प्रायिकता: समझें और अभ्यास करें

प्रायिकता

कल बारिश होगी या नहीं, पासे पर कौन-सा अंक आएगा, थैले में हाथ डालने पर किस रंग की गेंद निकलेगी: इन बातों का नतीजा पहले से तय नहीं होता। प्रायिकता बताती है कि ऐसी किसी घटना के होने की संभावना कितनी है, और इस संभावना को एक संख्या से लिखती है। यह संख्या हमेशा 0 और 1 के बीच रहती है। ठीक 0 या ठीक 1 भी हो सकती है।

इस अध्याय में लंबी गणना नहीं है। असली काम है परिणामों को सही-सही गिनना। एक सिक्के के दो परिणाम होते हैं, दो सिक्कों के चार और दो पासों के 36 क्रमित परिणाम। हर सवाल में पहले यह सोचिए कि बराबर संभावना किसकी है: किस गेंद की, किस पत्ते की या किस परिणाम की। फिर अनुकूल परिणाम गिनिए और उनका अनुपात निकालिए।

कॉपी में हल लिखते समय सिर्फ़ भिन्न मत लिखिए। दो पंक्तियों में यह भी दिखाइए कि कुल परिणाम कितने हैं और अनुकूल कौन-कौन से हैं। इससे उत्तर साफ़ दिखता है और अपनी गलती पकड़ना भी आसान हो जाता है।

1. प्रयोग, परिणाम और घटना

पासा फेंकना एक प्रयोग है। पासे पर 4 आना इस प्रयोग का एक परिणाम है। और सम संख्या आना एक घटना है, जिसमें तीन परिणाम शामिल हैं: 2, 4 और 6। सभी संभव परिणामों के समुच्चय को $S$ से लिखते हैं।

$$S=\{1,2,3,4,5,6\}$$

अगर $E$ सम संख्या आने की घटना है, तो $E=\{2,4,6\}$। यहाँ कुल परिणामों की संख्या $n(S)=6$ है और अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E)=3$। जिस घटना में सिर्फ़ एक परिणाम हो, उसे प्रारंभिक घटना कहते हैं। पासे पर 4 आना प्रारंभिक घटना है, जबकि सम अंक आना तीन प्रारंभिक परिणामों से मिलकर बनी घटना है।

समसंभाव्य का मतलब है बराबर संभावना वाले। निष्पक्ष पासे के छहों फलक समसंभाव्य माने जाते हैं। पर ध्यान रखिए, सिर्फ़ दो परिणाम होने से दोनों की संभावना आधी-आधी नहीं हो जाती। किसी मैच में जीत और हार दो ही परिणाम हों, तब भी ज़रूरी नहीं कि दोनों की संभावना बराबर हो। इसलिए प्रश्न की शर्त ध्यान से पढ़िए।

2. सैद्धांतिक प्रायिकता का सूत्र

जब परिणाम गिनती में सीमित हों और सभी प्रारंभिक परिणाम समसंभाव्य हों, तब

$$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}$$

यानी अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से भाग दीजिए। निष्पक्ष पासे पर 5 आने के लिए अनुकूल परिणाम एक है और कुल परिणाम छह, इसलिए प्रायिकता $1/6$ है। 5 से कम आने के लिए 1, 2, 3 और 4 अनुकूल हैं, तो प्रायिकता $4/6=2/3$ है।

भिन्न को सरल ज़रूर कीजिए, पर उससे पहले अनुकूल संख्या और कुल संख्या लिख दीजिए, ताकि जाँचने वाले को दिखे कि आपने क्या गिना है। प्रायिकता की कोई इकाई नहीं होती, इसलिए उत्तर के साथ सेमी, अंक या वस्तुएँ मत लिखिए। $1/4$, 0.25 और 25% एक ही प्रायिकता को लिखने के अलग-अलग ढंग हैं।

सबसे आम गलती यहीं होती है। मान लीजिए थैले में 9 लाल और 1 नीली गेंद है। रंग दो हैं, फिर भी लाल की प्रायिकता $9/10$ है। बराबर संभावना हर गेंद की है, हर रंग की नहीं।

