द्विघात समीकरण: समझें, हल करें और अभ्यास करें

द्विघात समीकरण

रैखिक समीकरण में चर की सबसे बड़ी घात 1 होती थी। अब ऐसे सवाल आएँगे जिनमें किसी संख्या का वर्ग आता है या दो बदलती लंबाइयों का गुणनफल। मान लीजिए किसी आयत की चौड़ाई $x$ मीटर है और लंबाई उससे 3 मीटर ज़्यादा है। तब क्षेत्रफल $x(x+3)$ होगा। अगर क्षेत्रफल 40 वर्ग मीटर दिया हो, तो $x(x+3)=40$ लिखेंगे, यानी $x^2+3x-40=0$। इसी तरह के समीकरण को द्विघात समीकरण कहते हैं।

इस पाठ में आप ऐसे समीकरण को पहचानना, उसे तीन तरीकों से हल करना, बिना हल किए मूलों के बारे में बताना और शब्द-प्रश्नों से समीकरण बनाना सीखेंगे। कॉपी-पेन साथ रखिए और हर उदाहरण खुद भी हल करते चलिए।

1. द्विघात समीकरण की पहचान

एक चर वाले द्विघात समीकरण का मानक रूप यह है:

$$ax^2+bx+c=0,\qquad a\ne0$$

यहाँ $a$, $b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं। $b$ या $c$ शून्य हो सकते हैं, पर $a$ शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि तब $x^2$ वाला पद ही गायब हो जाएगा। इसलिए $x^2-9=0$ और $3x^2-6x=0$ दोनों द्विघात हैं, जबकि $5x-4=0$ द्विघात नहीं है।

सिर्फ़ देखने में द्विघात लगना काफ़ी नहीं है। $(x+1)^2=x^2+5$ को खोलिए। $x^2+2x+1=x^2+5$ बनता है और फिर $2x-4=0$ बचता है। वर्ग वाले पद कट गए, इसलिए यह रैखिक है। वहीं $(x+2)^2=3(x+4)$ को खोलने पर $x^2+x-8=0$ बनता है, जो द्विघात है।

पहचानने के लिए दोनों पक्ष खोलिए, सारे पद एक तरफ़ लाइए, समान पद जोड़िए और फिर सबसे बड़ी बची घात देखिए। अगर $x^2$ के गुणांक में कोई अज्ञात संख्या हो, जैसे $(k-2)x^2+3x+1=0$, तो द्विघात होने के लिए $k\ne2$ होना चाहिए।

बहुपद और समीकरण: $x^2-5x+6$ एक बहुपद है, जबकि $x^2-5x+6=0$ एक समीकरण है। बहुपद के शून्यक ही इस समीकरण के मूल होते हैं। इसलिए पिछले अध्याय में सीखे गुणनखंड और शून्यकों के संबंध यहाँ भी काम आएँगे।

2. मूल क्या होता है

$x$ की जगह जिस मान को रखने पर समीकरण सही हो जाए, वही उसका मूल है। $x^2-5x+6=0$ में $x=2$ रखिए: $4-10+6=0$। अब $x=3$ रखिए: $9-15+6=0$। दोनों बार बायाँ पक्ष 0 आया, इसलिए 2 और 3 इसके मूल हैं।

$x=1$ रखने पर $1-5+6=2$ आता है, 0 नहीं। तो 1 इसका मूल नहीं है। वस्तुनिष्ठ प्रश्न में विकल्पों के मान रखकर जाँच लेना ठीक है, पर लिखित प्रश्न में जो विधि माँगी गई हो, उसके पूरे चरण दिखाने होंगे।

किसी द्विघात समीकरण के दो अलग वास्तविक मूल हो सकते हैं, दो बराबर वास्तविक मूल हो सकते हैं, या एक भी वास्तविक मूल नहीं हो सकता। “दो बराबर मूल” का मतलब है कि वही मान दो बार आता है। जैसे $(x-2)^2=0$ के मूल $2,\ 2$ हैं। और “कोई वास्तविक मूल नहीं” का मतलब यह नहीं कि मूल 0 है। $x^2+1=0$ में 0 रखिए, तो बायाँ पक्ष 1 आता है। यानी 0 भी इसका मूल नहीं है।

