रैखिक समीकरण युग्म: समझें, हल करें और अभ्यास करें

रैखिक समीकरण युग्म

कई बार हमें दो ऐसी राशियाँ ढूँढ़नी होती हैं जिनसे दो शर्तें एक साथ पूरी हों। मान लीजिए आप दुकान से 2 कॉपियाँ और 1 पेन लेते हैं और कुल 50 रुपये लगते हैं। सिर्फ़ इतनी बात से कॉपी और पेन की अलग-अलग कीमत पता नहीं चलेगी। अब अगर यह भी मालूम हो कि 1 कॉपी और 1 पेन 30 रुपये के आते हैं, तो दोनों कीमतें निकल आएँगी। कॉपी की कीमत $x$ और पेन की कीमत $y$ मानिए। तब $2x+y=50$ और $x+y=30$ मिलते हैं। ऐसे दो समीकरण साथ लेने पर समीकरण युग्म बनता है।

इस पाठ में हम देखेंगे कि ऐसे युग्म को ग्राफ से और तीन बीजगणितीय विधियों से कैसे हल करते हैं, और शब्दों में दिए सवालों से समीकरण कैसे बनाते हैं। हर गणना अपनी कॉपी में साथ-साथ कीजिए, तभी पता चलेगा कि आपसे कौन-सा कदम छूट रहा है।

1. रैखिक समीकरण और उसका हल

दो चरों वाले रैखिक समीकरण का रूप है:

$$ax+by+c=0$$

यहाँ $a$ और $b$ दोनों एक साथ शून्य नहीं हो सकते, पर किसी एक का शून्य होना ठीक है। इसीलिए $x=3$ और $y=-2$ भी इसी रूप में आ जाते हैं। पर $xy=6$, $x^2+y=7$ और $1/x+y=2$ इस रूप में नहीं आते, इसलिए रैखिक नहीं हैं।

किसी समीकरण में $x$ और $y$ के जिन मानों को रखने पर बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष के बराबर हो जाए, वह जोड़ी उसका हल कहलाती है। जैसे $x+y=5$ के लिए $(0,5)$, $(1,4)$ और $(2,3)$ सभी हल हैं। एक समीकरण के बहुत से हल होते हैं, पर युग्म का हल वही है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करे।

मान लीजिए दूसरा समीकरण $x-y=1$ है। तब $(3,2)$ दोनों में सही बैठता है: $3+2=5$ और $3-2=1$। विकल्प जाँचते समय मान दोनों समीकरणों में रखिए, सिर्फ़ पहले में नहीं। जोड़ी में क्रम भी मायने रखता है: $(3,2)$ और $(2,3)$ अलग-अलग बिंदु हैं।

मानक रूप में चिह्न: $2x-3y=7$ को मानक रूप में $2x-3y-7=0$ लिखेंगे। यानी $a=2$, $b=-3$ और $c=-7$। अनुपात और वज्र-गुणन में यही $c$ लगेगा।

2. ग्राफ से हल का मतलब

हर रैखिक समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा होता है। रेखा खींचने के लिए $x$ का कोई आसान मान रखिए और उससे $y$ निकालिए। दो बिंदुओं से रेखा तय हो जाती है, और तीसरा बिंदु लेने से गणना की जाँच हो जाती है।

जैसे $x+y=4$ से $(0,4)$, $(2,2)$ और $(4,0)$ मिलते हैं। इन्हें ग्राफ पेपर पर एक ही मापनी से अंकित कीजिए और स्केल से सीधी रेखा खींचिए। दूसरे समीकरण की रेखा भी इसी ग्राफ पर बनानी है। दोनों रेखाएँ जिस बिंदु पर मिलती हैं, उसी के $x$ और $y$ युग्म का हल हैं।

संगत का मतलब है कि कम-से-कम एक हल हो। इसलिए एक हल वाले और अनंत हल वाले, दोनों युग्म संगत हैं। संपाती रेखाएँ असल में एक ही रेखा होती हैं। ग्राफ पर मोटी रेखा देखकर अंदाज़ा मत लगाइए, प्रतिच्छेद बिंदु को दोनों समीकरणों में रखकर देख लीजिए।

