वास्तविक संख्याएँ: समझें, हल करें और अभ्यास करें

वास्तविक संख्याएँ

संख्याओं से आप बचपन से काम कर रहे हैं। इस अध्याय में इन्हें थोड़ा और गहराई से देखेंगे। कोई संख्या किन अभाज्य संख्याओं से मिलकर बनी है, दो संख्याओं का म.स. और ल.स. कैसे निकलता है, कौन-सी भिन्न दशमलव में लिखने पर ख़त्म हो जाती है और कौन-सी नहीं, और $\sqrt2$ जैसी संख्या को भिन्न के रूप में क्यों नहीं लिखा जा सकता।

पढ़ते समय कॉपी-पेन साथ रखिए और जहाँ भी गणना दी है, उसे खुद करके मिलाइए। केवल नियम रट लेने से यह समझ नहीं आता कि किस प्रश्न में कौन-सा नियम लगेगा।

1. परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ

प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, … हैं। इनमें 0 जोड़ने पर पूर्ण संख्याएँ बनती हैं, और ऋणात्मक संख्याएँ भी ले लेने पर पूर्णांक: …, −2, −1, 0, 1, 2, …।

जिस संख्या को $\frac pq$ के रूप में लिखा जा सके, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हों और $q\ne0$, उसे परिमेय संख्या कहते हैं। जैसे $\frac35$, $-\frac72$ और $0=\frac01$। प्रत्येक पूर्णांक भी परिमेय है, क्योंकि $5=\frac51$ लिखा जा सकता है। हर शून्य नहीं हो सकता, क्योंकि शून्य से भाग का कोई अर्थ नहीं होता।

जिस वास्तविक संख्या को इस रूप में नहीं लिखा जा सकता, वह अपरिमेय संख्या है, जैसे $\sqrt2$, $\sqrt3$ और $\pi$। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं। संख्या रेखा का हर बिंदु किसी-न-किसी वास्तविक संख्या को दिखाता है।

वर्गमूल का चिह्न देखते ही संख्या को अपरिमेय मत मान लीजिए। $\sqrt{16}=4$ परिमेय है, जबकि $\sqrt7$ अपरिमेय है। किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्गमूल तभी परिमेय होता है जब वह पूर्णांक पूर्ण वर्ग हो।

2. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

47 को 6 से भाग दीजिए। भागफल 7 आता है और शेषफल 5 बचता है। इसे ऐसे लिखते हैं:

$$47=6\times7+5$$

इसी बात का सामान्य रूप है:

$$a=bq+r,\qquad 0\le r\lt b$$

यहाँ $a$ भाज्य है, $b$ भाजक, $q$ भागफल और $r$ शेषफल। इस अध्याय में $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक ही लेंगे। शेषफल 0 हो सकता है, पर भाजक के बराबर या उससे बड़ा कभी नहीं। सोचिए, अगर 6 से भाग देते समय 6 बच जाए, तो उससे एक और पूरा समूह बन जाएगा और भागफल 1 बढ़ जाएगा।

इसीलिए $47=6\times6+11$ हिसाब से तो सही है, पर इसमें भागफल और शेषफल ठीक नहीं लिखे गए, क्योंकि 11 भाजक 6 से बड़ा है। शेषफल ऋणात्मक भी नहीं लिया जाता।

किसी पूर्णांक को 2 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 ही बचेगा। इसीलिए सम पूर्णांक को $2q$ और विषम पूर्णांक को $2q+1$ लिखते हैं। 3 से भाग देने पर तीन ही रूप बनते हैं: $3q$, $3q+1$ और $3q+2$। जब कोई बात सभी पूर्णांकों के लिए सिद्ध करनी हो, तो इन सभी रूपों को एक-एक करके लेकर देखिए।

3. यूक्लिड विधि से म.स.

दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक (म.स.) वह सबसे बड़ी धनात्मक संख्या है जो दोनों को पूरा-पूरा बाँट दे। आइए 48 और 18 का म.स. निकालें। पहले बड़ी संख्या को छोटी से भाग दीजिए:

$$48=18\times2+12$$

अब पिछले भाजक 18 को शेषफल 12 से भाग दीजिए:

$$18=12\times1+6$$

फिर 12 को 6 से:

$$12=6\times2+0$$

शेषफल 0 आते ही रुक जाइए। इस आख़िरी भाग में भाजक 6 है, इसलिए 48 और 18 का म.स. 6 है। यही अंतिम अशून्य शेषफल भी है। कई विद्यार्थी जल्दी में म.स. 0 लिख देते हैं, जबकि 0 तो बस रुकने का संकेत है।

यह तरीका काम क्यों करता है? $a=bq+r$ में जो संख्या $a$ और $b$ दोनों को बाँटती है, वह $r=a-bq$ को भी बाँटेगी। उलटे, जो संख्या $b$ और $r$ को बाँटती है, वह $a$ को भी बाँटेगी। यानी $(a,b)$ और $(b,r)$ के उभयनिष्ठ भाजक एक ही हैं, इसलिए दोनों जोड़ियों का म.स. भी एक ही होगा।

जिन दो संख्याओं का म.स. 1 हो, उन्हें सह-अभाज्य कहते हैं, जैसे 8 और 15। इनमें से कोई भी अभाज्य नहीं है, फिर भी ये सह-अभाज्य हैं।

4. अभाज्य गुणनखंड और अंकगणित की आधारभूत प्रमेय

अभाज्य संख्या के ठीक दो धनात्मक भाजक होते हैं: 1 और वह संख्या खुद, जैसे 2, 3, 5, 7। 1 का केवल एक ही धनात्मक भाजक है, इसलिए 1 न अभाज्य है, न भाज्य।

अंकगणित की आधारभूत प्रमेय कहती है कि प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, और गुणनखंडों का क्रम छोड़ दें तो यह रूप एक ही (अद्वितीय) होता है। देखिए:

$$180=2\times90=2\times2\times45=2^2\times3^2\times5$$

यहाँ 45 पर रुकना नहीं है, क्योंकि 45 खुद भाज्य है। तब तक तोड़ते रहिए जब तक सारे गुणनखंड अभाज्य न हो जाएँ। $3\times2\times5\times3\times2$ भी यही गुणनखंडन है, बस लिखने का क्रम बदला है।

पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य गुणनखंड की घात सम होती है, जैसे $144=2^4\times3^2$। पूर्ण घन में हर घात 3 की गुणज होती है, जैसे $216=2^3\times3^3$। किसी संख्या को पूर्ण वर्ग या पूर्ण घन बनाना हो, तो उसके गुणनखंड लिखकर देखिए कि किस अभाज्य की घात कम पड़ रही है।

इसी गुणनखंडन से अंतिम अंक वाले प्रश्न भी हल होते हैं। जो संख्या 0 पर ख़त्म होती है, वह 10 से, यानी $2\times5$ से विभाजित होती है। $2^n$ में 5 का गुणनखंड है ही नहीं, इसलिए किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $2^n$ का अंतिम अंक 0 नहीं हो सकता।

5. गुणनखंडों से म.स. और ल.स.

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य (ल.स.) वह सबसे छोटी धनात्मक संख्या है जो दोनों से पूरी-पूरी बँट जाए। फ़र्क़ याद रखिए: म.स. दोनों संख्याओं को बाँटता है, जबकि ल.स. दोनों से बँटता है।

अब 72 और 120 का म.स. और ल.स. निकालते हैं:

$$72=2^3\times3^2,\qquad120=2^3\times3\times5$$

म.स. के लिए केवल उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड लीजिए, और उनकी छोटी घात। दोनों में 2 की घात 3 है, और 3 की छोटी घात 1 है। इसलिए

$$\text{म.स.}=2^3\times3=24$$

ल.स. के लिए सारे अभाज्य गुणनखंड लीजिए, और उनकी बड़ी घात:

$$\text{ल.स.}=2^3\times3^2\times5=360$$

दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए यह संबंध बहुत काम आता है:

$$\text{पहली संख्या}\times\text{दूसरी संख्या}=\text{म.स.}\times\text{ल.स.}$$

यहाँ $72\times120=24\times360=8640$ है। एक संख्या, म.स. और ल.स. दिए हों, तो इसी से दूसरी संख्या निकल आती है। पर यह संबंध केवल दो संख्याओं के लिए है, तीन संख्याओं पर इसे सीधे मत लगाइए। सह-अभाज्य संख्याओं का म.स. 1 होता है, इसलिए उनका ल.स. उनके गुणनफल के बराबर होता है।

6. म.स. लगेगा या ल.स.?

