अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सारांश: ज़रूरी सूत्र एक नज़र में

पहचान और मूल

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0$$

पहले समीकरण को सरल करके सारे पद एक तरफ़ लाइए। वर्ग वाले पद कट जाएँ, तो समीकरण द्विघात नहीं रहता। $b$ और $c$ शून्य हो सकते हैं, पर $a$ नहीं। जिस मान को रखने पर बराबरी सही हो जाए, वही मूल है।

तीन विधियाँ

गुणनखंड: मध्य पद को ऐसे तोड़िए कि दोनों संख्याओं का योग $b$ और गुणनफल $ac$ हो। फिर हर गुणनखंड को 0 रखिए। $x(x-5)=0$ के दोनों मूल 0 और 5 हैं, इसलिए $x$ से भाग देकर 0 वाला मूल मत खोइए।

पूर्ण वर्ग: पहले $x^2$ का गुणांक 1 बनाइए। फिर $x^2+px$ में $(p/2)^2$ जोड़िए, और यही संख्या दूसरे पक्ष में भी जोड़िए। $(x-h)^2=k$ में $k\ge0$ हो, तो $x=h\pm\sqrt k$।

द्विघाती सूत्र:

$$D=b^2-4ac$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\qquad(D\ge0)$$

$b$ और $c$ को उनके चिह्न के साथ रखिए। जैसे $b=-5$ हो, तो $-b=5$ और $b^2=25$। पूरे अंश को $2a$ से भाग दीजिए और $\pm$ के दोनों चिह्नों से दोनों मूल निकालिए।

मूलों की प्रकृति

ग्राफ में वक्र क्रमशः x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटती है, एक बिंदु पर छूती है, या उससे मिलती ही नहीं। गुणांक पूर्णांक हों और धनात्मक $D$ पूर्ण वर्ग हो, तो मूल परिमेय होते हैं। धनात्मक $D$ पूर्ण वर्ग न हो, तो मूल अपरिमेय होते हैं।

मूलों के संबंध

$$\alpha+\beta=-\frac ba,\qquad\alpha\beta=\frac ca$$

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$

मूलों का योग $S$ और गुणनफल $P$ हो, तो एक समीकरण $x^2-Sx+P=0$ लिखा जा सकता है। कोई मूल दिया हो, तो उसे समीकरण में रखिए। बराबर मूल दिए हों, तो $D=0$ लगाइए। और $k^2=m^2$ से दोनों मान $k=\pm m$ लिखिए।

शब्द-प्रश्न और प्रतिबंध

लगातार पूर्णांक $x$ और $x+1$ होते हैं, लगातार सम या विषम पूर्णांक $x$ और $x+2$। आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, और यात्रा में समय = दूरी ÷ चाल। सबसे पहले लिखिए कि चर क्या है और उसकी इकाई क्या है, फिर समीकरण बनाइए।

दोनों मूल निकालकर प्रश्न की शर्त से मिलाइए। ऋणात्मक लंबाई, आयु या चाल नहीं ली जाती। पर संख्या वाले प्रश्न में “धनात्मक” न लिखा हो, तो ऋणात्मक उत्तर अपने-आप मत हटाइए। अंकों वाले प्रश्न में अंकों की सीमा देखिए और यह भी कि दसक का अंक 0 न हो।

चर हर में हो, तो हर शून्य नहीं होना चाहिए। वर्ग करके हल निकाला हो, तो हर मान को मूल समीकरण में रखकर जाँचिए, क्योंकि कोई फालतू मान आ सकता है। आखिर में माँगी गई राशि इकाई के साथ लिखिए।