3. असंभव, निश्चित और पूरक घटना

जिस घटना का कोई अनुकूल परिणाम ही न हो, वह असंभव घटना है और उसकी प्रायिकता 0 होती है। साधारण पासे पर 8 आना असंभव है। जिस घटना में सारे परिणाम अनुकूल हों, वह निश्चित घटना है और उसकी प्रायिकता 1 होती है। उसी पासे पर 7 से कम अंक आना निश्चित है। इसलिए किसी भी घटना के लिए

$$0\le P(E)\le1$$

किसी घटना $E$ का न होना उसकी पूरक घटना कहलाता है। इसे $\overline E$ लिखते हैं, और कई प्रश्नों में $E^{\prime}$ भी।

$$P(E)+P(\overline E)=1$$

$$P(\overline E)=1-P(E)$$

जैसे पासे पर 6 न आने की प्रायिकता $1-1/6=5/6$ है। एक बात समझ लीजिए: अगर मैच बराबरी पर छूट सकता हो या रद्द हो सकता हो, तो “हार” और “जीत नहीं” एक ही बात नहीं रहती। जीत और हार को पूरक तभी मानिए, जब प्रश्न में यही दो परिणाम संभव बताए गए हों।

4. एक, दो और तीन सिक्के

चित को $H$ और पट को $T$ लिखते हैं। एक निष्पक्ष सिक्के के दो समसंभाव्य परिणाम होते हैं। दो निष्पक्ष सिक्के उछालने पर परिणाम ये हैं:

$$S=\{HH,HT,TH,TT\}$$

$HT$ का मतलब है पहला सिक्का चित और दूसरा पट। $TH$ में यह क्रम उलटा है, इसलिए यह अलग परिणाम है। दोनों सिक्के एक जैसे दिखें, तब भी गिनते समय उन्हें पहला और दूसरा सिक्का मान लीजिए। बहुत-से विद्यार्थी “दो चित, एक चित, कोई चित नहीं” को तीन बराबर संभावना वाले परिणाम मान लेते हैं। यह गलत है, क्योंकि एक चित दो तरीकों से आता है।

तीन निष्पक्ष सिक्कों में $2\times2\times2=8$ परिणाम होते हैं। इन्हें एक तय क्रम से लिखिए: HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT। पहले चार में पहला सिक्का चित है और बाकी चार में पट। इस तरह लिखने से न कोई परिणाम छूटता है, न दोबारा आता है।

एक ही सिक्के को बार-बार उछालने पर भी यही सूची काम आती है। पिछले उछाल का नतीजा अगले उछाल पर कोई असर नहीं डालता। कई बार लगातार पट आ गया, तो अब चित “ज़रूर आएगा”, ऐसा सोचना गलत है।

5. ठीक, कम-से-कम और अधिकतम का अर्थ

दो सिक्कों में ठीक एक चित के परिणाम HT और TH हैं। कम-से-कम एक चित में इन दोनों के साथ HH भी आता है। अधिकतम एक चित में HT और TH के साथ TT आता है। और “कोई चित नहीं” का मतलब सिर्फ़ TT है।

पासे पर “3 से कम” में 1 और 2 आते हैं, जबकि “अधिकतम 3” में 1, 2 और 3। इसी तरह “3 से अधिक” में 4, 5, 6 आते हैं और “कम-से-कम 3” में 3, 4, 5, 6। हर बार देखिए कि सीमा वाली संख्या खुद गिनी जाएगी या नहीं।

जब अनुकूल परिणाम बहुत हों, तो पूरक घटना से काम जल्दी होता है। तीन सिक्कों में कम-से-कम एक चित के सात परिणाम लिखने के बजाय “कोई चित नहीं” की प्रायिकता $1/8$ निकालिए और उसे 1 में से घटा दीजिए। पर “ठीक एक चित” में यह तरीका फ़ायदा नहीं देता, क्योंकि उसके पूरक में शून्य, दो और तीन चित वाले सारे परिणाम आ जाते हैं। वहाँ सीधे गिनिए।