$x=2$ की रेखा y-अक्ष के समांतर (खड़ी) होती है और $y=-3$ की रेखा x-अक्ष के समांतर (आड़ी)। ये दोनों $(2,-3)$ पर मिलती हैं।

3. बिना हल किए हलों की संख्या जानना

सबसे पहले दोनों समीकरणों को एक ही मानक रूप में लिखिए:

$$a_1x+b_1y+c_1=0$$

$$a_2x+b_2y+c_2=0$$

अब अनुपातों की तुलना कीजिए (जब अनुपातों के हर शून्य न हों):

$2x+3y=5$ और $4x+6y=10$ को देखिए। दूसरा समीकरण पूरा का पूरा पहले का दुगुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। अगर दूसरे का दायाँ पक्ष 11 होता, तो एक ही $4x+6y$ को 10 भी होना पड़ता और 11 भी। ऐसा हो नहीं सकता, इसलिए तब कोई हल नहीं होता।

शून्य से भाग मत दीजिए। जैसे $c_1=c_2=0$ हो, तो $0/0$ नहीं लिख सकते। ऐसे में अनुपात की जगह यह गुणनफल-अंतर काम आता है:

$$D=a_1b_2-a_2b_1$$

$D\ne0$ हो तो ठीक एक हल है। $D=0$ हो तो देखिए कि क्या पूरा दूसरा समीकरण, अचर पद समेत, पहले का गुणज है। अगर है तो अनंत हल हैं, और नहीं है तो कोई हल नहीं।

4. प्रतिस्थापन विधि

जिस समीकरण में किसी चर का गुणांक 1 या −1 हो, उससे वह चर अलग निकालना आसान है। उसे दूसरे समीकरण में रखिए, तो सिर्फ़ एक चर बचेगा। उसे हल कीजिए और मान वापस रखकर दूसरा चर निकालिए।

जैसे $x+y=9$ से $x=9-y$ मिलता है। दूसरा समीकरण $2x-y=6$ हो, तो उसमें $x$ की जगह $9-y$ रखिए:

$$2(9-y)-y=6$$

कोष्ठक खोलने पर $18-2y-y=6$ आता है। इससे $3y=12$ और $y=4$। अब $x=9-4=5$। उत्तर में दोनों मान लिखिए: $x=5$ और $y=4$। सिर्फ़ $y$ निकालकर रुकिए मत।

कोष्ठक का गुणा पूरा कीजिए: $2(9-y)=18-2y$ होता है, $18-y$ नहीं। पूरा व्यंजक घटाना हो, तो उसे कोष्ठक में रखिए। जैसे $x=3-2y$ को $5-x$ में रखने पर $5-(3-2y)=2+2y$ बनता है।

5. विलोपन विधि

विलोपन में किसी एक चर के गुणांक बराबर बनाकर उसे काट देते हैं। बराबर गुणांकों के चिह्न एक जैसे हों तो समीकरण घटाइए, और उलटे हों तो जोड़िए। गुणा पूरे समीकरण में होगा, दाईं ओर के अचर पद में भी।

$2x+3y=13$ और $3x+2y=12$ में $x$ हटाना है। इसके लिए पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा कीजिए:

$$6x+9y=39$$

$$6x+4y=24$$

पहले में से दूसरा घटाने पर $5y=15$, यानी $y=3$। इसे पहले समीकरण में रखने पर $2x+9=13$, तो $x=2$।

घटाते समय दूसरी पंक्ति के सारे चिह्न बदल जाते हैं। जैसे $(6x+9y)-(6x-4y)=13y$ होगा। कॉपी में “पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करने पर” जैसी छोटी पंक्ति लिखिए, ताकि पढ़ने वाला समझ सके कि नई पंक्तियाँ कहाँ से आईं।

अगर विलोपन के बाद $0=0$ बचे, तो दोनों समीकरण एक ही रेखा हैं और अनंत हल हैं। अगर $0=5$ जैसी गलत बात आए, तो कोई हल नहीं है। इसे $x=0$ या $y=0$ मत समझ लीजिए।