मान लीजिए 48 लाल और 60 नीली पेंसिलों को ज़्यादा-से-ज़्यादा ऐसे पैकेटों में बाँटना है कि हर पैकेट में लाल पेंसिलें भी बराबर हों और नीली भी। तब पैकेटों की संख्या 48 और 60 दोनों को बाँटेगी, इसलिए यहाँ म.स. चाहिए। म.स. 12 है, तो 12 पैकेट बनेंगे और हर पैकेट में 4 लाल और 5 नीली पेंसिलें होंगी।

अब दो घंटियाँ लीजिए जो हर 12 और 18 मिनट पर बजती हैं। वे फिर साथ तभी बजेंगी जब बीता हुआ समय दोनों का गुणज हो। हमें सबसे पहला ऐसा समय चाहिए, इसलिए ल.स. लीजिए। 12 और 18 का ल.स. 36 है, तो वे 36 मिनट बाद फिर साथ बजेंगी।

अगर भाग देने पर कुछ शेषफल बचता हो, तो पहले उसे घटा दीजिए। जैसे कोई संख्या 53 और 77 दोनों को भाग देने पर 5 बचाती है, तो वह 48 और 72 को पूरा-पूरा बाँटेगी। ऐसी सबसे बड़ी संख्या 48 और 72 का म.स., यानी 24 है। मिलाकर देखिए: $53=24\times2+5$ और $77=24\times3+5$। भाजक 24, शेषफल 5 से बड़ा भी है, जो ज़रूरी है।

हर प्रश्न में खुद से पूछिए: जो संख्या ढूँढ़नी है, वह दी गई संख्याओं का भाजक है या गुणज? केवल ‘सबसे बड़ा’ या ‘सबसे छोटा’ शब्द देखकर फ़ैसला मत कीजिए।

7. दशमलव सांत होगा या असांत आवर्ती?

परिमेय संख्या का दशमलव या तो कहीं ख़त्म हो जाता है, या उसमें कोई अंक या अंकों का समूह बार-बार दोहराता रहता है। $\frac38=0.375$ सांत है और $\frac13=0.333\ldots$ असांत आवर्ती। दोनों ही परिमेय हैं।

बिना भाग दिए प्रकार बताने के लिए पहले भिन्न को सरलतम रूप में लाइए, फिर हर के अभाज्य गुणनखंड कीजिए। अगर हर में केवल 2 और 5 हों, यानी हर $2^m5^n$ के रूप का हो, तो दशमलव सांत होगा। $m$ और $n$ शून्य भी हो सकते हैं, यानी केवल 2 या केवल 5 से बना हर भी चलेगा।

जैसे $\frac7{40}$ में $40=2^3\times5$ है। हर को 1000 बनाने के लिए अंश और हर दोनों को 25 से गुणा कीजिए:

$$\frac7{40}=\frac{175}{1000}=0.175$$

10 की प्रत्येक घात में केवल 2 और 5 ही गुणनखंड होते हैं। इसीलिए जिस भिन्न के हर में केवल 2 और 5 हों, उसके हर को 10 की किसी घात में बदला जा सकता है। सरलतम हर $2^m5^n$ हो, तो दशमलव ठीक $\max(m,n)$ स्थानों पर ख़त्म होता है। ऊपर 2 की घात 3 थी, इसलिए 0.175 में तीन दशमलव स्थान आए।

अगर सरलतम हर में 3, 7 या कोई और अभाज्य गुणनखंड बच जाए, तो दशमलव असांत आवर्ती होगा। जैसे $\frac7{30}$ में $30=2\times3\times5$ है, और इसमें 3 मौजूद है।