3. गुणनखंड विधि

सबसे पहले समीकरण को ऐसे लिखिए कि दायाँ पक्ष 0 हो। फिर बाएँ पक्ष को दो रैखिक गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए। अगर $uv=0$ हो, तो $u=0$ या $v=0$ होगा।

$$x^2-5x+6=x^2-2x-3x+6$$

$$=x(x-2)-3(x-2)=(x-2)(x-3)$$

तो $(x-2)(x-3)=0$ से $x=2$ या $x=3$ मिलता है। उत्तर में दोनों मूल लिखिए।

$ax^2+bx+c$ में मध्य पद तोड़ने के लिए ऐसी दो संख्याएँ खोजिए जिनका योग $b$ हो और गुणनफल $ac$। जैसे $2x^2-7x+3$ में गुणनफल 6 और योग −7 चाहिए। ये संख्याएँ −6 और −1 हैं, इसलिए $-7x=-6x-x$ लिखेंगे। जब $a\ne1$ हो, तब सिर्फ़ $c$ से काम नहीं चलेगा, गुणनफल $ac$ ही लेना है।

अगर $ac$ ऋणात्मक हो, तो चुनी गई दोनों संख्याओं के चिह्न उलटे होंगे। गुणनखंडों को गुणा करके मूल बहुपद से मिला लीजिए, गलती तुरंत पकड़ में आ जाएगी।

4. जब एक मूल शून्य हो

$x^2-5x=0$ देखकर दोनों पक्षों को $x$ से भाग देने का मन करता है। ऐसा मत कीजिए, क्योंकि $x$ का मान 0 भी हो सकता है। भाग देने पर आपको सिर्फ़ $x=5$ मिलेगा और एक सही मूल छूट जाएगा। सही तरीका है $x$ को बाहर निकालना:

$$x(x-5)=0$$

$$x=0\quad\text{या}\quad x=5$$

इसी तरह $x^2=9$ से $x=\pm3$ मिलता है। सिर्फ़ धनात्मक वर्गमूल 3 लिखना अधूरा उत्तर है। हाँ, अगर $x$ कोई लंबाई है, तो दोनों मूल निकालने के बाद ऋणात्मक मान को कारण लिखकर छोड़िए। गणना में मूल भूल जाना और कारण बताकर उसे अस्वीकार करना, दोनों अलग बातें हैं।

5. पूर्ण वर्ग बनाने की विधि

यह विधि सर्वसमिका $x^2+2px+p^2=(x+p)^2$ पर टिकी है। $x^2+bx$ को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए इसमें $(b/2)^2$ जोड़ना पड़ता है, यानी $x$ के गुणांक के आधे का वर्ग। बराबरी बनी रहे, इसलिए यही संख्या दोनों पक्षों में जोड़िए।

उदाहरण के लिए $x^2+6x-7=0$ लीजिए। अचर पद को दाईं ओर ले जाइए:

$$x^2+6x=7$$

अब आधे गुणांक का वर्ग $(6/2)^2=9$ दोनों तरफ़ जोड़िए:

$$x^2+6x+9=16$$

$$(x+3)^2=16$$

तो $x+3=\pm4$ है, और मूल $1$ तथा $-7$ हैं।

अगर $x^2$ का गुणांक 1 न हो, तो पहले पूरे समीकरण को उसी गुणांक से भाग दीजिए। जैसे $2x^2+8x-10=0$ को 2 से भाग देने पर $x^2+4x-5=0$ मिलता है। अब $x^2+4x=5$ के दोनों पक्षों में 4 जोड़िए, तो $(x+2)^2=9$ बन जाता है। याद रखिए, बीच वाले गुणांक का आधा नहीं, उसके आधे का वर्ग जोड़ना है।

6. द्विघाती सूत्र कहाँ से आता है

सामान्य समीकरण $ax^2+bx+c=0$ लीजिए, जहाँ $a\ne0$ है। इसे $4a$ से गुणा कीजिए:

$$4a^2x^2+4abx+4ac=0$$

अचर पद को दूसरी ओर ले जाइए और दोनों पक्षों में $b^2$ जोड़िए:

$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$$

$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$

अगर $b^2-4ac\ge0$ है, तो दोनों तरफ़ वर्गमूल लेने पर

$$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

यहाँ $\pm$ का मतलब है कि एक बार धन चिह्न लेकर और एक बार ऋण चिह्न लेकर दोनों मूल निकालने हैं। हर में पूरा $2a$ है। संख्याएँ रखने से पहले $a$, $b$ और $c$ को चिह्न सहित अलग लिख लीजिए।

