बहुपद: समझें, हल करें और अभ्यास करें

बहुपद

किसी आयताकार खेत की चौड़ाई $x$ मीटर हो और लंबाई उससे 3 मीटर ज़्यादा, तो खेत का क्षेत्रफल $x(x+3)=x^2+3x$ वर्ग मीटर होगा। $x^2+3x$ जैसे व्यंजक, जिनमें चर की घात 0, 1, 2, 3 जैसी पूर्ण संख्या हो, बहुपद कहलाते हैं।

इस पाठ में हम बहुपद की पहचान, उसके शून्यक, शून्यकों और गुणांकों का रिश्ता और बहुपदों का भाग सीखेंगे। हर उदाहरण कॉपी पर साथ-साथ हल करते चलिए।

1. बहुपद और उसकी घात

एक चर $x$ के बहुपद में ऐसे पद जुड़े होते हैं जिनमें $x$ की घात पूर्ण संख्या हो, यानी 0, 1, 2, 3, … में से कोई। गुणांक कोई भी वास्तविक संख्या हो सकता है। इसलिए $3x^2-5x+7$, $\frac12x^3+x$ और $\sqrt2x+1$ तीनों बहुपद हैं।

अब $x+\frac1x$ देखिए। यहाँ $\frac1x=x^{-1}$ है, यानी चर की घात ऋणात्मक है, इसलिए यह बहुपद नहीं है। इसी तरह $\sqrt x+2=x^{1/2}+2$ भी बहुपद नहीं है, क्योंकि घात $\frac12$ पूर्ण संख्या नहीं है। $\sqrt2x$ और $\sqrt x$ का फ़र्क पहचानिए: पहले में वर्गमूल सिर्फ़ 2 पर है, दूसरे में चर ही वर्गमूल के अंदर है।

अशून्य बहुपद में चर की सबसे बड़ी घात को उसकी घात कहते हैं। $7x^3-2x+9$ की घात 3 है। इसमें $x^2$ वाला पद नहीं है, पर इससे घात नहीं बदलती। कोई अशून्य अचर, जैसे 8, भी बहुपद है और उसकी घात 0 है, क्योंकि $8=8x^0$। शून्य बहुपद की घात परिभाषित नहीं होती।

घात बताने से पहले समान पद जोड़ लीजिए। $x^3-x^3+4x^2+1$ में $x^3$ वाले पद कट जाते हैं, इसलिए इसकी घात 2 है।

घात 1 वाले बहुपद को रैखिक, घात 2 वाले को द्विघात और घात 3 वाले को त्रिघात बहुपद कहते हैं। $ax^2+bx+c$ द्विघात तभी है जब $a\ne0$ हो, वरना $x^2$ वाला पद ही गायब हो जाएगा।

2. बहुपद का मान और शून्यक

$p(x)=x^2-5x+6$ में $x=2$ रखिए:

$$p(2)=2^2-5\times2+6=4-10+6=0$$

मान 0 आया, इसलिए 2 इस बहुपद का शून्यक है। सामान्य रूप से, $p(k)=0$ हो, तो $k$ को $p(x)$ का शून्यक कहते हैं। याद रखिए कि शून्यक $x$ का एक मान है, कोई बहुपद या गुणनखंड नहीं।

इसी बहुपद में $x=1$ रखने पर $p(1)=1-5+6=2$ आता है, जो 0 नहीं है। इसलिए 1 शून्यक नहीं है।

ऋणात्मक संख्या रखते समय कोष्ठक ज़रूर लगाइए। $(-2)^2=4$ होता है, जबकि $-2^2=-4$।

रैखिक बहुपद $ax+b$ ($a\ne0$) का शून्यक निकालने के लिए $ax+b=0$ लिखिए। इससे $x=-\frac ba$ मिलता है। जैसे $3x-12$ का शून्यक 4 है।

3. ग्राफ पर शून्यक

ग्राफ $y=p(x)$ पर जहाँ $y=0$ हो, वह बिंदु x-अक्ष पर होता है। इसलिए ग्राफ जहाँ x-अक्ष से मिलता है, उन बिंदुओं के x-निर्देशांक ही बहुपद के वास्तविक शून्यक हैं। y-अक्ष पर कटने वाला बिंदु आम तौर पर शून्यक नहीं बताता।

$y=x^2-4$ के कुछ मान इस सारणी में देखिए:

