सांख्यिकी: समझें और अभ्यास करें

सांख्यिकी

आँकड़ों से एक काम की संख्या तक

मान लीजिए आपकी कक्षा के 30 विद्यार्थियों के गणित के अंक आपके सामने रखे हैं। पूरी सूची देखकर कुछ साफ़ समझ नहीं आता। कभी हमें जानना होता है कि कक्षा का औसत कितना रहा, कभी यह कि बीच वाले विद्यार्थी को कितने अंक मिले, और कभी यह कि सबसे ज़्यादा बच्चों के कितने अंक आए। इन्हीं तीन सवालों का जवाब माध्य, माध्यिका और बहुलक देते हैं। तीनों को केंद्रीय प्रवृत्ति के माप कहते हैं, पर तीनों का अर्थ और निकालने का तरीका अलग है।

एक छोटी सूची 8, 10, 10, 12, 15 लीजिए। इसका योग 55 है और प्रेक्षण पाँच हैं, तो माध्य 11 हुआ। क्रम से लिखी इस सूची में बीच का मान 10 है, यही माध्यिका है। 10 दो बार आया है, इसलिए बहुलक भी 10 है। ध्यान दीजिए, माध्य 11 सूची में कहीं नहीं है, फिर भी उत्तर बिलकुल सही है। माध्य का सूची में होना ज़रूरी नहीं।

1. सूची, बारंबारता और वर्ग

सूची के हर एक मान को प्रेक्षण कहते हैं। कोई मान जितनी बार आता है, वह उसकी बारंबारता है। जैसे 4, 4, 6, 6, 6 में 4 की बारंबारता 2 है और 6 की बारंबारता 3। कुल प्रेक्षण $n=2+3=5$ हैं, जबकि अलग-अलग मान सिर्फ़ दो हैं।

जब आँकड़े बहुत ज़्यादा हों, तो उन्हें 0–10, 10–20 जैसे वर्गों में बाँट देते हैं। ऐसे सतत वर्गों में 10 को दूसरे वर्ग में गिना जाता है, यानी पहला वर्ग 0 से शुरू होकर 10 से कम तक जाता है। इस तरह कोई मान दो वर्गों में नहीं गिना जाता। वर्ग की ऊपरी सीमा में से निम्न सीमा घटाने पर उसकी चौड़ाई $h$ मिलती है।

वर्ग के बीच वाले मान को वर्ग-चिह्न या मध्य बिंदु कहते हैं:

$$x_i=\frac{\text{निम्न सीमा}+\text{ऊपरी सीमा}}2$$

वर्ग 20–30 का मध्य बिंदु 25 है और चौड़ाई 10। इन दोनों को आपस में मत मिलाइए। माध्य निकालने में वर्ग-चिह्न लगता है, जबकि माध्यिका और बहुलक के सूत्र में उस वर्ग की निम्न सीमा लगती है। सारणी बनाते समय हर स्तंभ का नाम साफ़ लिखिए, तो यह गलती नहीं होगी।

2. माध्य कैसे निकालें

साधारण सूची में सारे प्रेक्षण जोड़कर उनकी संख्या से भाग दे दीजिए:

$$\bar x=\frac{\text{सभी प्रेक्षणों का योग}}{\text{प्रेक्षणों की संख्या}}$$

बारंबारता सारणी में एक ही मान कई बार आता है, इसलिए उसका योगदान $f_ix_i$ होता है। सारी बारंबारताएँ जोड़ने पर कुल प्रेक्षण मिलते हैं:

$$n=\sum f_i$$

$$\bar x=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}$$

$\sum$ का मतलब है उस स्तंभ की सारी संख्याएँ जोड़ना। मान लीजिए मान 5 और 10 की बारंबारताएँ 3 और 2 हैं। तब योग $3\times5+2\times10=35$ और माध्य $35/5=7$ होगा। यहाँ सीधे $(5+10)/2$ कर देना गलत है, क्योंकि दोनों मान बराबर बार नहीं आए हैं।

वर्गीकृत सारणी में हर वर्ग की जगह उसका मध्य बिंदु लिया जाता है। इसलिए जो माध्य मिलता है, वह असली आँकड़ों के माध्य का एक अनुमान होता है। तरीका वही रहता है: वर्ग-चिह्न लिखिए, बारंबारता से गुणा कीजिए, दोनों स्तंभों का योग निकालिए और भाग दीजिए। बीच के उत्तरों को गोल मत कीजिए, दशमलव में सिर्फ़ अंतिम उत्तर को गोल कीजिए।

3. कल्पित माध्य विधि

जब मध्य बिंदु बड़े हों, तो सीधा गुणा करने में समय लगता है। तब किसी सुविधाजनक मध्य बिंदु को, आम तौर पर बीच वाले को, कल्पित माध्य $a$ मान लीजिए। यह असली माध्य का अंदाज़ा लगाना नहीं है, सिर्फ़ गणना छोटी करने का तरीका है। आप कोई दूसरा $a$ चुनें, तब भी अंतिम उत्तर वही आएगा।

हर वर्ग-चिह्न में से $a$ घटाकर विचलन निकालिए:

$$d_i=x_i-a$$

फिर $f_id_i$ का स्तंभ बनाइए और यह सूत्र लगाइए:

$$\bar x=a+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}$$

$a$ से छोटे मध्य बिंदुओं के विचलन ऋणात्मक आएँगे। उन्हें धनात्मक मानकर जोड़ देना आम गलती है। जैसे $a=30$ हो, कुल बारंबारता 10 हो और गुणनफलों का योग −20 हो, तो माध्य $30-20/10=28$ होगा। ऋणात्मक सुधार का मतलब है कि असली माध्य आपके चुने हुए 30 से थोड़ा कम है।

