पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित और वस्तुनिष्ठ अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर लिखित प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे के हल से अपना हर चरण मिलाइए। वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में भी अंदाज़े से विकल्प मत चुनिए, कॉपी पर छोटी-सी गणना करके देखिए।

द्विघात बहुपद के शून्यक

$3x^2-x-4$ के शून्यक ज्ञात कीजिए।

हल:

मध्य पद तोड़ने के लिए ऐसी संख्याएँ चाहिए जिनका गुणनफल $3\times(-4)=-12$ और योग −1 हो। ये 3 और −4 हैं:

$$3x^2-x-4=3x^2+3x-4x-4$$

$$=3x(x+1)-4(x+1)=(3x-4)(x+1)$$

अब $3x-4=0$ से $x=\frac43$ और $x+1=0$ से $x=-1$।

इसलिए शून्यक $\frac43$ और −1 हैं।

शून्यक और गुणांकों के संबंध की जाँच

$x^2-3$ के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच संबंध की सत्यता जाँचिए।

हल:

शून्यक के लिए,

$$x^2-3=0\quad\Rightarrow\quad x=\sqrt3\ \text{या}\ x=-\sqrt3$$

यहाँ $a=1$, $b=0$ और $c=-3$ है। $x$ वाला पद नहीं है, इसीलिए $b=0$ लिया।

शून्यकों का योग $=\sqrt3-\sqrt3=0=-b/a$

शून्यकों का गुणनफल $=\sqrt3(-\sqrt3)=-3=c/a$

दोनों मान मिल गए, इसलिए दोनों संबंध सत्य हैं।

द्विघात भाजक से पूरा भाग

$x^4-2x^3-x+2$ को $x^2-3x+2$ से भाग दीजिए।

हल:

भाज्य में $x^2$ वाला पद नहीं है, इसलिए उसे $x^4-2x^3+0x^2-x+2$ लिखिए। पहला पद $x^4\div x^2=x^2$। भाजक को $x^2$ से गुणा करके घटाइए:

$$(x^4-2x^3+0x^2-x+2)-(x^4-3x^3+2x^2)=x^3-2x^2-x+2$$

अगला पद $x^3\div x^2=x$। फिर घटाइए:

$$(x^3-2x^2-x+2)-(x^3-3x^2+2x)=x^2-3x+2$$

आख़िरी पद $x^2\div x^2=1$। अब जो बचा है, वह ठीक भाजक के बराबर है, इसलिए घटाने पर शेषफल 0 आता है।

तो भागफल $x^2+x+1$ और शेषफल 0 है।

गायब पदों वाला भाज्य

$x^3+1$ को $x+1$ से भाग दीजिए।

हल:

भाज्य में $x^2$ और $x$ वाले पद नहीं हैं, इसलिए इसे $x^3+0x^2+0x+1$ लिखिए। इससे घटाते समय हर पद अपनी सही जगह रहता है।

पहला पद $x^3\div x=x^2$। घटाने पर,

$$(x^3+0x^2+0x+1)-(x^3+x^2)=-x^2+1$$

अगला पद $-x^2\div x=-x$। घटाने पर,

$$(-x^2+0x+1)-(-x^2-x)=x+1$$

अंत में $x\div x=1$, और घटाने पर शेषफल 0 बचता है।

इसलिए भागफल $x^2-x+1$ और शेषफल 0 है। यह $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ से भी मेल खाता है।

शेषफल प्रमेय का प्रयोग

$x^2+2x-3$ को $x-2$ से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए $p(x)=x^2+2x-3$। भाजक $x-2$ है, तो शेषफल प्रमेय से शेषफल $p(2)$ होगा।

$$p(2)=2^2+2\times2-3=4+4-3=5$$

इसलिए शेषफल 5 है।