सरल करना क्यों ज़रूरी है, यह $\frac6{15}$ से समझिए। $\frac6{15}=\frac25=0.4$ सांत है। मूल हर 15 में 3 था, पर सरल करने पर वह कट गया। मूल हर देखकर इसे असांत कह दें, तो उत्तर ग़लत होगा। इसलिए नियम हमेशा सरलतम हर पर लगाइए।

8. आवर्ती दशमलव को भिन्न में बदलना

मान लीजिए $x=0.\overline{18}=0.181818\ldots$। यहाँ दो अंक दोहरा रहे हैं, इसलिए 100 से गुणा कीजिए:

$$100x=18.181818\ldots$$

अब इसमें से पहला समीकरण घटाइए। दशमलव के बाद का पूरा दोहराता हिस्सा कट जाएगा:

$$100x-x=18$$

$$99x=18$$

$$x=\frac{18}{99}=\frac2{11}$$

एक अंक दोहराए तो 10 से, दो दोहराएँ तो 100 से और तीन दोहराएँ तो 1000 से गुणा कीजिए। यह तरीका सीधे तब चलता है जब दोहराव दशमलव बिंदु के ठीक बाद से शुरू हो। अगर शुरू के कुछ अंक नहीं दोहराते, तो पहले उन्हें पार करने लायक घात से गुणा करना पड़ता है।

$0.18$ और $0.\overline{18}$ एक ही संख्या नहीं हैं। पहली में दशमलव के बाद केवल दो अंक हैं, जबकि दूसरी में 18 अनंत तक दोहराता रहता है। एक बात और: अपरिमेय संख्या का दशमलव असांत अनावर्ती होता है, यानी न ख़त्म होता है, न दोहराता है। केवल असांत होने से कोई संख्या अपरिमेय नहीं बन जाती।

9. अपरिमेयता का प्रमाण

अभाज्य $p$ के लिए $\sqrt p$ अपरिमेय है, इसके प्रमाण में एक तथ्य काम आता है: अगर $p$ किसी पूर्णांक $a$ के वर्ग को बाँटता है, तो वह $a$ को भी बाँटेगा। कारण सीधा है। $a^2$ के अभाज्य गुणनखंड वही हैं जो $a$ के हैं, बस हर एक दो बार आता है। वर्ग करने से कोई नया अभाज्य गुणनखंड नहीं जुड़ता।

यहाँ $p$ का अभाज्य होना ज़रूरी है। 4, संख्या $2^2$ को बाँटता है, पर 2 को नहीं बाँटता।

प्रमाण उलटी धारणा से शुरू होता है। मान लीजिए $\sqrt p$ परिमेय है। तब इसे $\frac ab$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य हैं और $b\ne0$। वर्ग करने पर $a^2=pb^2$ मिलता है। इससे पहले $a$ को और फिर $b$ को $p$ से विभाजित दिखाते हैं। पर हमने तो $a$ और $b$ को सह-अभाज्य माना था! यही विरोध बताता है कि हमारी धारणा ग़लत थी, यानी $\sqrt p$ अपरिमेय है। $\sqrt7$ का पूरा लिखित प्रमाण आगे हल किए गए प्रश्नों में है।

परीक्षा में केवल ‘यह ज्ञात है’ लिखकर प्रमाण पूरा मत कीजिए। धारणा, दोनों संख्याओं का $p$ से विभाजित होना और अंत का विरोध, ये तीनों साफ़ लिखिए। ‘सह-अभाज्य’ शब्द लिखना मत भूलिए, उसके बिना विरोध का कारण ही समझ में नहीं आता।

10. परिमेय और अपरिमेय संख्याओं पर क्रियाएँ

दो परिमेय संख्याओं का योग, अंतर और गुणनफल परिमेय ही होता है। किसी अशून्य परिमेय संख्या से भाग देने पर भी परिमेय संख्या ही मिलती है। इसी बात से अपरिमेय व्यंजकों के छोटे प्रमाण लिखे जाते हैं।