ग्राफ x-अक्ष को $(-2,0)$ और $(2,0)$ पर काटता है। इसलिए इसके दो अलग वास्तविक शून्यक −2 और 2 हैं।

अब $y=(x-1)^2$ लीजिए। इसका मान कभी ऋणात्मक नहीं होता। इसका ग्राफ x-अक्ष को $(1,0)$ पर बस छूता है, पार नहीं करता। फिर भी 1 इसका शून्यक है। यहाँ दोनों शून्यक बराबर हैं, यानी 1 और 1, इसलिए ग्राफ पर x-अक्ष से मिलने का बिंदु एक ही दिखता है।

$y=x^2+1$ का मान हमेशा धनात्मक रहता है, तो इसका ग्राफ x-अक्ष से मिलता ही नहीं। इसका कोई वास्तविक शून्यक नहीं है।

यानी द्विघात बहुपद के 0, 1 या 2 अलग वास्तविक शून्यक हो सकते हैं। घात 2 देखकर हमेशा दो अलग शून्यक मान लेना गलत है। घात $n$ वाले अशून्य बहुपद के ज़्यादा-से-ज़्यादा $n$ अलग वास्तविक शून्यक होते हैं। त्रिघात बहुपद का ग्राफ x-अक्ष से कम-से-कम एक बार ज़रूर मिलता है, और उसके अधिकतम तीन अलग वास्तविक शून्यक हो सकते हैं।

4. गुणनखंड से शून्यक

बहुपद के गुणनखंड बन जाएँ, तो हर गुणनखंड को 0 के बराबर रखिए। जैसे,

$$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6$$

$$=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$$

$(x-2)(x-3)=0$ तभी होगा जब कम-से-कम एक गुणनखंड 0 हो। इसलिए $x=2$ या $x=3$।

मध्य पद तोड़ने के लिए ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग $x$ के गुणांक के बराबर हो और गुणनफल, $x^2$ के गुणांक और अचर पद के गुणनफल के बराबर। $2x^2-7x+3$ में गुणनफल $2\times3=6$ और योग −7 चाहिए, तो संख्याएँ −6 और −1 होंगी। चुनी हुई संख्याओं का योग और गुणनफल एक बार मिला लीजिए, चिह्न की गलती वहीं पकड़ में आ जाती है।

एक बात हमेशा याद रखिए: अगर $k$ शून्यक है, तो $(x-k)$ गुणनखंड है। यानी −3 शून्यक हो तो गुणनखंड $(x+3)$ होगा, $(x-3)$ नहीं। उलटी तरफ़ से भी यही सच है: $(x+3)$ गुणनखंड है, तो $p(-3)=0$।

5. द्विघात बहुपद के शून्यक और गुणांक

मान लीजिए $ax^2+bx+c$ ($a\ne0$) के शून्यक $\alpha$ और $\beta$ हैं। तब

$$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$$

दायाँ पक्ष खोलिए:

$$=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$$

अब दोनों ओर समान घात वाले पदों के गुणांक बराबर कीजिए:

$$\alpha+\beta=-\frac ba,\qquad\alpha\beta=\frac ca$$

योग वाले सूत्र में ऋण चिह्न है, गुणनफल वाले में नहीं। $2x^2-7x+3$ में $a=2$, $b=-7$ और $c=3$ है। तो योग $-\frac{-7}{2}=\frac72$ और गुणनफल $\frac32$ है। $b$ को −7 ही लिखिए, सिर्फ़ 7 नहीं।

इन सूत्रों से शून्यक निकाले बिना उनका योग और गुणनफल मिल जाता है। पर अगर प्रश्न कहे कि शून्यक निकालकर संबंध की सत्यता जाँचिए, तो पहले शून्यक निकालिए, फिर उनका योग और गुणनफल सूत्र वाले मानों से मिलाइए। सिर्फ़ सूत्र लिख देने से जाँच पूरी नहीं होती।

6. शून्यक दिए हों तो बहुपद बनाना

अगर शून्यक $\alpha$ और $\beta$ दिए हों, तो एक द्विघात बहुपद यह है:

$$x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta$$

शून्यक 4 और −1 हों, तो योग 3 और गुणनफल −4 है। इसलिए एक बहुपद $x^2-3x-4$ है। यहाँ $x^2$ का गुणांक 1 लिया गया है।