6. वज्र-गुणन विधि

मानक रूप के दो समीकरणों के लिए:

$$\frac{x}{b_1c_2-b_2c_1}=\frac{y}{c_1a_2-c_2a_1}=\frac{1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

जब हल अद्वितीय हो, तो $x$ और $y$ को अलग-अलग लिखना ज़्यादा आसान रहता है:

$$x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

$$y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{a_1b_2-a_2b_1}$$

पहले $a_1$, $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$ चिह्न के साथ लिख लीजिए, फिर गुणनफल निकालिए। दोनों हर में एक ही क्रम रखिए। हर 0 आए, तो इन भिन्नों से हल नहीं निकलेगा, तब संगति की जाँच कीजिए। हर शून्य न हो और कोई अंश 0 आए, तो बस वह चर 0 है।

प्रश्न में विधि बताई गई हो, तो उसी विधि से हल दिखाइए। विधि न दी हो, तो जिसमें कम गणना हो वही चुनिए। आख़िर में दोनों मान मूल समीकरणों में रखकर देखिए, चिह्न की गलती पकड़ में आ जाएगी।

7. शब्दों से समीकरण बनाना

पहली पंक्ति में साफ़ लिखिए कि $x$ और $y$ किसे माना है, इकाई के साथ: कीमत हो तो रुपये, आयु हो तो वर्ष, चाल हो तो किमी/घंटा। फिर हर शर्त से अलग समीकरण बनाइए। मन से सीधे उत्तर मत लिखिए, समीकरण बनाना भी हल का हिस्सा है।

“5 वर्ष बाद पिता की आयु पुत्र की आयु की तीन गुनी होगी” का मतलब है $F+5=3(S+5)$। इसे $F+5=3S+5$ लिखना गलत है। 5 वर्ष दोनों की आयु में जुड़ेंगे, और फिर पुत्र की पूरी आयु $S+5$ को 3 से गुणा करना है।

अंकों वाले सवाल में उत्तर मिलने पर देख लीजिए कि दोनों अंक 0 से 9 के बीच हैं और दसक का अंक 0 नहीं है। आयु या लंबाई ऋणात्मक आए, तो समीकरण और गणना दोबारा देखिए। आख़िर में उत्तर प्रश्न की भाषा में लिखिए, जैसे “कॉपी की कीमत … रुपये और पेन की कीमत … रुपये है।”

8. चाल, दूरी और धारा

$$\text{दूरी}=\text{चाल}\times\text{समय}$$

$$\text{समय}=\frac{\text{दूरी}}{\text{चाल}}$$

शांत जल में नाव की चाल $u$ और धारा की चाल $v$ हो, तो धारा के साथ (अनुकूल) नाव की चाल $u+v$ होगी और धारा के उलटे (प्रतिकूल) चाल $u-v$। उलटी दिशा में आगे बढ़ने के लिए $u\gt v$ चाहिए। दोनों चालें मालूम हों, तो उन्हें जोड़ने पर $2u$ और घटाने पर $2v$ मिलता है।

इकाइयाँ एक जैसी रखिए। चाल किमी/घंटा में हो और समय 30 मिनट दिया हो, तो समय $1/2$ घंटा लिखिए। चाल दूरी को समय से भाग देकर निकलती है, सिर्फ़ दूरी देखकर चाल मत लिखिए। कुछ सवालों में $1/u$ और $1/v$ आते हैं। उन्हें नए चर मानकर रैखिक समीकरण बना सकते हैं, जैसा अगले भाग में है।

9. रैखिक रूप में बदलने वाले समीकरण

चर हर में हों, तो पहले शर्त लिखिए कि हर शून्य नहीं है। जैसे $1/x$ और $1/y$ वाले सवाल में $x\ne0$ और $y\ne0$ चाहिए। फिर $u=1/x$ और $v=1/y$ रखिए। इससे $2/x+3/y=8$ बदलकर $2u+3v=8$ हो जाता है। दूसरे समीकरण को भी इन्हीं चरों में बदल लीजिए।

नए युग्म से $u$ और $v$ मिल जाएँ, तो मूल चर वापस निकालना मत भूलिए। अगर $u=2$ मिला, तो $x=1/2$ होगा, $x=2$ नहीं। कभी $u=0$ आए, तो मूल युग्म का हल नहीं है, क्योंकि $1/x=0$ किसी $x$ से नहीं होता।