6. एक पासे के छह परिणाम

साधारण निष्पक्ष पासे पर 1 से 6 तक अंक होते हैं। इनमें सम अंक 2, 4, 6 हैं और विषम अंक 1, 3, 5। अभाज्य अंक 2, 3, 5 हैं और भाज्य अंक 4, 6। ध्यान रहे, 1 न अभाज्य है, न भाज्य। इसीलिए “अभाज्य नहीं” और “भाज्य” एक ही घटना नहीं हैं, क्योंकि “अभाज्य नहीं” में 1 भी आ जाता है।

जब दो शर्तों के बीच “या” हो, तो जो परिणाम किसी भी एक शर्त को पूरा करे, उसे गिनिए। 2 या 5 आने में दो परिणाम हैं। सम या अभाज्य आने में 2, 3, 4, 5, 6 आते हैं। यहाँ 2 दोनों समूहों में है, पर उसे एक ही बार गिना जाएगा।

“और” का मतलब है कि एक ही परिणाम दोनों शर्तें पूरी करे। सम और अभाज्य, दोनों एक साथ, सिर्फ़ 2 है। सवाल कितना भी आसान लगे, अनुकूल अंक लिख लीजिए। इससे 1 को अभाज्य मान लेने जैसी गलती नहीं होती।

7. दो पासों के 36 क्रमित युग्म

पहले पासे पर छह अंक आ सकते हैं, और उनमें से हर एक के साथ दूसरे पासे पर भी छह। इसलिए दो निष्पक्ष पासे फेंकने पर कुल $6\times6=36$ समसंभाव्य युग्म बनते हैं। $(2,5)$ और $(5,2)$ अलग-अलग युग्म हैं। कुल परिणाम $6+6=12$ नहीं होते।

योग 2 सिर्फ़ $(1,1)$ से आता है, जबकि योग 7 छह युग्मों से। यानी 2, 3, …, 12 के ग्यारह योग बराबर संभावना वाले नहीं हैं। इसलिए हर में हमेशा 36 रखिए और जो योग चाहिए, उसके युग्म गिनिए।

युग्म गिनने के लिए पहले पासे का अंक तय कीजिए और देखिए कि दूसरे पर क्या आना चाहिए। योग 8 के लिए पहले पासे पर 1 हो, तो कोई युग्म नहीं बनता। पहले पर 2 हो तो दूसरे पर 6, पहले पर 3 हो तो 5, और इसी तरह आगे। इस तरह $(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)$ मिलते हैं। पाँच अनुकूल परिणाम हैं, तो प्रायिकता $5/36$ है।

“अंतर शून्य” का मतलब है दोनों अंक बराबर। गुणनफल वाले सवाल में युग्म अलग से गिनिए, योग वाली सूची से नहीं। “कम-से-कम एक 6” में $(6,6)$ दोनों पासों की सूची में आता है, इसलिए उसे एक बार घटाना पड़ता है। ऐसे सवालों में 6 × 6 की सारणी बना लेना बहुत काम आता है।

8. गेंदें, पर्चियाँ और खराब वस्तुएँ

थैले से गेंद निकालने वाले सवालों में माना जाता है कि सारी गेंदें एक जैसे आकार की हैं और अच्छी तरह मिलाई गई हैं, ताकि हर गेंद के निकलने की संभावना बराबर रहे। हर में थैले की सारी गेंदें आएँगी और अंश में सिर्फ़ वे, जिनके बारे में पूछा गया है। “लाल नहीं” में बाकी सभी रंग आते हैं, सिर्फ़ नीला नहीं।

अगर कोई संख्या अज्ञात हो, तो उसे कुल में भी जोड़िए। 4 लाल और $x$ नीली गेंदें हों, तो लाल की प्रायिकता $4/(4+x)$ है, $4/x$ नहीं। समीकरण हल करने के बाद मिला मान वापस रखकर देख लीजिए कि वही प्रायिकता आती है या नहीं।

क्रमांकित पर्चियों में दोनों सिरों की संख्याएँ भी गिनी जाती हैं। 11 से 30 तक $30-11+1=20$ पर्चियाँ हैं, और 1 से 20 तक भी 20। इनमें अभाज्य संख्याएँ, पूर्ण वर्ग या किसी संख्या के गुणज गिनने हों, तो उनकी सूची लिख लीजिए। खराब वस्तुओं वाले सवाल में अच्छी वस्तुएँ = कुल − खराब होती हैं।