जैसे $2x^2-3x-2=0$ में $b=-3$ और $c=-2$ है। तो $-b=3$, $-4ac=+16$ और $b^2=(-3)^2=9$ होगा। ऋणात्मक संख्याओं को हमेशा कोष्ठक में रखिए, इससे चिह्न की गलती नहीं होती।

7. विवेचक और मूलों की प्रकृति

$$D=b^2-4ac$$

इस राशि को विवेचक कहते हैं। इससे मूल निकाले बिना ही पता चल जाता है कि वे कैसे होंगे। बस पहले पक्का कर लीजिए कि समीकरण द्विघात है।

$D=0$ होने पर दोनों मूल $-b/(2a)$ के बराबर होते हैं। $D\lt0$ होने पर वास्तविक संख्याओं में कोई हल नहीं है, इसलिए ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेकर कोई उत्तर मत लिखिए।

नीचे के चित्र में तीनों स्थितियाँ दिखाई गई हैं। नीली वक्र $y=ax^2+bx+c$ है और लाल बिंदु बताते हैं कि वास्तविक मूल कहाँ हैं। चित्र से बात समझ लीजिए, पर परीक्षा में निर्णय $D$ की गणना लिखकर ही दीजिए।

एक और काम की बात: अगर गुणांक पूर्णांक हों और $D\gt0$ एक पूर्ण वर्ग हो, तो मूल परिमेय होंगे। $D\gt0$ हो पर पूर्ण वर्ग न हो, तो मूल अपरिमेय होंगे। यह नियम तभी लगाइए जब गुणांक पूर्णांक या परिमेय हों।

8. अज्ञात गुणांक वाले प्रश्न

अगर कोई मूल दिया हो, तो उसे सीधे समीकरण में रख दीजिए। जैसे $x^2+kx-6=0$ का एक मूल 2 है, तो $4+2k-6=0$ से $k=1$ मिलता है। अब समीकरण $x^2+x-6=0$ है, और इसके गुणनखंडों से दूसरा मूल −3 मिलता है।

अगर बराबर मूल दिए हों, तो $D=0$ रखिए। $x^2+kx+9=0$ के लिए $k^2-36=0$ आता है, यानी $k=6$ या $k=-6$। सिर्फ़ एक मान लिखना अधूरा उत्तर है।

अगर कोई वास्तविक मूल न हो, तो $D\lt0$ लगाइए, और दो भिन्न वास्तविक मूल हों, तो $D\gt0$। $x^2-kx+4=0$ में $D=k^2-16$ है, इसलिए कोई वास्तविक मूल न होने की शर्त $-4\lt k\lt4$ है। $k=4$ और $k=-4$ पर मूल बराबर हो जाते हैं, इसलिए ये सीमा वाले मान शामिल नहीं हैं।

अगर अज्ञात संख्या $x^2$ के गुणांक $a$ में ही हो, तो पहले $a\ne0$ की शर्त लिखिए। विवेचक से ऐसा मान मिले जिससे $a=0$ हो जाए, तो उसे छोड़ दीजिए, क्योंकि तब समीकरण द्विघात नहीं रहेगा।

9. मूलों का योग और गुणनफल

अगर $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2+bx+c=0$ के मूल हैं, तो

$$\alpha+\beta=-\frac ba,\qquad\alpha\beta=\frac ca$$

एक मूल पता हो, तो गुणनफल से दूसरा मूल तुरंत मिल जाता है। पर पता मूल 0 हो, तो उससे भाग नहीं दे सकते, तब योग वाला संबंध लगाइए।

मूलों के वर्गों का योग इस सर्वसमिका से निकलता है:

$$\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$$

अगर मूलों का योग $S$ और गुणनफल $P$ दिया हो, तो एक समीकरण $x^2-Sx+P=0$ लिखा जा सकता है। वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में ये संबंध समय बचाते हैं, पर जहाँ लिखा हो “सूत्र विधि से हल कीजिए”, वहाँ पूरा द्विघाती सूत्र लगाकर दिखाना होगा।

