$। यहाँ $x$ के ऋणात्मक मान लेने पर पूर्णांक बिंदु मिलते हैं:

एक खाना एक इकाई मानकर बिंदु अंकित कीजिए और रेखाएँ खींचिए:

दोनों रेखाएँ $(-2,3)$ पर मिलती हैं। इसलिए $x=-2$, $y=3$।

ये मान दोनों समीकरणों में रखकर देख लीजिए: $2(-2)-3(3)+13=0$ और $3(-2)-2(3)+12=0$।