मान लीजिए परिमेय $r$ और अपरिमेय $x$ का योग $r+x$ परिमेय है। तब $x=(r+x)-r$ दो परिमेयों का अंतर होने से परिमेय हो जाएगा, जो हो नहीं सकता। इसलिए परिमेय और अपरिमेय का योग अपरिमेय होता है। इसी तरह अशून्य परिमेय और अपरिमेय का गुणनफल अपरिमेय होता है। ‘अशून्य’ इसलिए कहा, क्योंकि $0\times\sqrt2=0$ परिमेय है।

दो अपरिमेय संख्याओं के लिए ऐसा कोई पक्का नियम नहीं है। $\sqrt2+(-\sqrt2)=0$ परिमेय है, पर $\sqrt2+\sqrt2=2\sqrt2$ अपरिमेय। इसी तरह $\sqrt2\times\sqrt2=2$ परिमेय है, पर $\sqrt2\times\sqrt3=\sqrt6$ अपरिमेय। इसलिए ‘दो अपरिमेयों का योग या गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है’ लिखना ग़लत है।

अब आगे के हल किए गए प्रश्न कॉपी में साथ-साथ कीजिए। जहाँ कोई कारण देना ज़रूरी हो, वहाँ गणना के साथ एक छोटा वाक्य भी लिखिए।

यूक्लिड विधि से म.स.

1008 और 756 का म.स. निकालिए। (2 अंक)

हल:

यूक्लिड विभाजन विधि से,

$$1008=756\times1+252$$

$$756=252\times3+0$$

दूसरे चरण में शेषफल 0 आ गया, और उस चरण में भाजक 252 है।

इसलिए 1008 और 756 का म.स. 252 है।

अभाज्य गुणनखंडन

2772 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखिए। (2 अंक)

हल:

सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 से शुरू करके बार-बार भाग देते हैं:

$$2772=2\times1386$$

$$=2\times2\times693$$

$$=2\times2\times3\times231$$

$$=2\times2\times3\times3\times77$$

$$=2\times2\times3\times3\times7\times11$$

77 को 7 और 11 में तोड़ते ही सारे गुणनखंड अभाज्य हो गए। तो $2772=2^2\times3^2\times7\times11$।

गुणनखंडों से म.स. और ल.स.

252 और 198 का म.स. तथा ल.स. निकालिए। (2 अंक)

हल:

पहले दोनों संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड लिखते हैं:

$$252=2^2\times3^2\times7$$

$$198=2\times3^2\times11$$

म.स. के लिए उभयनिष्ठ गुणनखंडों की छोटी घातें लीजिए:

$$\text{म.स.}=2\times3^2=18$$

ल.स. के लिए सभी गुणनखंडों की बड़ी घातें लीजिए:

$$\text{ल.स.}=2^2\times3^2\times7\times11=2772$$

तो म.स. 18 और ल.स. 2772 है।

दूसरी संख्या निकालना

दो धनात्मक पूर्णांकों का म.स. 18 और ल.स. 630 है। एक संख्या 126 है। दूसरी संख्या ज्ञात कीजिए। (2 अंक)

हल:

मान लीजिए दूसरी संख्या $x$ है। दो धनात्मक पूर्णांकों के लिए

$$\text{पहली संख्या}\times\text{दूसरी संख्या}=\text{म.स.}\times\text{ल.स.}$$

दिए हुए मान रखने पर,

$$126x=18\times630$$

$$x=\frac{18\times630}{126}=90$$

इसलिए दूसरी संख्या 90 है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: 126 और 90 का म.स. सचमुच 18 है।

समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 383 और 527 को भाग देने पर प्रत्येक में शेषफल 5 बचे। (2 अंक)

हल:

दोनों संख्याओं में 5 बचता है। यानी 5 पहले ही हटा दें, तो हमारी संख्या बचे हुए भाग को पूरा-पूरा बाँटेगी:

$$383-5=378,\qquad527-5=522$$

ऐसी सबसे बड़ी संख्या 378 और 522 का म.स. है। यूक्लिड विधि से,

$$522=378\times1+144$$

$$378=144\times2+90$$

$$144=90\times1+54$$

$$90=54\times1+36$$

$$54=36\times1+18$$

$$36=18\times2+0$$

तो अभीष्ट संख्या 18 है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $383=18\times21+5$ और $527=18\times29+5$।

फिर कब एक साथ?