10. शब्द-प्रश्न से समीकरण बनाना

सबसे पहले लिखिए कि $x$ क्या दर्शाता है, फिर बाकी राशियाँ $x$ के रूप में लिखिए। दो लगातार पूर्णांक $x$ और $x+1$ होते हैं, जबकि दो लगातार सम या विषम पूर्णांक $x$ और $x+2$। अगर आयत की चौड़ाई $x$ है और लंबाई उससे 5 ज़्यादा, तो क्षेत्रफल $x(x+5)$ होगा।

अब प्रश्न की शर्त से समीकरण बनाइए, उसे मानक रूप में लाइए और दोनों मूल निकालिए। फिर हर मूल को प्रश्न से मिलाइए। संख्या धनात्मक बताई गई हो, तो ऋणात्मक मूल छोड़ दीजिए। आयु और लंबाई कभी ऋणात्मक नहीं होतीं। अंकों वाले प्रश्न में हर अंक 0 से 9 तक का पूर्णांक होगा और दसक का अंक 0 नहीं हो सकता।

पर जहाँ “धनात्मक” की शर्त न हो, वहाँ ऋणात्मक उत्तर को आदत से मत काटिए। मान लीजिए दो लगातार पूर्णांकों का गुणनफल 12 है। तब $3,\ 4$ के साथ $-4,\ -3$ भी सही जोड़ा है, क्योंकि ये भी लगातार हैं और इनका गुणनफल भी 12 है। अंतिम उत्तर प्रश्न की शर्तों से तय होता है।

11. दूरी, समय और व्युत्क्रम वाले प्रश्न

समय $=\text{दूरी}/\text{चाल}$ होता है। अगर चाल $x$ है और उसे 5 बढ़ा दिया जाए, तो नई चाल $x+5$ होगी। तय दूरी $s$ के लिए दोनों समयों का अंतर $s/x-s/(x+5)$ बनेगा। समय कम हुआ या ज़्यादा, यह देखकर सही क्रम में घटाइए और दोनों समय एक ही इकाई में रखिए।

जब चर हर में हो, तो हर शून्य नहीं हो सकता। $x+1/x=5/2$ में पहले लिखिए कि $x\ne0$ है। फिर $2x$ से गुणा करने पर $2x^2-5x+2=0$ मिलता है। मिले मूलों को भिन्न वाले मूल समीकरण में रखकर देख लीजिए।

वर्ग करने पर भी कभी-कभी एक फालतू उत्तर आ जाता है। $\sqrt{x+1}=x-1$ में बायाँ पक्ष ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $x\ge1$ चाहिए। वर्ग करके बने समीकरण को हल करने के बाद हर मान को मूल समीकरण में रखकर जाँचिए।

12. सही विधि चुनना और उत्तर लिखना

गुणनखंड आसानी से बनें, तो गुणनखंड विधि सबसे तेज़ है। समीकरण वर्ग वाले रूप में हो, तो पूर्ण वर्ग विधि ठीक रहती है। बाकी हर जगह द्विघाती सूत्र सीधा काम करता है। सिर्फ़ मूलों की प्रकृति पूछी हो, तो $D$ निकालना काफ़ी है। और अगर प्रश्न में विधि बताई गई है, तो वही विधि लगाइए।

उत्तर इस क्रम में लिखिए: मानक रूप, चुनी गई विधि, अलग-अलग पंक्तियों में गणना, दोनों मूल, और कोई मूल छोड़ा हो तो उसका कारण। अंत में उत्तर प्रश्न की भाषा में दीजिए। शब्द-प्रश्न में सिर्फ़ “$x=5$” लिखकर मत छोड़िए, बल्कि “अतः चौड़ाई 5 मीटर और लंबाई 8 मीटर है” जैसा पूरा वाक्य लिखिए।

सबसे आम गलतियाँ ये हैं: $a=0$ वाले समीकरण को द्विघात मान लेना, $x$ से भाग देकर शून्य मूल खो देना, $\pm$ भूल जाना, $b$ का चिह्न गलत लेना, पूरे अंश को $2a$ से भाग न देना, और बिना सोचे ऋणात्मक लंबाई मान लेना। हल पूरा होने पर इन्हीं बातों पर एक नज़र डाल लीजिए।

सरल करके पहचान

क्या $(x+2)^2=2x(x+1)$ द्विघात समीकरण है?