हर में $x+1$ हो, तो शर्त $x\ne-1$ है और $u=1/(x+1)$ रखिए। अंत में $x=1/u-1$ निकालिए। उत्तर मिलने के बाद शर्तें देखिए और मान मूल समीकरणों में रखकर जाँच लीजिए।

10. कॉपी में हल कैसे लिखें

सबसे पहले प्रश्न से बने समीकरण लिखिए और उन्हें (1), (2) नाम दीजिए। किसे कितने से गुणा किया, कहाँ क्या रखा, कौन-सी पंक्तियाँ जोड़ीं या घटाईं, यह छोटे वाक्य में बताते चलिए। हर मुख्य गणना नई पंक्ति में लिखिए। अंत में दोनों चरों के मान, या जो राशियाँ माँगी गई हैं, साफ़ लिखिए।

ग्राफ में अक्षों के नाम, मूल बिंदु, मापनी, दोनों रेखाओं के समीकरण और प्रतिच्छेद बिंदु अंकित कीजिए। ग्राफ से हल माँगा हो, तो बीजगणित वाला उत्तर ग्राफ की जगह नहीं ले सकता, वह सिर्फ़ जाँच के काम आता है। आगे दिए ग्राफ की तरह अपने ग्राफ पेपर पर अभ्यास कीजिए।

सबसे आम गलतियाँ ये हैं:

• दायाँ पक्ष बाईं ओर लाते समय चिह्न बदले बिना $c$ लिख देना।
• घटाते समय दूसरी पंक्ति के सारे चिह्न न बदलना।
• “संगत” का मतलब सिर्फ़ एक हल समझ लेना।
• $0/0$ वाला अनुपात बना देना।
• नए चर का मान लिखकर मूल चर निकालना भूल जाना।

आख़िर में दो पंक्तियों में उत्तर जाँचने की आदत डालिए, ज़्यादातर गलतियाँ वहीं पकड़ में आ जाती हैं।

हल की जाँच

क्या $(2,3)$, $2x+y=7$ और $x-y=-1$ का हल है?

हल:

पहले समीकरण में $x=2$ और $y=3$ रखते हैं:

$$2(2)+3=4+3=7$$

यह सही है। अब दूसरे समीकरण में:

$$2-3=-1$$

यह भी सही है। दोनों समीकरण संतुष्ट हो गए, इसलिए $(2,3)$ दिए गए युग्म का हल है।

ग्राफ से प्रतिच्छेद

$x+y=4$ और $x-y=2$ को ग्राफ से हल कीजिए।

हल:

पहले समीकरण से $y=4-x$ और दूसरे से $y=x-2$ मिलता है। हर रेखा के तीन बिंदु:

दोनों अक्षों पर एक खाना एक इकाई मानकर बिंदु अंकित कीजिए और हर रेखा के बिंदुओं को मिलाकर रेखा खींचिए।

दोनों रेखाएँ $(3,1)$ पर मिलती हैं, इसलिए $x=3$, $y=1$। मिलाकर देखिए: $3+1=4$ और $3-1=2$, दोनों सही हैं।

प्रतिस्थापन से हल

$x+y=9$ और $2x-y=6$ हल कीजिए।

हल:

पहले समीकरण से $x$ को अलग करते हैं:

$$x=9-y$$

इसे दूसरे समीकरण में रखने पर,

$$2(9-y)-y=6$$

$$18-3y=6\quad\Rightarrow\quad y=4$$

अब $x=9-4=5$। तो $x=5$, $y=4$।

विलोपन से हल

$3x+2y=16$ और $2x-3y=2$ हल कीजिए।

हल:

पहले समीकरण को 3 से और दूसरे को 2 से गुणा करने पर,

$$9x+6y=48$$

$$4x-6y=4$$

दोनों को जोड़ने पर $y$ कट जाता है: $13x=52$, यानी $x=4$। इसे पहले समीकरण में रखने पर,

$$12+2y=16\quad\Rightarrow\quad y=2$$

इसलिए $x=4$, $y=2$। दूसरे समीकरण में रखकर देखिए: $8-6=2$।

वज्र-गुणन से हल

$2x+3y=13$ और $3x-2y=0$ को वज्र-गुणन से हल कीजिए।

हल:

मानक रूप $2x+3y-13=0$ और $3x-2y+0=0$ है। यानी $a_1=2$, $b_1=3$, $c_1=-13$ और $a_2=3$, $b_2=-2$, $c_2=0$।

$$x=\frac{b_1c_2-b_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}=\frac{3(0)-(-2)(-13)}{2(-2)-3(3)}=\frac{-26}{-13}=2$$

$$y=\frac{c_1a_2-c_2a_1}{a_1b_2-a_2b_1}=\frac{(-13)(3)-0(2)}{-13}=3$$

तो $x=2$, $y=3$। जाँच: $4+9=13$ और $6-6=0$।

कोई हल क्यों नहीं

$2x+3y=7$ और $4x+6y=15$ की संगति जाँचिए।

हल:

पहले समीकरण को 2 से गुणा कीजिए:

$$4x+6y=14$$

पर दूसरा समीकरण कहता है $4x+6y=15$। एक ही $4x+6y$ 14 और 15 दोनों नहीं हो सकता। घटाने पर $0=1$ आता है, जो गलत है। इसलिए युग्म असंगत है और इसका कोई हल नहीं है। ग्राफ पर ये दोनों रेखाएँ अलग-अलग समांतर होंगी।

अनंत हल का अर्थ

$x-2y=3$ और $3x-6y=9$ हल कीजिए।

हल:

दूसरा समीकरण पहले का ठीक 3 गुना है, इसलिए दोनों एक ही रेखा दर्शाते हैं।

पहले समीकरण से $x=3+2y$। अब $y=t$ मान लीजिए, तो

$$(x,y)=(3+2t,t)$$

जहाँ $t$ कोई भी वास्तविक संख्या है। जैसे $(3,0)$, $(5,1)$ और $(1,-1)$ हल हैं, पर हल इन्हीं तक सीमित नहीं हैं। इसलिए युग्म के अनंत हल हैं।

अज्ञात गुणांक की शर्त

$kx+2y=5$ और $3x+6y=15$ के लिए एक हल तथा अनंत हल की शर्त निकालिए।

हल:

गुणांकों से,

$$D=k(6)-3(2)=6(k-1)$$

एक हल के लिए $D\ne0$ चाहिए, यानी $k\ne1$। इसलिए $k\ne1$ होने पर एक हल है।

$k=1$ रखने पर समीकरण $x+2y=5$ और $3x+6y=15$ बनते हैं, और दूसरा पहले का पूरा 3 गुना है। इसलिए $k=1$ पर अनंत हल हैं। $k$ का कोई भी मान हो, यह युग्म असंगत नहीं होता।

कॉपी और पेन की कीमत

2 कॉपियों और 3 पेन की कीमत 84 रुपये है। 3 कॉपियों और 2 पेन की कीमत 101 रुपये है। प्रत्येक की कीमत निकालिए।

हल:

मान लीजिए एक कॉपी की कीमत $x$ रुपये और एक पेन की कीमत $y$ रुपये है। तब,

$$2x+3y=84\qquad (1)$$

$$3x+2y=101\qquad (2)$$

(1) को 3 से और (2) को 2 से गुणा करने पर,

$$6x+9y=252,\qquad6x+4y=202$$

पहले में से दूसरा घटाने पर $5y=50$, यानी $y=10$। इसे (1) में रखिए:

$$2x+30=84\quad\Rightarrow\quad x=27$$

इसलिए एक कॉपी 27 रुपये की और एक पेन 10 रुपये का है। दूसरी शर्त से मिलाइए: $3(27)+2(10)=101$।