तीन संकेतक एक साथ चमकते हैं। वे क्रमशः हर 24, 36 और 54 सेकंड पर चमकते हैं। फिर कितने समय बाद एक साथ चमकेंगे? (2 अंक)

हल:

तीनों फिर साथ तभी चमकेंगे जब बीता हुआ समय 24, 36 और 54, तीनों का गुणज हो। सबसे पहला ऐसा समय इनका ल.स. है।

$$24=2^3\times3$$

$$36=2^2\times3^2$$

$$54=2\times3^3$$

सबसे बड़ी घातें लेने पर ल.स. $=2^3\times3^3=216$ आता है।

इसलिए वे 216 सेकंड, यानी 3 मिनट 36 सेकंड बाद फिर एक साथ चमकेंगे।

पहले भिन्न सरल कीजिए

बिना लंबा भाग दिए बताइए कि $\frac{63}{450}$ का दशमलव सांत है या नहीं। सांत होने पर उसका मान लिखिए। (2 अंक)

हल:

63 और 450 दोनों 9 से बँटते हैं, इसलिए पहले भिन्न सरल कीजिए:

$$\frac{63}{450}=\frac{63\div9}{450\div9}=\frac7{50}$$

अब $50=2\times5^2$ है। सरलतम हर में 2 और 5 के अलावा कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है, इसलिए दशमलव सांत होगा। हर को 100 बनाने के लिए अंश और हर को 2 से गुणा कीजिए:

$$\frac7{50}=\frac{7\times2}{50\times2}=\frac{14}{100}=0.14$$

तो दशमलव सांत है और इसका मान 0.14 है।

असांत आवर्ती दशमलव

बिना भाग दिए $\frac{119}{3300}$ के दशमलव प्रसार का प्रकार बताइए। (2 अंक)

हल:

पहले देखते हैं कि भिन्न सरलतम है या नहीं:

$$119=7\times17$$

$$3300=2^2\times3\times5^2\times11$$

अंश और हर में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं है, यानी भिन्न पहले से सरलतम है। इसके हर में 2 और 5 के अलावा 3 और 11 भी हैं, इसलिए हर $2^m5^n$ के रूप का नहीं है।

तो $\frac{119}{3300}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

आवर्ती दशमलव से भिन्न

$0.\overline{27}$ को सरलतम भिन्न में लिखिए। (2 अंक)

हल:

मान लीजिए

$$x=0.272727\ldots\quad(1)$$

दो अंक दोहरा रहे हैं, इसलिए दोनों पक्षों को 100 से गुणा कीजिए:

$$100x=27.272727\ldots\quad(2)$$

(2) में से (1) घटाने पर दशमलव के बाद का दोहराता हिस्सा कट जाता है:

$$100x-x=27$$

$$99x=27$$

$$x=\frac{27}{99}=\frac3{11}$$

तो $0.\overline{27}$ का सरलतम भिन्न रूप $\frac3{11}$ है।

अपरिमेयता का प्रमाण

सिद्ध कीजिए कि $\sqrt7$ अपरिमेय है। (2 अंक)

हल:

मान लीजिए $\sqrt7$ परिमेय है। तब

$$\sqrt7=\frac ab$$

लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,

$$7=\frac{a^2}{b^2}$$

$$a^2=7b^2$$

इसका मतलब है कि $a^2$, 7 से विभाजित है। 7 अभाज्य है, इसलिए $a$ भी 7 से विभाजित होगा। मान लीजिए $a=7k$, जहाँ $k$ कोई पूर्णांक है। तब

$$(7k)^2=7b^2$$

$$49k^2=7b^2$$

$$b^2=7k^2$$

यानी $b^2$ भी 7 से विभाजित है, और इसी कारण $b$ भी। अब $a$ और $b$ दोनों में 7 उभयनिष्ठ गुणनखंड निकल आया, जबकि हमने इन्हें सह-अभाज्य माना था। यह विरोध है।

इसलिए हमारी धारणा ग़लत थी, और $\sqrt7$ अपरिमेय है।

अपरिमेय संख्या वाला व्यंजक

सिद्ध कीजिए कि $4+3\sqrt2$ अपरिमेय है। $\sqrt2$ का अपरिमेय होना आप मान सकते हैं। (2 अंक)