इस बहुपद को किसी भी अशून्य संख्या से गुणा करने पर भी शून्यक वही रहते हैं। जैसे $2x^2-6x-8$ के शून्यक भी 4 और −1 ही हैं। इसीलिए उत्तर में "एक बहुपद" लिखा जाता है: सिर्फ़ शून्यक देने से बहुपद तय नहीं होता, जब तक $x^2$ का गुणांक 1 न माँगा गया हो।

दो खास स्थितियाँ याद रखिए। शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो उनका गुणनफल 1 होता है। एक शून्यक दूसरे का ऋणात्मक हो, तो उनका योग 0 होता है। यह शर्त सीधे गुणांक वाले सूत्र में रख दीजिए, शून्यक अलग से निकालने की ज़रूरत नहीं।

7. शून्यकों से बने दूसरे व्यंजक

मान लीजिए $S=\alpha+\beta$ और $P=\alpha\beta$। चूँकि $(\alpha+\beta)^2=\alpha^2+2\alpha\beta+\beta^2$, इसलिए

$$\alpha^2+\beta^2=S^2-2P$$

इसी तरह,

$$\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac SP\quad(P\ne0)$$

$$(\alpha-\beta)^2=S^2-4P$$

जैसे $x^2-5x+6$ में $S=5$ और $P=6$ है, तो शून्यकों के वर्गों का योग $25-12=13$ हुआ। कई विद्यार्थी वर्गों का योग सीधे $S^2$, यानी 25, लिख देते हैं। बीच वाला $2P$ घटाना मत भूलिए।

8. त्रिघात बहुपद के शून्यक और गुणांक

$ax^3+bx^2+cx+d$ ($a\ne0$) के तीन शून्यक $\alpha$, $\beta$ और $\gamma$ हों, तो

$$\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba$$

$$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca$$

$$\alpha\beta\gamma=-\frac da$$

तीसरे सूत्र का ऋण चिह्न ध्यान रखिए। यहाँ द्विघात के गुणनफल वाला सूत्र सीधे नहीं चलेगा। जैसे $x^3-6x^2+11x-6$ के शून्यक 1, 2 और 3 हैं। इनका योग 6 है, दो-दो के गुणनफलों का योग $2+6+3=11$ है और तीनों का गुणनफल 6 है। तीनों मान गुणांकों से मेल खाते हैं।

अगर त्रिघात का एक शून्यक पता हो, तो उसके रैखिक गुणनखंड से भाग देकर द्विघात भागफल निकालिए। फिर उस द्विघात के गुणनखंड करके बाकी दो शून्यक मिल जाते हैं।

9. विभाजन एल्गोरिथ्म

संख्याओं में भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल होता है, जैसे $17=5\times3+2$। बहुपदों में भी ऐसा ही है। बहुपद $p(x)$ को अशून्य बहुपद $g(x)$ से भाग देने पर

$$p(x)=g(x)q(x)+r(x)$$

यहाँ $q(x)$ भागफल और $r(x)$ शेषफल है। शेषफल या तो शून्य होगा, या उसकी घात भाजक की घात से कम होगी। इसलिए द्विघात से भाग देने पर शेषफल ज़्यादा-से-ज़्यादा रैखिक हो सकता है।

भाग शुरू करने से पहले दोनों बहुपदों को घटती घात में लिखिए। कोई पद गायब हो, तो उसकी जगह 0 वाला पद रख दीजिए, जैसे $x^3+1=x^3+0x^2+0x+1$। अब भाज्य के सबसे बड़े पद को भाजक के सबसे बड़े पद से भाग दीजिए। जो पद मिले, उससे पूरे भाजक को गुणा कीजिए और भाज्य में से घटाइए। घटाते समय कोष्ठक लगाइए, क्योंकि हर पद का चिह्न बदलता है। जो बचे, उस पर यही तरीका दोहराते जाइए।

शेषफल की घात जब तक भाजक के बराबर या ज़्यादा है, भाग अधूरा है। अंत में भाजक × भागफल + शेषफल करके देख लीजिए कि भाज्य वापस मिलता है। अगर भाज्य की घात शुरू से ही भाजक से छोटी हो, तो भागफल 0 और शेषफल खुद भाज्य होता है।