अगर कुछ वस्तुएँ पहले ही निकालकर बाहर रख दी गई हों, तो बची हुई कुल संख्या और बची हुई अनुकूल संख्या से नई भिन्न बनाइए। पुराना हर वैसे ही मत लिख दीजिए।

9. ताश की गड्डी

जोकर के बिना साधारण गड्डी में 52 पत्ते होते हैं। इनके चार प्रकार हैं: हुकुम, चिड़ी, पान और ईंट, और हर प्रकार में 13 पत्ते होते हैं। हुकुम और चिड़ी काले होते हैं, पान और ईंट लाल। तो लाल पत्ते 26 हैं और काले भी 26।

हर प्रकार में एक इक्का, 2 से 10 तक के नौ अंक वाले पत्ते, एक गुलाम, एक बेगम और एक बादशाह होता है। तस्वीर वाले पत्ते सिर्फ़ गुलाम, बेगम और बादशाह हैं। इस तरह पूरी गड्डी में तस्वीर वाले 12, इक्के 4, बादशाह 4 और लाल बादशाह 2 हैं। इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं है, यह याद रखिए।

“काला और बादशाह” में दोनों शर्तें एक साथ चाहिए, इसलिए सिर्फ़ 2 पत्ते अनुकूल हैं। “काला या बादशाह” में 26 काले पत्तों के साथ 2 लाल बादशाह भी जुड़ेंगे, यानी 28 पत्ते। जो पत्ते दोनों समूहों में हों, उन्हें दो बार गिन लिया तो उत्तर बड़ा आ जाएगा। अगर गड्डी से कुछ पत्ते पहले ही हटा दिए गए हों, तो अंश और हर दोनों बची हुई गड्डी के हिसाब से निकालिए।

10. महीने और कैलेंडर

अगर बारह महीनों में से कोई एक बराबर संभावना से चुनना हो, तो हर 12 होगा। 30 दिन वाले महीने चार हैं: अप्रैल, जून, सितंबर और नवंबर। 31 दिन वाले महीने सात हैं, और फरवरी इन दोनों से अलग है। “कोई महीना चुनना” और “साल का कोई दिन चुनना” अलग सवाल हैं। दिन चुनने पर लंबे महीनों के आने की संभावना ज़्यादा हो जाती है।

साधारण वर्ष में $365=52\times7+1$ दिन होते हैं। पूरे 52 सप्ताहों में हर वार 52 बार आ जाता है। जो एक दिन बचता है, वह जिस वार का होगा, वह वार 53 बार आएगा। यह बचा हुआ दिन सातों में से कोई भी वार हो सकता है, इसलिए 53 रविवार होने की प्रायिकता $1/7$ है।

अधिवर्ष में $366=52\times7+2$ दिन होते हैं। यहाँ दो दिन बचते हैं, और वे लगातार होते हैं। जिन जोड़ों में रविवार आता है, वे दो हैं: शनि-रवि और रवि-सोम। इसलिए प्रायिकता $2/7$ है। ऐसे सवालों में यह पता नहीं होता कि साल किस वार से शुरू होगा, इसलिए सातों वार बराबर संभावना वाले माने जाते हैं।

11. चक्र और क्षेत्रफल वाले प्रश्न

मान लीजिए एक निष्पक्ष घूमने वाला चक्र चार बराबर भागों में बँटा है और उन पर 1, 2, 3, 4 लिखे हैं। तब हर भाग पर रुकने की प्रायिकता $1/4$ है। चित्र में 1 और 3 वाले भाग रंगीन हैं। इसलिए विषम संख्या पर रुकने की प्रायिकता $2/4=1/2$ है।

भाग बराबर न हों, तो सिर्फ़ चार नाम होने से हर भाग की प्रायिकता $1/4$ नहीं हो जाती। तब उस भाग के कोण को 360° से भाग दीजिए। जैसे 90° वाले भाग की प्रायिकता $90/360=1/4$ है।

अगर किसी क्षेत्र के अंदर कोई बिंदु बिना पक्षपात के, यानी पूरे क्षेत्र में बराबर संभावना से, चुना जाए, तो

$$P(E)=\frac{\text{अनुकूल क्षेत्र का क्षेत्रफल}}{\text{कुल क्षेत्र का क्षेत्रफल}}$$

