अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

पूरे अध्याय के ज़रूरी सूत्र और नियम

1. यूक्लिड का भाग नियम

$$a=bq+r,\qquad 0\le r\lt b$$

यहाँ $a$ भाज्य, $b$ भाजक, $q$ भागफल और $r$ शेषफल है, और $a$ तथा $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं। शेषफल हमेशा भाजक से छोटा होता है। म.स. निकालते समय पिछले भाजक को शेषफल से भाग देते जाइए। जिस चरण में शेषफल 0 आए, उसी चरण का भाजक म.स. है।

2. म.स. और ल.स.

• म.स.: उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल।
• ल.स.: सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल।

दो धनात्मक पूर्णांकों $a$ और $b$ के लिए,

$$a\times b=\text{म.स.}\times\text{ल.स.}$$

$$\text{दूसरी संख्या}=\frac{\text{म.स.}\times\text{ल.स.}}{\text{पहली संख्या}}$$

सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है और ल.स. उनका गुणनफल। बराबर समूह बनाने हों या सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक चाहिए, तो म.स. लगाइए। बार-बार होने वाली घटनाएँ पहली बार कब साथ होंगी, यह ल.स. बताता है। एक जैसा शेषफल छोड़ने वाला सबसे बड़ा भाजक चाहिए, तो पहले संख्याओं में से वह शेषफल घटाइए, फिर म.स. निकालिए।

3. अभाज्य गुणनखंड और घातें

1 न अभाज्य है, न भाज्य। पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है, और पूर्ण घन में हर घात 3 की गुणज। जैसे $72=2^3\times3^2$ को 3 से गुणा करने पर $2^3\times3^3=6^3$ बनता है।

4. दशमलव प्रसार

पहले भिन्न $\frac pq$ को सरलतम रूप में लाइए ($q\gt 0$), फिर हर देखिए:

• अगर $q=2^m5^n$ हो, जहाँ $m$ और $n$ शून्य या धनात्मक पूर्णांक हैं, तो दशमलव सांत है, और वह $\max(m,n)$ स्थानों पर ख़त्म होता है।
• अगर सरलतम हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड हो, तो दशमलव असांत आवर्ती है।
• असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय संख्या का होता है।

जैसे $\frac6{15}=\frac25=0.4$ सांत है। मूल हर में 3 था, पर सरल करने पर वह कट गया।

5. आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना

जब दोहराव दशमलव बिंदु के ठीक बाद से शुरू हो, तब

$$0.\overline a=\frac a9,\qquad 0.\overline{ab}=\frac{10a+b}{99}$$

यहाँ $a$ और $b$ अंक हैं, और $\overline{ab}$ का मतलब है दोनों अंकों का साथ दोहराना, उनका गुणनफल नहीं। तीन अंक दोहराएँ, तो उनसे बनी संख्या को 999 से भाग दीजिए। आख़िर में भिन्न सरल कर लीजिए।

अगर शुरू के कुछ अंक नहीं दोहराते, तो दो समीकरण बनाकर दोहराता हिस्सा घटाइए। जैसे $x=0.1666\ldots$ में $100x-10x=15$ से $x=\frac16$ मिलता है।

6. परिमेय, अपरिमेय और प्रमाण

परिमेय संख्या $\frac pq$ के रूप में लिखी जाती है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q\ne0$। हर वर्गमूल अपरिमेय नहीं होता, जैसे $\sqrt{25}=5$ परिमेय है।

परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। अशून्य परिमेय और अपरिमेय का गुणनफल भी अपरिमेय होता है। पर दो अपरिमेयों का योग या गुणनफल परिमेय भी हो सकता है, जैसे $\sqrt2\times\sqrt2=2$।

अभाज्य $p$ के लिए $\sqrt p$ के प्रमाण में पहले मान लीजिए कि $\sqrt p=\frac ab$, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं। वर्ग करने पर $a^2=pb^2$ आता है। फिर दिखाइए कि पहले $a$ और फिर $b$, दोनों $p$ से विभाजित हैं। दोनों में उभयनिष्ठ गुणनखंड निकलना धारणा के ख़िलाफ़ है, इसलिए धारणा ग़लत थी।

7. शेषफल और उपयोगी सर्वसमिकाएँ

पूर्णांक $k$ के लिए सम संख्या $2k$ और विषम संख्या $2k+1$ लिखी जाती है। किसी पूर्णांक के वर्ग को 3 या 4 से भाग देने पर शेषफल केवल 0 या 1 हो सकता है।

$$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$$

$$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$$

$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$

इन सूत्रों में बीच वाला पद छोड़ देना सबसे आम ग़लती है। $(\sqrt2+2)^2$ का मान $6+4\sqrt2$ है, केवल $2+4$ नहीं।

अब खुद हल कीजिए

ये 25 प्रश्न पूरे अध्याय से हैं। हर प्रश्न की ज़रूरी गणना पहले कॉपी में कीजिए और अपना उत्तर चुनिए। सारे प्रश्न हो जाने के बाद ही हल से मिलाइए। जिस प्रश्न में ग़लती हो, उससे जुड़ा नियम सारांश में एक बार फिर पढ़ लीजिए।