10. शेषफल प्रमेय

$p(x)$ को $(x-k)$ से भाग देने पर शेषफल $p(k)$ आता है। कारण सीधा है: विभाजन एल्गोरिथ्म $p(x)=(x-k)q(x)+r$ में $x=k$ रखिए, तो भाजक वाला पद 0 हो जाता है और $p(k)=r$ बचता है। जैसे $x^2+3x+2$ को $x-1$ से भाग देने पर शेषफल $p(1)=6$ है।

भाजक $x+2$ हो, तो $x=-2$ रखिए, 2 नहीं। शेषफल 0 आए, तो भाजक उस बहुपद का गुणनखंड है। हाँ, अगर प्रश्न में पूरा भागफल माँगा है, तो सिर्फ़ शेषफल निकालकर मत रुकिए, लंबा भाग कीजिए।

अब नीचे के हल कॉपी पर खुद करके देखिए। गुणांकों के चिह्न, शून्यक और गुणनखंड के फ़र्क और भाग में घटाते समय के चिह्नों पर खास नज़र रखिए।

बहुपद की घात

$5x^3-2x^3+4x^2-7$ की घात बताइए।

हल:

पहले समान पद जोड़ लेते हैं:

$$5x^3-2x^3+4x^2-7=3x^3+4x^2-7$$

अब चर की सबसे बड़ी घात 3 है, और उस पद का गुणांक 3 शून्य नहीं है। इसलिए बहुपद की घात 3 है।

दिए मान पर बहुपद का मान

$p(x)=2x^2-3x+1$ हो तो $p(-2)$ निकालिए।

हल:

$x$ की जगह कोष्ठक के साथ $-2$ रखिए:

$$p(-2)=2(-2)^2-3(-2)+1$$

$$=2\times4+6+1=15$$

इस तरह $p(-2)=15$। ध्यान दीजिए कि $-3(-2)=+6$ है।

रैखिक बहुपद का शून्यक

$5x+15$ का शून्यक निकालिए।

हल:

शून्यक पर बहुपद का मान 0 होता है, इसलिए

$$5x+15=0$$

$$5x=-15\quad\Rightarrow\quad x=-3$$

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $5(-3)+15=0$। तो शून्यक −3 है।

गुणनखंड और सत्यापन

$2x^2-7x+3$ के शून्यक निकालिए तथा योग और गुणनफल के संबंध जाँचिए।

हल:

मध्य पद को तोड़ते हैं:

$$2x^2-7x+3=2x^2-6x-x+3$$

$$=2x(x-3)-(x-3)=(2x-1)(x-3)$$

अब $2x-1=0$ या $x-3=0$। इसलिए शून्यक $\frac12$ और 3 हैं।

अब $a=2$, $b=-7$ और $c=3$ लेकर संबंध जाँचिए।

योग $=\frac12+3=\frac72=-\frac{-7}{2}=-\frac ba$

गुणनफल $=\frac12\times3=\frac32=\frac ca$

दोनों मान मिल गए, इसलिए दोनों संबंध सत्य हैं।

योग और गुणनफल से बहुपद

शून्यकों का योग −4 और गुणनफल 3 है। एक द्विघात बहुपद लिखिए।

हल:

योग और गुणनफल से बहुपद यों बनता है:

$$x^2-(\text{शून्यकों का योग})x+\text{शून्यकों का गुणनफल}$$

$$=x^2-(-4)x+3=x^2+4x+3$$

तो एक बहुपद $x^2+4x+3$ है।

एक शून्यक से अज्ञात गुणांक

$x^2+kx-12$ का एक शून्यक 3 है। $k$ और दूसरा शून्यक निकालिए।

हल:

3 शून्यक है, इसलिए $p(3)=0$ होगा:

$$9+3k-12=0\quad\Rightarrow\quad3k=3\quad\Rightarrow\quad k=1$$

दूसरा शून्यक $\beta$ मानिए। शून्यकों का गुणनफल $-12$ है, तो $3\beta=-12$, यानी $\beta=-4$।

इसलिए $k=1$ और दूसरा शून्यक −4 है। योग भी मिलता है: $3+(-4)=-1=-k$।

व्युत्क्रम शून्यक

$3x^2-10x+k$ के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं। $k$ ज्ञात कीजिए।

हल:

व्युत्क्रम संख्याओं का गुणनफल 1 होता है। यहाँ शून्यकों का गुणनफल $\frac ca=\frac k3$ है। इसलिए

$$\frac{k}{3}=1\quad\Rightarrow\quad k=3$$

तो $k=3$ है।

वर्गों का योग

$x^2-6x+5$ के शून्यक $\alpha,\beta$ हों तो $\alpha^2+\beta^2$ निकालिए।

हल:

गुणांकों से,

$$\alpha+\beta=6,\qquad\alpha\beta=5$$

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$

$$=6^2-2\times5=36-10=26$$

तो उत्तर 26 है।

व्युत्क्रमों का योग

$2x^2-5x+2$ के शून्यक $\alpha,\beta$ हैं। $\frac1\alpha+\frac1\beta$ निकालिए।

हल:

गुणांकों से,

$$\alpha+\beta=\frac52,\qquad\alpha\beta=\frac22=1$$

गुणनफल 0 नहीं है, इसलिए दोनों व्युत्क्रम लिखे जा सकते हैं।

$$\frac1\alpha+\frac1\beta=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{5/2}{1}=\frac52$$

तो उत्तर $\frac52$ है।

त्रिघात के तीन संबंध

$2x^3-3x^2-11x+6$ के शून्यक −2, $\frac12$, 3 हैं। गुणांकों के संबंध जाँचिए।

हल:

यहाँ $a=2$, $b=-3$, $c=-11$ और $d=6$ है।

योग $=-2+\frac12+3=\frac32=-\frac ba$

दो-दो के गुणनफलों का योग:

$$(-2)\frac12+\frac12(3)+3(-2)=-1+\frac32-6=-\frac{11}{2}=\frac ca$$

तीनों का गुणनफल $=(-2)\times\frac12\times3=-3=-\frac da$

इस तरह तीनों संबंध सत्य हैं।

बहुपद में लंबा भाग

$2x^3+3x^2-5x+6$ को $x+2$ से भाग दीजिए।

हल:

भागफल का पहला पद $2x^3\div x=2x^2$ है। इससे $x+2$ को गुणा करके घटाइए:

$$(2x^3+3x^2-5x+6)-(2x^3+4x^2)=-x^2-5x+6$$

अगला पद $-x^2\div x=-x$। फिर घटाइए:

$$(-x^2-5x+6)-(-x^2-2x)=-3x+6$$

अगला पद $-3x\div x=-3$। घटाने पर,

$$(-3x+6)-(-3x-6)=12$$

12 की घात भाजक से कम है, तो भाग पूरा हुआ। भागफल $2x^2-x-3$ और शेषफल 12 है।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $(x+2)(2x^2-x-3)+12=2x^3+3x^2-5x+6$।

द्विघात भाजक से भाग

$x^3-3x^2+5x-3$ को $x^2-2x+1$ से भाग दीजिए।

हल:

भागफल का पहला पद $x^3\div x^2=x$ है। भाजक को $x$ से गुणा करके घटाइए:

$$(x^3-3x^2+5x-3)-(x^3-2x^2+x)=-x^2+4x-3$$

अगला पद $-x^2\div x^2=-1$। फिर घटाइए:

$$(-x^2+4x-3)-(-x^2+2x-1)=2x-2$$

बचे हुए $2x-2$ की घात 1 है, जो भाजक की घात 2 से कम है। भागफल $x-1$ और शेषफल $2x-2$ है।

शेषफल और गुणनखंड

$p(x)=x^3-4x+1$ को $x-2$ से भाग देने पर शेषफल क्या होगा? क्या $x-2$ गुणनखंड है?

हल:

शेषफल प्रमेय से शेषफल $p(2)$ होगा।

$$p(2)=2^3-4\times2+1=8-8+1=1$$

तो शेषफल 1 है। शेषफल 0 नहीं है, इसलिए $x-2$ इसका गुणनखंड नहीं है।

एक शून्यक से बाकी शून्यक

$x^3-4x^2+x+6$ का एक शून्यक 2 है। बाकी शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

2 शून्यक है, तो $x-2$ गुणनखंड है। अब $x-2$ से भाग दीजिए। भागफल के पद $x^2$, $-2x$ और $-3$ बनते हैं:

$$(x^3-4x^2+x+6)-(x^3-2x^2)=-2x^2+x+6$$

$$(-2x^2+x+6)-(-2x^2+4x)=-3x+6$$

$$(-3x+6)-(-3x+6)=0$$

शेषफल 0 आया। भागफल $x^2-2x-3=(x-3)(x+1)$ है।

इसलिए $p(x)=(x-2)(x-3)(x+1)$, और बाकी शून्यक 3 और −1 हैं।