आयत के अंदर बने वृत्त वाले सवाल में वृत्त के क्षेत्रफल को आयत के क्षेत्रफल से भाग दीजिए। परिधियों का अनुपात या “दो आकृतियाँ हैं, तो आधा” जैसा अनुपात मत लगाइए। और चित्र में दिया माप त्रिज्या है या व्यास, यह ज़रूर देख लीजिए।

12. प्रयोग से मिली प्रायिकता और उत्तर लिखने का ढंग

अब तक हमने परिणाम गिनकर प्रायिकता निकाली, जिसे सैद्धांतिक प्रायिकता कहते हैं। जब सचमुच प्रयोग करके देखा जाए, तो जो अनुपात मिलता है उसे आनुभविक प्रायिकता कहते हैं:

$$\frac{\text{घटना घटित होने की संख्या}}{\text{कुल परीक्षणों की संख्या}}$$

किसी ने सिक्का 100 बार उछाला और 47 बार चित आया, तो यह अनुपात 0.47 है। निष्पक्ष सिक्के की सैद्धांतिक प्रायिकता $1/2$ है, पर इसका मतलब यह नहीं कि हर 100 उछालों में ठीक 50 चित आएँगे। हाँ, उछाल जितने ज़्यादा होते जाते हैं, अनुपात आम तौर पर $1/2$ के आसपास टिकने लगता है।

उत्तर-पुस्तिका में पहले प्रयोग और कुल समसंभाव्य परिणाम लिखिए। फिर अनुकूल परिणामों की सूची दीजिए, या बताइए कि उनकी संख्या कैसे आई। उसके बाद सूत्र, मान और सरल भिन्न लिखिए। पूरक घटना से हल कर रहे हों, तो साफ़ लिखिए कि किस घटना का पूरक लिया है।

आखिर में देख लीजिए कि उत्तर 0 और 1 के बीच है, “से कम” या “अधिकतम” जैसी शर्त ठीक लगी है और कोई परिणाम दो बार नहीं गिना गया। दो पासों में क्रम, ताश में साझा पत्ते और गेंदों में कुल संख्या पर ख़ास ध्यान दीजिए।

पूरक घटना से उत्तर

बारिश होने की प्रायिकता $0.35$ है। बारिश न होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

मान लीजिए बारिश होना घटना $E$ है। तब बारिश न होना इसकी पूरक घटना $\overline E$ है।

$$P(\overline E)=1-P(E)$$

$$P(\overline E)=1-0.35=0.65$$

इसलिए बारिश न होने की प्रायिकता 0.65 है। दोनों को जोड़कर देखिए: $0.35+0.65=1$, तो उत्तर ठीक है।

एक पासे पर अभाज्य अंक

एक निष्पक्ष पासा एक बार फेंका जाता है। अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

हल:

संभव परिणाम $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ हैं और छहों बराबर संभावना वाले हैं। इनमें अभाज्य अंक 2, 3 और 5 हैं, यानी $E=\{2,3,5\}$। 1 अभाज्य नहीं है, इसलिए उसे नहीं गिना।

$$P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac36=\frac12$$

तो अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता $1/2$ है।

दो सिक्कों पर ठीक एक चित

दो निष्पक्ष सिक्के स्वतंत्र रूप से उछाले जाते हैं। ठीक एक चित आने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

चित को $H$ और पट को $T$ से लिखते हैं। चार समसंभाव्य परिणाम हैं:

$$S=\{HH,HT,TH,TT\}$$

इनमें ठीक एक चित $HT$ और $TH$ में है।

$$P(\text{ठीक एक चित})=\frac24=\frac12$$

इसलिए प्रायिकता $1/2$ है। $HT$ और $TH$ को एक ही परिणाम मत समझिए। पहले में पहला सिक्का चित है और दूसरे में दूसरा।

तीन सिक्कों पर कम-से-कम एक चित

तीन निष्पक्ष सिक्के स्वतंत्र रूप से उछाले जाते हैं। कम-से-कम एक चित आने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

