अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

सांख्यिकी: पूरे अध्याय का सार

1. पहले सारणी पहचानिए

साधारण सूची, बारंबारता सारणी और संचयी बारंबारता सारणी, तीनों अलग हैं। संचयी सारणी मिले तो लगातार दो संख्याओं का अंतर लेकर साधारण बारंबारता निकालिए। आख़िरी कम-से संचयी संख्या ही कुल $n$ है, सारी संचयी संख्याएँ जोड़कर $n$ नहीं बनता।

वर्ग-चिह्न $x_i$ दोनों सीमाओं का औसत है। चौड़ाई $h$ ऊपरी सीमा में से निम्न सीमा घटाकर मिलती है। कुल प्रेक्षण $n=\sum f_i$ हैं।

2. माध्य की तीन विधियाँ

प्रत्यक्ष विधि:

$$\bar x=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$$

कल्पित माध्य विधि, जहाँ $d_i=x_i-a$:

$$\bar x=a+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$$

पद-विचलन विधि, जहाँ $u_i=(x_i-a)/h$:

$$\bar x=a+h\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}$$

तीनों विधियों से माध्य एक ही आता है। ऋणात्मक विचलनों का चिह्न बनाए रखिए और पद-विचलन में अंत में $h$ से गुणा करना मत भूलिए। अज्ञात बारंबारता हो तो उसे कुल बारंबारता और गुणनफलों के योग, दोनों में रखिए।

3. साधारण सूची की माध्यिका और बहुलक

आँकड़े आरोही क्रम में लिखिए। $n$ विषम हो तो $(n+1)/2$वें पद का मान माध्यिका है। $n$ सम हो तो $n/2$वें और $(n/2+1)$वें पदों का औसत लीजिए। स्थान और उस स्थान पर लिखा मान अलग चीज़ें हैं।

सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान बहुलक है। ज़रूरी नहीं कि वह सबसे बड़ा मान हो, और एक से ज़्यादा बहुलक भी हो सकते हैं।

4. वर्गीकृत आँकड़ों की माध्यिका

संचयी बारंबारता बनाकर देखिए कि $n/2$वाँ स्थान किस वर्ग में है। वही माध्यिका वर्ग है।

$$M=l+\frac{n/2-cf}{f}\times h$$

$l$ उसी वर्ग की निम्न सीमा है, $f$ उसकी बारंबारता, $cf$ उससे पहले तक की संचयी बारंबारता और $h$ चौड़ाई। जैसे $n=40$, $l=20$, $cf=14$, $f=12$ और $h=10$ हों, तो $M=20+(6/12)10=25$।

5. वर्गीकृत आँकड़ों का बहुलक

बराबर चौड़ाई वाले वर्गों में सबसे ज़्यादा बारंबारता वाला वर्ग बहुलक वर्ग है।

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\times h$$

$f_1$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है, $f_0$ उससे पहले वाले वर्ग की और $f_2$ बाद वाले वर्ग की। ये संचयी संख्याएँ नहीं हैं। सबसे ज़्यादा बारंबारता या वर्ग के मध्य बिंदु को सीधे बहुलक मत लिख दीजिए।

6. सीमाएँ और अनुभवजन्य संबंध

पूर्णांक आँकड़ों के समावेशी वर्ग 1–10, 11–20 को सतत रूप 0.5–10.5, 10.5–20.5 में बदलिए। बारंबारताएँ वही रहती हैं। जो वर्ग पहले से सतत हैं, उन्हें दोबारा मत बदलिए।

$$Z\approx3M-2\bar x$$

$$M\approx\frac{Z+2\bar x}{3}$$

$$\bar x\approx\frac{3M-Z}{2}$$

ये संबंध अनुमान देते हैं, हर सूची पर लागू होने वाला पक्का नियम नहीं। प्रश्न में इनका प्रयोग करने को कहा हो, तभी इनसे तीसरा माप निकालिए।

7. ओजाइव और अंत की जाँच

कम-से ओजाइव में ऊपरी सीमाएँ और कम-से संचयी संख्याएँ लेते हैं। अधिक-से ओजाइव में निम्न सीमाएँ और अधिक-से संख्याएँ। किसी भी एक सीमा पर दोनों संख्याओं का योग $n$ होता है।

एक ओजाइव से माध्यिका पढ़नी हो तो ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $n/2$ से क्षैतिज रेखा खींचिए और आलेख से नीचे लंब डालिए। दो ओजाइव हों तो उनके प्रतिच्छेद का क्षैतिज निर्देशांक माध्यिका है। अक्षों का नाम और पैमाना ज़रूर लिखिए।

उत्तर लिखने से पहले सारणी के योग और सूत्र में रखे मान एक बार देख लीजिए। माध्यिका अपने माध्यिका वर्ग में और बहुलक अपने बहुलक वर्ग में ही आना चाहिए। दशमलव में गोल सिर्फ़ अंतिम उत्तर को कीजिए, और प्रश्न में इकाई दी हो तो उत्तर के साथ लिखिए।