हल:

दोनों पक्ष खोलने पर

$$x^2+4x+4=2x^2+2x$$

अब सारे पद दाईं ओर ले जाने पर

$$x^2-2x-4=0$$

यह $ax^2+bx+c=0$ के रूप में है, जिसमें $a=1$, $b=-2$ और $c=-4$ है। यहाँ $a\ne0$ है, इसलिए यह द्विघात समीकरण है।

मध्य पद तोड़कर हल

$2x^2-7x+3=0$ हल कीजिए।

हल:

यहाँ $ac=6$ और $b=-7$ है। −6 और −1 का योग −7 और गुणनफल 6 है।

$$2x^2-6x-x+3=0$$

$$2x(x-3)-(x-3)=0$$

$$(2x-1)(x-3)=0$$

तो $2x-1=0$ या $x-3=0$। इसलिए मूल $1/2$ और 3 हैं।

मिलाकर देखिए: मूलों का योग $7/2=-b/a$ और गुणनफल $3/2=c/a$ है।

साझा गुणनखंड वाला समीकरण

$3x^2-12x=0$ हल कीजिए।

हल:

दोनों पदों में $3x$ साझा है। इसे बाहर निकालने पर

$$3x(x-4)=0$$

तो $3x=0$ या $x-4=0$। इसलिए $x=0$ या $x=4$।

यहाँ जान-बूझकर $x$ से भाग नहीं दिया गया, वरना $x=0$ वाला मूल छूट जाता।

पूर्ण वर्ग विधि

$x^2-6x+5=0$ को पूर्ण वर्ग बनाकर हल कीजिए।

हल:

अचर पद को दाईं ओर ले जाने पर

$$x^2-6x=-5$$

अब दोनों पक्षों में $(-6/2)^2=9$ जोड़िए:

$$x^2-6x+9=4$$

$$(x-3)^2=4$$

$$x-3=\pm2$$

तो $x=5$ या $x=1$। दोनों मान समीकरण में रखकर देखिए: $25-30+5=0$ और $1-6+5=0$। दोनों सही बैठते हैं।

गुणांक 1 न हो तो पूर्ण वर्ग

$2x^2+8x-10=0$ को पूर्ण वर्ग विधि से हल कीजिए।

हल:

$x^2$ का गुणांक 2 है, इसलिए पहले पूरे समीकरण को 2 से भाग दीजिए:

$$x^2+4x-5=0\quad\Rightarrow\quad x^2+4x=5$$

अब आधे गुणांक का वर्ग, यानी 4, दोनों पक्षों में जोड़िए:

$$(x+2)^2=9$$

$$x+2=\pm3$$

इसलिए $x=1$ या $x=-5$।

सूत्र से अपरिमेय मूल

$2x^2-4x-3=0$ को सूत्र विधि से हल कीजिए।

हल:

यहाँ $a=2$, $b=-4$ और $c=-3$ है।

$$D=b^2-4ac=16+24=40$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{4\pm\sqrt{40}}4$$

$$=\frac{4\pm2\sqrt{10}}4=\frac{2\pm\sqrt{10}}2$$

तो मूल $\frac{2+\sqrt{10}}2$ और $\frac{2-\sqrt{10}}2$ हैं।

40 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसीलिए मूल अपरिमेय हैं। इनका योग 2 और गुणनफल $(4-10)/4=-3/2$ है, जो $-b/a$ और $c/a$ से मेल खाते हैं।

विवेचक से प्रकृति

$3x^2-2x+2=0$ के मूलों की प्रकृति बताइए।

हल:

यहाँ $a=3$, $b=-2$ और $c=2$ है।

$$D=b^2-4ac=(-2)^2-4(3)(2)=4-24=-20$$

$D\lt0$ है, इसलिए इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

बराबर मूल के लिए गुणांक

$x^2+kx+9=0$ के बराबर वास्तविक मूल हों, तो $k$ और मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

बराबर मूलों के लिए $D=0$ होना चाहिए।

$$k^2-4(1)(9)=0$$

$$k^2=36\quad\Rightarrow\quad k=6\text{ या }-6$$

$k=6$ पर समीकरण $(x+3)^2=0$ बनता है, तो दोनों मूल −3 हैं। $k=-6$ पर $(x-3)^2=0$ बनता है, तो दोनों मूल 3 हैं। इसलिए $k=\pm6$।