हल:

मान लीजिए $4+3\sqrt2$ परिमेय है और इसका मान $r$ है। तब

$$4+3\sqrt2=r$$

$$3\sqrt2=r-4$$

$$\sqrt2=\frac{r-4}{3}$$

$r$, 4 और 3 तीनों परिमेय हैं और $3\ne0$, इसलिए $\frac{r-4}{3}$ भी परिमेय होगा। इसका मतलब $\sqrt2$ परिमेय हो जाएगा, जबकि $\sqrt2$ अपरिमेय है।

यह विरोध हमारी ग़लत धारणा से आया। इसलिए $4+3\sqrt2$ अपरिमेय है।

पूर्णांक के वर्ग का शेषफल

दिखाइए कि किसी पूर्णांक के वर्ग को 3 से भाग देने पर शेषफल 0 या 1 होता है। (2 अंक)

हल:

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका से कोई भी पूर्णांक $n$ तीन में से किसी एक रूप में लिखा जा सकता है: $3q$, $3q+1$ या $3q+2$, जहाँ $q$ पूर्णांक है।

पहली स्थिति: यदि $n=3q$, तो

$$n^2=9q^2=3(3q^2)$$

इसे 3 से भाग देने पर शेषफल 0 बचता है।

दूसरी स्थिति: यदि $n=3q+1$, तो

$$n^2=(3q+1)^2=9q^2+6q+1$$

$$=3(3q^2+2q)+1$$

यहाँ शेषफल 1 बचता है।

तीसरी स्थिति: यदि $n=3q+2$, तो

$$n^2=(3q+2)^2=9q^2+12q+4$$

$$=3(3q^2+4q+1)+1$$

इसमें भी शेषफल 1 है।

तीनों स्थितियों में शेषफल 0 या 1 ही आता है, 2 कभी नहीं।

पूर्ण घन बनाना

72 को किस सबसे छोटी धनात्मक पूर्ण संख्या से गुणा करें कि गुणनफल पूर्ण घन हो? (2 अंक)

हल:

पहले 72 के अभाज्य गुणनखंड लिखिए:

$$72=2^3\times3^2$$

पूर्ण घन में हर अभाज्य गुणनखंड की घात 3 की गुणज होनी चाहिए। 2 की घात 3 तो ठीक है, पर 3 की घात 2 है, और उसे 3 करने के लिए एक 3 और चाहिए।

$$72\times3=2^3\times3^3=(2\times3)^3=6^3=216$$

तो सबसे छोटी संख्या 3 है।

एक ही जोड़ी पर चार प्रश्न

588 और 420 के लिए (i) यूक्लिड विधि से म.स., (ii) ल.स., (iii) उनका सरलतम अनुपात और (iv) दोनों को बिना शेष बाँटने वाली सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए। (5 अंक)

हल:

(i) म.स.: यूक्लिड विभाजन विधि से,

$$588=420\times1+168$$

$$420=168\times2+84$$

$$168=84\times2+0$$

इसलिए म.स. 84 है।

(ii) ल.स.: दो संख्याओं का गुणनफल उनके म.स. और ल.स. के गुणनफल के बराबर होता है, इसलिए

$$\text{ल.स.}=\frac{588\times420}{84}=7\times420=2940$$

तो ल.स. 2940 है।

(iii) सरलतम अनुपात: दोनों संख्याओं को उनके म.स. 84 से भाग दीजिए:

$$588:420=\frac{588}{84}:\frac{420}{84}=7:5$$

यानी अनुपात 7 : 5 है।

(iv) जो सबसे बड़ी संख्या दोनों को बिना शेष बाँटे, वही तो इनका म.स. है। इसलिए यह संख्या भी 84 है।

अब खुद हल कीजिए

अब आगे 20 प्रश्नों की क्विज़ है। हर प्रश्न की गणना पहले कॉपी में कीजिए, फिर विकल्प चुनिए। उत्तर देखने के बाद जो प्रश्न ग़लत हुआ, उसे एक बार फिर बिना देखे हल कीजिए।