पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

पिछले प्रश्नपत्रों से अभ्यास

ये प्रश्न पिछले प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। लिखित प्रश्न पहले खुद कॉपी में हल कीजिए, फिर अपना हल मिलाइए। वस्तुनिष्ठ प्रश्नों में भी जहाँ गणना लगे, उसे लिखकर ही विकल्प चुनिए।

सारे प्रश्न एक ही बार में करना ज़रूरी नहीं है। इन्हें दो बैठकों में बाँट लीजिए, पर हल की हर पंक्ति क्यों लिखी गई है, यह समझते चलिए।

दशमलव को सरलतम भिन्न में लिखना

0.0875 को $\frac pq$ के रूप में लिखिए, जहाँ $p$ और $q$ में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो।

हल:

दशमलव के बाद चार अंक हैं, इसलिए हर में 10000 आएगा:

$$0.0875=\frac{875}{10000}$$

875 और 10000 दोनों 125 से बँटते हैं:

$$\frac{875}{10000}=\frac{875\div125}{10000\div125}=\frac7{80}$$

7 और 80 का म.स. 1 है, यानी अब कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं बचा। तो अभीष्ट भिन्न $\frac7{80}$ है।

यूक्लिड विधि से म.स.

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 252 एवं 594 का म.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

बड़ी संख्या 594 को 252 से भाग दीजिए:

$$594=252\times2+90$$

अब हर बार पिछले भाजक को शेषफल से भाग देते जाइए:

$$252=90\times2+72$$

$$90=72\times1+18$$

$$72=18\times4+0$$

अंतिम अशून्य शेषफल 18 है, इसलिए 252 और 594 का म.स. 18 है।

यूक्लिड विधि का एक और प्रश्न

यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कर 504 तथा 1188 का म.स. ज्ञात कीजिए।

हल:

पहले की तरह भाग देते चलिए:

$$1188=504\times2+180$$

$$504=180\times2+144$$

$$180=144\times1+36$$

$$144=36\times4+0$$

शेषफल 0 आने से ठीक पहले वाला शेषफल 36 है। तो 504 और 1188 का म.स. 36 है।

वर्ग वाले व्यंजक की अपरिमेयता

सिद्ध कीजिए कि $(\sqrt2+2)^2$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

प्रमाण शुरू करने से पहले व्यंजक को खोल लीजिए:

$$(\sqrt2+2)^2=(\sqrt2)^2+2\times\sqrt2\times2+2^2$$

$$=2+4\sqrt2+4=6+4\sqrt2$$

अब मान लीजिए यह परिमेय है और इसका मान $r$ है। तब

$$6+4\sqrt2=r$$

$$\sqrt2=\frac{r-6}{4}$$

$r$, 6 और 4 परिमेय हैं और $4\ne0$, इसलिए दायाँ पक्ष परिमेय होगा। यानी $\sqrt2$ परिमेय हो जाएगा, जबकि $\sqrt2$ अपरिमेय है। यह विरोध है।

इसलिए $(\sqrt2+2)^2$ अपरिमेय है।

अंतर के रूप में अपरिमेय संख्या

सिद्ध कीजिए कि $5-\sqrt3$ एक अपरिमेय संख्या है।

हल:

मान लीजिए $5-\sqrt3$ परिमेय है और इसका मान $r$ है। तब

$$5-\sqrt3=r$$

$$\sqrt3=5-r$$

5 और $r$ दोनों परिमेय हैं, तो इनका अंतर $5-r$ भी परिमेय होगा। इससे $\sqrt3$ परिमेय निकलता है, पर $\sqrt3$ तो अपरिमेय है।

तो हमारी धारणा ग़लत थी, और $5-\sqrt3$ अपरिमेय है।

समान शेषफल वाला सबसे बड़ा भाजक

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जिससे 245 तथा 1037 में भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त हो।

हल:

दोनों संख्याओं में से पहले शेषफल 5 घटा दीजिए:

$$245-5=240,\qquad1037-5=1032$$

अब जो संख्या चाहिए, वह 240 और 1032 दोनों को पूरा-पूरा बाँटेगी और सबसे बड़ी होगी। यानी इनका म.स. निकालना है:

$$1032=240\times4+72$$

$$240=72\times3+24$$

$$72=24\times3+0$$

म.स. 24 है, इसलिए अभीष्ट संख्या 24 है।

उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $245=24\times10+5$ और $1037=24\times43+5$।

बिना भाग दिए दशमलव का प्रकार

बिना भाग की क्रिया किए सिद्ध करें कि परिमेय संख्या $77/210$ असांत आवर्ती दशमलव है।