पिता और पुत्र की आयु

पिता की वर्तमान आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 10 वर्ष पहले पिता की आयु पुत्र की आयु की 5 गुनी थी। वर्तमान आयु ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए पिता की वर्तमान आयु $F$ वर्ष और पुत्र की $S$ वर्ष है। पहली शर्त से,

$$F=3S\qquad (1)$$

10 वर्ष पहले दोनों की आयु 10 वर्ष कम थी, इसलिए,

$$F-10=5(S-10)$$

$$F-5S=-40\qquad (2)$$

अब (2) में $F=3S$ रखिए: $3S-5S=-40$, यानी $S=20$। फिर $F=3(20)=60$।

इसलिए पिता की आयु 60 वर्ष और पुत्र की आयु 20 वर्ष है। जाँच: 10 वर्ष पहले आयु 50 और 10 वर्ष थी, और सचमुच $50=5(10)$।

अंक उलटने वाला प्रश्न

दो अंकों की संख्या के अंकों का योग 11 है। संख्या में 27 जोड़ने पर अंक उलट जाते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए दसक का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है। तब संख्या $10x+y$ होगी।

$$x+y=11\qquad (1)$$

$$10x+y+27=10y+x$$

$$9x-9y=-27\quad\Rightarrow\quad x-y=-3\qquad (2)$$

(1) और (2) को जोड़ने पर $2x=8$, तो $x=4$। फिर (1) से $y=7$।

इसलिए संख्या 47 है। देख लीजिए: $4+7=11$ और $47+27=74$।

नाव और धारा की चाल

एक नाव धारा के अनुकूल 36 किमी दूरी 3 घंटे में और प्रतिकूल 24 किमी दूरी 4 घंटे में तय करती है। शांत जल में नाव और धारा की चाल निकालिए।

हल:

अनुकूल चाल $=36/3=12$ किमी/घंटा और प्रतिकूल चाल $=24/4=6$ किमी/घंटा है।

मान लीजिए शांत जल में नाव की चाल $u$ और धारा की चाल $v$ किमी/घंटा है। तब

$$u+v=12,\qquad u-v=6$$

दोनों को जोड़ने पर $2u=18$, यानी $u=9$। फिर $v=12-9=3$।

इसलिए शांत जल में नाव की चाल 9 किमी/घंटा और धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। इन चालों से दूरियाँ फिर निकालकर देखिए: $(9+3)3=36$ किमी और $(9-3)4=24$ किमी।

व्युत्क्रम वाले समीकरण

$\frac2x+\frac3y=13$ तथा $\frac3x-\frac2y=0$ हल कीजिए।

हल:

यहाँ $x\ne0$ और $y\ne0$ होना चाहिए। मान लीजिए $u=1/x$ और $v=1/y$। तब,

$$2u+3v=13,\qquad3u-2v=0$$

पहले को 2 से और दूसरे को 3 से गुणा करने पर,

$$4u+6v=26,\qquad9u-6v=0$$

जोड़ने पर $13u=26$, यानी $u=2$। फिर $6-2v=0$ से $v=3$। अब मूल चर वापस निकालिए:

$$x=\frac1u=\frac12,\qquad y=\frac1v=\frac13$$

दोनों मान अशून्य हैं, यानी शर्त पूरी है। मूल समीकरणों में रखकर देखिए: $2/(1/2)+3/(1/3)=4+9=13$ और $3/(1/2)-2/(1/3)=6-6=0$। इसलिए $x=\frac12$, $y=\frac13$।

बदले हुए हर वाले समीकरण

$\frac1{x+1}+\frac1{y-1}=3$ और $\frac2{x+1}-\frac1{y-1}=0$ हल कीजिए।

हल:

यहाँ शर्तें $x\ne-1$ और $y\ne1$ हैं। मान लीजिए $u=1/(x+1)$ और $v=1/(y-1)$। तब

$$u+v=3,\qquad2u-v=0$$

जोड़ने पर $3u=3$, यानी $u=1$। फिर $v=3-1=2$। अब मूल चरों पर लौटते हैं:

$$\frac1{x+1}=1\quad\Rightarrow\quad x+1=1\quad\Rightarrow\quad x=0$$

$$\frac1{y-1}=2\quad\Rightarrow\quad y-1=\frac12\quad\Rightarrow\quad y=\frac32$$

दोनों शर्तें पूरी हैं। मूल समीकरणों में बाएँ पक्ष $1+2=3$ और $2-2=0$ आते हैं। इसलिए $x=0$, $y=3/2$।