पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पहले खुद अपनी कॉपी में हल कीजिए, फिर नीचे दिए हल से मिलाइए। मानक रूप, गणना और अंतिम उत्तर अलग-अलग पंक्तियों में लिखिए। शब्द-प्रश्न में दोनों मूल निकालने के बाद प्रश्न की शर्त देखकर ही उत्तर चुनिए।

वर्गमूल वाले गुणांक

$x^2-2\sqrt2x+1=0$ के मूल ज्ञात कीजिए।

हल:

यहाँ $a=1$, $b=-2\sqrt2$ और $c=1$ है।

$$D=(-2\sqrt2)^2-4(1)(1)=8-4=4$$

$$x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}=\frac{2\sqrt2\pm2}{2}=\sqrt2\pm1$$

तो मूल $\sqrt2+1$ और $\sqrt2-1$ हैं। मूलों का योग $2\sqrt2=-b/a$ और गुणनफल $2-1=1=c/a$ है, यानी उत्तर सही है।

संख्या और उसका व्युत्क्रम

किसी संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग $10/3$ है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए संख्या $x$ है, जहाँ $x\ne0$।

$$x+\frac1x=\frac{10}{3}$$

दोनों पक्षों को $3x$ से गुणा करने पर

$$3x^2+3=10x$$

$$3x^2-10x+3=0$$

मध्य पद तोड़िए:

$$3x^2-9x-x+3=0$$

$$(3x-1)(x-3)=0$$

तो संख्या $1/3$ या 3 है। दोनों मान अशून्य हैं, और $3+1/3=10/3$ होने से दोनों प्रश्न की शर्त पूरी करते हैं।

वर्गों का अंतर

दो संख्याओं के वर्गों का अंतर 180 है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का आठ गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$। प्रश्न की दोनों शर्तों से

$$x^2-y^2=180\qquad(1)$$

$$y^2=8x\qquad(2)$$

(2) का मान (1) में रखने पर

$$x^2-8x-180=0$$

$$(x-18)(x+10)=0$$

तो $x=18$ या $x=-10$। पर $y^2=8x$ कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $x\ge0$ होना चाहिए और −10 छूट जाता है।

$$y^2=8(18)=144\quad\Rightarrow\quad y=12\text{ या }-12$$

प्रश्न में यह नहीं कहा गया कि संख्याएँ धनात्मक हैं, इसलिए $(x,y)=(18,12)$ या $(18,-12)$ दोनों जोड़े सही हैं। दोनों में $x\gt y$ है, वर्गों का अंतर 180 है और $y^2=8x$ भी है। अगर दोनों संख्याएँ धनात्मक मानी जाएँ, तो उत्तर 18 और 12 होगा।

आयताकार मैदान के माप

एक आयताकार मैदान का क्षेत्रफल 260 वर्ग मीटर है। लंबाई 5 मीटर कम और चौड़ाई 2 मीटर अधिक करने पर वह वर्ग बन जाता है। मूल लंबाई और चौड़ाई निकालिए।

हल:

मान लीजिए मूल चौड़ाई $x$ मीटर और लंबाई $L$ मीटर है। बदलाव के बाद दोनों भुजाएँ बराबर हो जाती हैं, इसलिए

$$L-5=x+2\quad\Rightarrow\quad L=x+7$$

अब क्षेत्रफल से

$$x(x+7)=260$$

$$x^2+7x-260=0$$

$$(x+20)(x-13)=0$$

तो $x=-20$ या $x=13$। चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए $x=13$ और $L=20$।

इसलिए लंबाई 20 मीटर और चौड़ाई 13 मीटर है। मिलाकर देखिए: $20\times13=260$, और बदलने के बाद $20-5=13+2=15$ मीटर, यानी सचमुच वर्ग बनता है।

दो अंकों की संख्या

दो अंकों की एक संख्या अपने अंकों के योग की चार गुनी और अंकों के गुणनफल की दुगुनी है। संख्या ज्ञात कीजिए।

हल:

मान लीजिए दसक का अंक $x$ और इकाई का अंक $y$ है। तब संख्या $10x+y$ होगी, और $x\ne0$ होगा।

पहली शर्त से

$$10x+y=4(x+y)$$

$$6x=3y\quad\Rightarrow\quad y=2x$$

दूसरी शर्त से

$$10x+y=2xy$$

इसमें $y=2x$ रखने पर

$$12x=4x^2\quad\Rightarrow\quad4x(x-3)=0$$

तो $x=0$ या $x=3$। दसक का अंक 0 नहीं हो सकता, इसलिए $x=3$ और $y=6$।

इसलिए संख्या 36 है। दोनों शर्तें जाँच लीजिए: $4(3+6)=36$ और $2(3\times6)=36$।

द्विघाती सूत्र की स्थापना

$ax^2+bx+c=0$, जहाँ $a\ne0$, के मूलों का सूत्र स्थापित कीजिए।

हल:

दिए गए समीकरण को $4a$ से गुणा करने पर

$$4a^2x^2+4abx+4ac=0$$

अचर पद को दाईं ओर ले जाकर दोनों पक्षों में $b^2$ जोड़ने पर

$$4a^2x^2+4abx+b^2=b^2-4ac$$

$$(2ax+b)^2=b^2-4ac$$

अगर $b^2-4ac\ge0$ हो, तो दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर

$$2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac}$$

$$2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac}$$

$a\ne0$ है, इसलिए दोनों पक्षों को $2a$ से भाग दे सकते हैं:

$$\boxed{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

यही द्विघाती सूत्र है। $D=0$ हो तो दोनों मूल बराबर आते हैं, और $D\lt0$ हो तो कोई वास्तविक मूल नहीं होता।