कुल परिणाम $2\times2\times2=8$ हैं:

$$HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT$$

इनमें सिर्फ़ $TTT$ ऐसा परिणाम है जिसमें एक भी चित नहीं है। “कम-से-कम एक चित” की पूरक घटना यही है। इसलिए

$$P(\text{कम-से-कम एक चित})=1-\frac18=\frac78$$

तो प्रायिकता $7/8$ है। “कम-से-कम एक” में एक, दो और तीनों चित वाले सारे परिणाम आते हैं, इसीलिए पूरक घटना से हल छोटा हो गया।

दो पासों का योग सात

दो निष्पक्ष पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं। योग 7 होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

पहले पासे के हर अंक के साथ दूसरे पासे के छह अंक आ सकते हैं। इसलिए कुल समसंभाव्य क्रमित युग्म $6\times6=36$ हैं। इनमें योग 7 वाले युग्म ये हैं:

$$(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$$

चित्र में क्षैतिज अक्ष पर पहला पासा है और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर दूसरा। रंगीन खाने अनुकूल परिणाम दिखाते हैं।

$$P(\text{योग }7)=\frac6{36}=\frac16$$

इसलिए प्रायिकता $1/6$ है। योग 2 से 12 तक के मान बराबर संभावना वाले नहीं हैं, इसलिए हर 11 लेना गलत होगा।

दो पासों का गुणनफल

दो निष्पक्ष पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं। ऊपर के अंकों का गुणनफल 6 होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

कुल समसंभाव्य परिणाम 36 हैं। गुणनफल 6 देने वाले युग्म ये हैं:

$$(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$$

यानी अनुकूल परिणाम 4 हैं।

$$P(\text{गुणनफल }6)=\frac4{36}=\frac19$$

तो प्रायिकता $1/9$ है। $(2,3)$ और $(3,2)$ अलग परिणाम हैं, इसलिए दोनों गिने गए हैं।

थैले में रंगीन गेंदें

एक थैले में समान आकार की 5 लाल, 3 नीली और 2 हरी गेंदें हैं। अच्छी तरह मिलाकर एक गेंद यादृच्छया निकाली जाती है। लाल तथा लाल न होने की प्रायिकताएँ निकालिए।

हल:

कुल गेंदें $5+3+2=10$ हैं, और हर गेंद के निकलने की संभावना बराबर है।

$$P(\text{लाल})=\frac5{10}=\frac12$$

लाल के अलावा बची गेंदें $3+2=5$ हैं।

$$P(\text{लाल नहीं})=\frac5{10}=\frac12$$

इसलिए लाल और लाल न होने, दोनों की प्रायिकता $1/2$ है। रंग तीन हैं, पर हर रंग की गेंदें बराबर नहीं हैं। इसलिए लाल की प्रायिकता $1/3$ नहीं होगी।

प्रायिकता से गेंदों की संख्या

एक थैले में समान आकार की 6 लाल और कुछ नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छया निकालने पर लाल होने की प्रायिकता $2/5$ है। नीली गेंदों की संख्या निकालिए।

हल:

मान लीजिए नीली गेंदें $x$ हैं। तब कुल गेंदें $6+x$ होंगी।

$$\frac6{6+x}=\frac25$$

$$30=12+2x$$

$$18=2x\Rightarrow x=9$$

इसलिए नीली गेंदें 9 हैं। मिलाकर देख लेते हैं: कुल गेंदें 15 होंगी, और लाल की प्रायिकता $6/15=2/5$ ही आती है।

ताश में तस्वीर वाला पत्ता

जोकर रहित 52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। तस्वीर वाला पत्ता आने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

हर प्रकार में तीन तस्वीर वाले पत्ते होते हैं: गुलाम, बेगम और बादशाह। चार प्रकारों में ये कुल $4\times3=12$ हुए। इक्का तस्वीर वाला पत्ता नहीं है।

चित्र में J, Q, K का मतलब गुलाम, बेगम और बादशाह है, और A इक्का है।

$$P(\text{तस्वीर वाला पत्ता})=\frac{12}{52}=\frac3{13}$$

तो प्रायिकता $3/13$ है।

लाल पत्ता या बादशाह

52 पत्तों की अच्छी तरह फेंटी गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है। उसके लाल या बादशाह होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

