अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

बहुपद और घात: चर की हर घात पूर्ण संख्या होनी चाहिए, गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। अशून्य अचर की घात 0 होती है और शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं है। घात बताने से पहले समान पद जोड़ लीजिए, फिर सबसे बड़ी घात देखिए।

शून्यक: $p(k)=0$ हो तो $k$ शून्यक है और $(x-k)$ गुणनखंड। ऋणात्मक शून्यक में चिह्न पर ध्यान दीजिए: −2 शून्यक हो तो गुणनखंड $x+2$ है।

ग्राफ: ग्राफ जहाँ x-अक्ष से मिलता है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक वास्तविक शून्यक हैं। ग्राफ x-अक्ष को सिर्फ़ छुए, तब भी वह बिंदु शून्यक देता है। द्विघात के 0, 1 या 2 अलग वास्तविक शून्यक हो सकते हैं, और घात $n$ वाले अशून्य बहुपद के ज़्यादा-से-ज़्यादा $n$।

द्विघात के सूत्र

$ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हों, तो

$$S=\alpha+\beta=-\frac ba,\qquad P=\alpha\beta=\frac ca$$

योग $S$ और गुणनफल $P$ दिए हों, तो एक बहुपद है:

$$x^2-Sx+P$$

इसे किसी भी अशून्य संख्या से गुणा करने पर भी शून्यक वही रहते हैं। व्युत्क्रम शून्यकों के लिए $P=1$ और एक-दूसरे के ऋणात्मक शून्यकों के लिए $S=0$ रखिए।

$$\alpha^2+\beta^2=S^2-2P$$

$$(\alpha-\beta)^2=S^2-4P$$

$$\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac SP\quad(P\ne0)$$

योग के सूत्र में $-b$ लेना है। जैसे $2x^2-5x+2$ में $b=-5$ है, तो योग $5/2$ होगा।

त्रिघात के सूत्र

$ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\ne0$) के शून्यक $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$ हों, तो

$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca$$

$$\alpha\beta\gamma=-\frac da$$

तीनों के गुणनफल में ऋण चिह्न मत भूलिए।

भाग और शेषफल

$$p(x)=g(x)q(x)+r(x),\qquad g(x)\ne0$$

शेषफल या तो 0 होगा, या उसकी घात भाजक की घात से कम होगी। घटाते समय गुणनफल के सारे चिह्न बदलिए। उत्तर जाँचने के लिए भाजक × भागफल + शेषफल कीजिए।

$x-k$ से भाग देने पर शेषफल $p(k)$ और $x+k$ से भाग देने पर $p(-k)$ आता है। शेषफल 0 हो, तभी भाजक गुणनखंड है।

उपयोगी सर्वसमिकाएँ

$$(u+v)^2=u^2+2uv+v^2$$

$$(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$$

$$(u+v)(u-v)=u^2-v^2$$

यह सारांश एक बार पढ़ लीजिए। इसके बाद 25 प्रश्नों की क्विज़ है। उसे बिना हल देखे कीजिए और अंत में अपने उत्तर मिलाइए।