हल:

अंश और हर दोनों 7 से बँटते हैं, इसलिए पहले भिन्न सरल कीजिए:

$$\frac{77}{210}=\frac{77\div7}{210\div7}=\frac{11}{30}$$

11 और 30 सह-अभाज्य हैं। अब हर के गुणनखंड देखिए:

$$30=2\times3\times5$$

सरलतम हर में 2 और 5 के साथ 3 भी है, इसलिए यह $2^m5^n$ के रूप का नहीं है।

तो $\frac{77}{210}$ का दशमलव प्रसार असांत आवर्ती है।

वर्गमूलों का सरलीकरण

सरल करें: $\frac{2\sqrt{27}+3\sqrt{12}}{4\sqrt3}$।

हल:

पहले दोनों वर्गमूलों में से पूर्ण वर्ग बाहर निकालिए:

$$\sqrt{27}=\sqrt{9\times3}=3\sqrt3$$

$$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$$

अब इन्हें व्यंजक में रखिए:

$$\frac{2\sqrt{27}+3\sqrt{12}}{4\sqrt3}=\frac{2\times3\sqrt3+3\times2\sqrt3}{4\sqrt3}$$

$$=\frac{6\sqrt3+6\sqrt3}{4\sqrt3}$$

$$=\frac{12\sqrt3}{4\sqrt3}=3$$

ऊपर-नीचे का $\sqrt3$ कट गया, इसलिए व्यंजक का मान 3 है।

प्रश्न चुनने का अभ्यास

नीचे के चार प्रश्नों में से कोई दो चुनिए। हर प्रश्न 2 अंक का है। चुनने से पहले हर प्रश्न पढ़कर ईमानदारी से सोचिए कि उसका पूरा हल आपको आता है या केवल शुरुआत।

• A: यूक्लिड विधि से 392 और 252 का म.स. निकालिए।
• B: बिना भाग दिए $33/280$ के दशमलव का प्रकार बताइए।
• C: सिद्ध कीजिए कि $\sqrt{11}$ अपरिमेय है।
• D: $0.\overline{123}$ को सरलतम भिन्न में लिखिए।

चुनने के बाद एक पंक्ति में लिखिए: ‘मैंने … चुने, क्योंकि …’। केवल छोटा दिखने के कारण कोई प्रश्न मत चुनिए। प्रमाण अच्छी तरह आता हो, तो C भी अच्छा चुनाव है। अब चुने हुए दोनों प्रश्न पूरे हल कीजिए, उसके बाद ही नीचे के हल देखिए।

चारों प्रश्नों के हल

A. 392 और 252 का म.स.

यूक्लिड विधि से,

$$392=252\times1+140$$

$$252=140\times1+112$$

$$140=112\times1+28$$

$$112=28\times4+0$$

तो म.स. 28 है।

B. दशमलव का प्रकार

$$33=3\times11,\qquad280=2^3\times5\times7$$

अंश और हर में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं है, इसलिए भिन्न सरलतम है। हर में 2 और 5 के अलावा 7 भी है, इसलिए $\frac{33}{280}$ का दशमलव असांत आवर्ती है।

C. अपरिमेयता का प्रमाण

मान लीजिए $\sqrt{11}$ परिमेय है। तब $\sqrt{11}=\frac ab$ लिख सकते हैं, जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं। वर्ग करने पर,

$$a^2=11b^2$$

11 अभाज्य है और $a^2$ को बाँटता है, इसलिए यह $a$ को भी बाँटेगा। मान लीजिए $a=11k$। तब

$$121k^2=11b^2$$

$$b^2=11k^2$$

यानी $b$ भी 11 से विभाजित है। अब $a$ और $b$ दोनों में 11 उभयनिष्ठ निकला, जबकि हमने इन्हें सह-अभाज्य माना था।

यह विरोध है, इसलिए $\sqrt{11}$ अपरिमेय है।

D. आवर्ती दशमलव का भिन्न रूप

मान लीजिए $x=0.123123\ldots$। तीन अंक दोहरा रहे हैं, इसलिए 1000 से गुणा कीजिए:

$$1000x=123.123123\ldots$$

इसमें से पहला समीकरण घटाने पर,

$$1000x-x=123$$

$$999x=123$$

$$x=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$$

123 और 999 दोनों 3 से बँटते हैं, इसलिए सरलतम भिन्न $\frac{41}{333}$ है।

अब अपने दोनों हल इनसे मिलाइए। ग़लती हुई हो, तो देखिए कि वह गणना में थी या तरीका चुनने में। बाकी दो प्रश्न बाद में हल कीजिए।