लाल पत्ते 26 हैं और बादशाह 4। इनमें 2 लाल बादशाह दोनों गिनतियों में आ गए हैं, जबकि उन्हें एक ही बार गिनना है।

$$n(E)=26+4-2=28$$

$$P(E)=\frac{28}{52}=\frac7{13}$$

इसलिए प्रायिकता $7/13$ है। दूसरे ढंग से भी देख सकते हैं: सारे 26 लाल पत्ते लीजिए और उनमें 2 काले बादशाह जोड़िए। तब भी 28 पत्ते ही आते हैं।

क्रमांकित पर्चियाँ

1 से 30 तक अंकित 30 समान पर्चियों में से एक यादृच्छया चुनी जाती है। संख्या 3 या 5 से विभाज्य होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

3 से विभाज्य संख्याएँ 3, 6, 9, …, 30 हैं, यानी 10 संख्याएँ। 5 से विभाज्य संख्याएँ 5, 10, 15, 20, 25, 30 हैं, यानी 6 संख्याएँ।

इनमें 15 और 30 दोनों सूचियों में आ गए हैं, इसलिए इन 2 को एक बार घटाना होगा। अनुकूल संख्याएँ:

$$10+6-2=14$$

$$P(E)=\frac{14}{30}=\frac7{15}$$

तो प्रायिकता $7/15$ है। “या” वाले सवाल में दोनों शर्तें पूरी करने वाली संख्याएँ भी गिनी जाती हैं, पर एक-एक बार ही।

अधिवर्ष में रविवार

एक अधिवर्ष के पहले दिन के सातों वार समसंभाव्य मानकर 53 रविवार होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

अधिवर्ष में 366 दिन होते हैं।

$$366=52\times7+2$$

52 पूरे सप्ताहों में 52 रविवार तो आएँगे ही। बचे हुए दो दिन लगातार होंगे, और ये जोड़े हो सकते हैं: सोम-मंगल, मंगल-बुध, बुध-गुरु, गुरु-शुक्र, शुक्र-शनि, शनि-रवि और रवि-सोम।

इन सात जोड़ों में से दो में रविवार है: शनि-रवि और रवि-सोम।

$$P(53\text{ रविवार})=\frac27$$

इसलिए प्रायिकता $2/7$ है।

दोषपूर्ण वस्तुएँ और अच्छी वस्तुएँ

एक डिब्बे में 80 बल्ब हैं जिनमें 6 खराब हैं। एक बल्ब यादृच्छया चुना जाता है। अच्छे बल्ब की प्रायिकता निकालिए।

हल:

अच्छे बल्ब $80-6=74$ हैं और कुल बल्ब 80।

$$P(\text{अच्छा})=\frac{74}{80}=\frac{37}{40}$$

पूरक घटना से भी यही उत्तर आता है:

$$1-P(\text{खराब})=1-\frac6{80}=\frac{37}{40}$$

तो अच्छा बल्ब निकलने की प्रायिकता $37/40$ है। हर में सारे बल्ब आते हैं, अच्छे भी और खराब भी।

क्षेत्रफल के अनुपात से प्रायिकता

10 सेमी × 6 सेमी आयत के भीतर 2 सेमी त्रिज्या का वृत्त बना है। आयत में एक बिंदु समान रूप से यादृच्छया चुना जाता है। उसके वृत्त के अंदर होने की प्रायिकता निकालिए।

हल:

बिंदु पूरे आयत में कहीं भी बराबर संभावना से चुना जा रहा है, इसलिए क्षेत्रफलों का अनुपात लेंगे।

$$\text{आयत का क्षेत्रफल}=10\times6=60$$

$$\text{वृत्त का क्षेत्रफल}=\pi\times2^2=4\pi$$

$$P(\text{वृत्त के अंदर})=\frac{4\pi}{60}=\frac\pi{15}$$

इसलिए प्रायिकता $\pi/15$ है। यहाँ आकृतियों की गिनती का अनुपात नहीं, क्षेत्रफलों का अनुपात लिया गया है। दोनों क्षेत्रफल एक ही इकाई में हैं, इसलिए भाग देने पर इकाई कट जाती है और प्रायिकता बिना इकाई के आती है।