एक मूल से दूसरा मूल

$x^2+kx-10=0$ का एक मूल 2 है। $k$ और दूसरा मूल निकालिए।

हल:

$x=2$ रखने पर,

$$4+2k-10=0\quad\Rightarrow\quad2k=6\quad\Rightarrow\quad k=3$$

अब समीकरण $x^2+3x-10=0$ है।

$$(x+5)(x-2)=0$$

इसलिए $k=3$ और दूसरा मूल −5 है। $x=-5$ रखकर देख लीजिए: $25-15-10=0$।

लगातार धनात्मक पूर्णांक

दो लगातार धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल 72 है। पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए छोटा पूर्णांक $x$ है, तो बड़ा $x+1$ होगा।

$$x(x+1)=72$$

$$x^2+x-72=0$$

$$(x+9)(x-8)=0$$

इससे $x=-9$ या $x=8$ मिलता है। प्रश्न में धनात्मक पूर्णांक माँगे गए हैं, इसलिए −9 को छोड़ देंगे। तो पूर्णांक 8 और 9 हैं। और सच में $8\times9=72$ है।

आयत की लंबाई और चौड़ाई

एक आयत का क्षेत्रफल 40 वर्ग मीटर है। उसकी लंबाई चौड़ाई से 3 मीटर अधिक है। दोनों माप निकालिए।

हल:

मान लीजिए चौड़ाई $x$ मीटर है। तब लंबाई $x+3$ मीटर होगी।

$$x(x+3)=40$$

$$x^2+3x-40=0$$

$$(x+8)(x-5)=0$$

इससे $x=-8$ या $x=5$ मिलता है। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $x=5$, और लंबाई $5+3=8$ मीटर।

तो चौड़ाई 5 मीटर और लंबाई 8 मीटर है। क्षेत्रफल से मिलाइए: $5\times8=40$ वर्ग मीटर।

संख्या और व्युत्क्रम

एक अशून्य संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $5/2$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए संख्या $x$ है, जहाँ $x\ne0$।

$$x+\frac1x=\frac52$$

भिन्न हटाने के लिए दोनों पक्षों को $2x$ से गुणा कीजिए:

$$2x^2+2=5x$$

$$2x^2-5x+2=0$$

$$(2x-1)(x-2)=0$$

तो संख्या $1/2$ या 2 है। दोनों मान अशून्य हैं, और दोनों में संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $1/2+2=5/2$ ही आता है।

चाल बढ़ने पर समय

एक वाहन 120 किमी चलता है। चाल 10 किमी/घंटा बढ़ाने पर यात्रा में 1 घंटा कम लगता है। मूल चाल निकालिए।

हल:

मान लीजिए मूल चाल $x$ किमी/घंटा है, जहाँ $x\gt0$। नई चाल $x+10$ होगी। पुरानी चाल पर समय ज़्यादा लगता है, इसलिए पुराने समय में से नया घटाइए:

$$\frac{120}{x}-\frac{120}{x+10}=1$$

$$\frac{1200}{x(x+10)}=1$$

$$x^2+10x-1200=0$$

$$(x+40)(x-30)=0$$

इससे $x=-40$ या $x=30$ मिलता है। चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए मूल चाल 30 किमी/घंटा है।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: पहले $120/30=4$ घंटे लगते थे, अब $120/40=3$ घंटे। अंतर ठीक 1 घंटा है।

वर्ग करने के बाद जाँच

$\sqrt{x+1}=x-1$ हल कीजिए।

हल:

बायाँ पक्ष वर्गमूल है, जो ऋणात्मक नहीं हो सकता। इसलिए $x-1\ge0$, यानी $x\ge1$ होना चाहिए। अब दोनों पक्षों का वर्ग लेने पर

$$x+1=(x-1)^2=x^2-2x+1$$

$$x^2-3x=0\quad\Rightarrow\quad x(x-3)=0$$

संभावित मान 0 और 3 हैं। अब इन्हें मूल समीकरण में रखिए। $x=0$ पर बराबरी $1=-1$ बनती है, जो गलत है। $x=3$ पर $\sqrt4=2$ बनता है, जो सही है।

इसलिए केवल $x=3$ इस समीकरण का हल है।