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सारांश: प्रायिकता एक नज़र में

1. मूल सूत्र और उसकी शर्त

जब परिणाम सीमित हों और सभी प्रारंभिक परिणाम बराबर संभावना वाले हों, तब

$$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$$

यहाँ $n(E)$ अनुकूल परिणामों की संख्या है और $n(S)$ सभी संभव परिणामों की संख्या। सिर्फ़ दो परिणाम होने से दोनों की संभावना बराबर नहीं हो जाती। थैले में हर गेंद के निकलने की संभावना बराबर हो सकती है, हर रंग की नहीं। प्रायिकता की कोई इकाई नहीं होती।

2. सीमा और पूरक घटना

$$0\le P(E)\le1$$

असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है और निश्चित घटना की 1।

$$P(E)+P(\overline E)=1$$

$$P(\overline E)=1-P(E)$$

पूरक घटना को $E^{\prime}$ भी लिखते हैं। जीत और हार पूरक तभी हैं, जब बराबरी या कोई तीसरा परिणाम संभव न हो।

3. सिक्कों के परिणाम

$H$ = चित, $T$ = पट। निष्पक्ष सिक्के उछालने पर एक सिक्के के 2, दो सिक्कों के 4 और तीन सिक्कों के 8 समसंभाव्य परिणाम होते हैं। दो सिक्कों के परिणाम $HH,HT,TH,TT$ हैं:

• ठीक एक चित: $HT,TH$, प्रायिकता $1/2$
• कम-से-कम एक चित: $HH,HT,TH$, प्रायिकता $3/4$
• अधिकतम एक चित: $HT,TH,TT$, प्रायिकता $3/4$
• दोनों चित: सिर्फ़ $HH$, प्रायिकता $1/4$

तीन सिक्कों में ठीक दो चित के तीन परिणाम हैं और कोई चित नहीं का सिर्फ़ एक। इसलिए कम-से-कम एक चित की प्रायिकता $1-1/8=7/8$ है।

4. पासे की गिनती

एक निष्पक्ष पासे पर $1,2,3,4,5,6$ आते हैं। अभाज्य अंक 2, 3, 5 हैं और भाज्य 4, 6। 1 न अभाज्य है, न भाज्य।

दो निष्पक्ष पासों में $6\times6=36$ क्रमित युग्म होते हैं, और $(2,5)$ व $(5,2)$ अलग गिने जाते हैं। योग 2 और योग 12 एक-एक तरीके से आते हैं, जबकि योग 7 छह तरीकों से। इसलिए सारे योग बराबर संभावना वाले नहीं हैं।

“9 से अधिक योग” में 10, 11 और 12 गिनिए, 9 नहीं। “अधिकतम 9” में 9 भी आता है। दोनों अंक बराबर वाले युग्म छह हैं।

5. ताश की ज़रूरी संख्याएँ

52 पत्ते, चार प्रकार और हर प्रकार में 13 पत्ते। लाल 26 और काले 26। इक्के, बादशाह, बेगम और गुलाम, हर एक 4। तस्वीर वाले पत्ते सिर्फ़ J, Q, K हैं, कुल 12, और इनमें लाल तस्वीर वाले 6। इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं है।

“लाल या बादशाह” में $26+4-2=28$ पत्ते आते हैं, जबकि “लाल और बादशाह” में सिर्फ़ 2। जो पत्ते दोनों समूहों में हों, उन्हें एक ही बार गिनिए। अगर कुछ पत्ते हटा दिए गए हों, तो कुल संख्या बची हुई गड्डी की लीजिए।

6. गेंदें, पर्चियाँ और महीने

कुल गेंदें गिनते समय सारे रंग जोड़िए। “लाल नहीं” में बाकी सभी रंग आते हैं। अज्ञात गेंदों की संख्या कुल में भी जोड़नी होती है।

1 से $n$ तक कुल $n$ पर्चियाँ होती हैं, और $a$ से $b$ तक, दोनों सिरों को मिलाकर, $b-a+1$। 1 अभाज्य नहीं है, पर पूर्ण वर्ग है। “2 या 3 से विभाज्य” में जो संख्याएँ दोनों से विभाज्य हैं, उन्हें दो बार मत गिनिए।

बारह महीनों में से बराबर संभावना से एक चुना जाए, तो 30 दिन वाले 4 महीने हैं और 31 दिन वाले 7। साल का कोई दिन चुनने वाला सवाल इससे अलग है।

7. कैलेंडर, क्षेत्रफल और आखिरी जाँच

साधारण वर्ष में $365=52\times7+1$ और अधिवर्ष में $366=52\times7+2$ दिन होते हैं। सातों शुरुआती वार बराबर संभावना वाले माने जाएँ, तो 53 रविवार की प्रायिकता साधारण वर्ष में $1/7$ और अधिवर्ष में $2/7$ है।

पूरे क्षेत्र में कहीं भी बराबर संभावना से बिंदु चुना जाए, तो प्रायिकता = अनुकूल क्षेत्रफल / कुल क्षेत्रफल। आनुभविक प्रायिकता = घटना जितनी बार घटी / कुल परीक्षण। थोड़े परीक्षणों में यह सैद्धांतिक मान से अलग आ सकती है।

उत्तर इस क्रम में लिखिए: कुल परिणाम → अनुकूल परिणाम → सूत्र → सरल भिन्न। अंत में देख लीजिए कि उत्तर 0 और 1 के बीच है, कोई परिणाम दो बार नहीं गिना गया और “कम-से-कम”, “ठीक” या “अधिकतम” वाली शर्त सही लगी है।