परीक्षा में सिर्फ़ सूत्र और उत्तर मत लिखिए। $x_i$, $d_i$ और $f_id_i$ की पूरी सारणी दिखाइए और आख़िरी पंक्ति में $\sum f_i$ और $\sum f_id_i$ ज़रूर लिखिए, क्योंकि यही संख्याएँ सूत्र में लगेंगी।

4. पद-विचलन विधि

जब सारे वर्ग बराबर चौड़ाई के हों, तो विचलन अक्सर 10, 20 जैसी किसी संख्या के गुणज होते हैं। इन्हें उस चौड़ाई $h$ से भाग देकर और छोटा कर लीजिए। इन छोटी संख्याओं को पद-विचलन कहते हैं:

$$u_i=\frac{x_i-a}{h}$$

$$\bar x=a+h\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}$$

मान लीजिए मध्य बिंदु 15, 25, 35, 45, 55 हैं। $a=35$ और $h=10$ लेने पर $u_i$ के मान $-2,-1,0,1,2$ बनते हैं, जिनसे गुणा बहुत आसान है। पहले $f_iu_i$ का योग निकालिए, उसे कुल बारंबारता से भाग दीजिए, फिर $h$ से गुणा करके $a$ में जोड़ दीजिए।

सबसे ज़्यादा गलती यहीं होती है कि अंत में $h$ से गुणा करना छूट जाता है। विचलन को पहले $h$ से भाग देकर छोटा किया था, इसलिए अंत में $h$ से गुणा करके उसे असली माप में वापस लाना पड़ता है।

प्रत्यक्ष, कल्पित माध्य और पद-विचलन, तीनों विधियाँ एक ही माध्य देती हैं। जो आसान लगे, वह अपनाइए, पर प्रश्न में विधि बताई गई हो तो वही दिखाइए।

5. अज्ञात बारंबारता वाले प्रश्न

इन प्रश्नों में माध्य दिया रहता है और किसी एक वर्ग की बारंबारता गायब होती है। अज्ञात बारंबारता को $p$ या $f$ मान लीजिए और माध्य का सामान्य सूत्र लगाइए। ध्यान रहे, यह अज्ञात दोनों जगह आएगा: कुल बारंबारता में भी और गुणनफलों के योग में भी।

जैसे मान 10, 20, 30 की बारंबारताएँ 2, $p$, 3 हों, तो

$$\sum f_i=5+p$$

$$\sum f_ix_i=110+20p$$

अब दिए गए माध्य को इस भिन्न के बराबर रखकर समीकरण बनाइए। पहले दोनों ओर हर से गुणा कीजिए, फिर $p$ वाले पद एक ओर और संख्याएँ दूसरी ओर लाइए। उत्तर मिलने के बाद उसे सारणी में रखकर माध्य दोबारा निकाल लीजिए, कोई गलती होगी तो तुरंत पकड़ में आ जाएगी।

बारंबारता विद्यार्थियों, परिवारों या वस्तुओं की गिनती होती है, इसलिए वह ऋणात्मक या भिन्न में नहीं आ सकती। ऐसा उत्तर आए तो अपनी गणना फिर से जाँचिए।

6. माध्यिका: बीच का मान

माध्यिका क्रम से लगाए गए आँकड़ों का बीच वाला मान है। इसलिए सबसे पहले सूची को आरोही क्रम में लिखिए। सूची जैसी दी है, वैसी ही रखकर बीच का मान उठा लेंगे तो उत्तर गलत होगा।

अगर $n$ विषम है, तो माध्यिका $\frac{n+1}{2}$वें पद का मान है। अगर $n$ सम है, तो $\frac n2$वें और $(\frac n2+1)$वें पदों का औसत लीजिए। जैसे 2, 5, 8, 11 की माध्यिका $(5+8)/2=6.5$ है।

स्थान और मान अलग-अलग हैं। नौ प्रेक्षण हों तो माध्यिका पाँचवें स्थान पर होगी, पर माध्यिका उस स्थान पर लिखी संख्या है, 5 नहीं। माध्यिका के लिए पूरी सूची का योग भी नहीं चाहिए।

माध्य और माध्यिका का एक बड़ा फ़र्क़ भी समझ लीजिए। 2, 3, 4, 5, 100 में माध्य 22.8 है, पर माध्यिका 4 है। अकेला बड़ा मान 100 माध्य को ऊपर खींच लेता है, जबकि बीच का मान वही रहने से माध्यिका पर कोई असर नहीं पड़ता। इसीलिए हर स्थिति में एक ही माप सबसे अच्छा नहीं होता।

7. संचयी बारंबारता और माध्यिका वर्ग

पहले वर्ग की बारंबारता लिखिए, फिर उसमें अगले वर्ग की बारंबारता जोड़ते जाइए। इस तरह कम-से संचयी बारंबारता बनती है। जैसे बारंबारताएँ 3, 5, 8, 4 हों, तो संचयी बारंबारताएँ 3, 8, 16, 20 होंगी। आख़िरी संचयी संख्या ही कुल प्रेक्षण $n=20$ है।

वर्गीकृत आँकड़ों में पहले $n/2$ निकालिए, फिर देखिए कि यह स्थान किस वर्ग में आता है। ऊपर के उदाहरण में $n/2=10$ है। पहले दो वर्गों में 8 प्रेक्षण हैं और तीसरे वर्ग तक 16, यानी दसवाँ प्रेक्षण तीसरे वर्ग में है। यही माध्यिका वर्ग है। अब यह सूत्र लगाइए:

$$M=l+\frac{n/2-cf}{f}\times h$$

यहाँ $l$ माध्यिका वर्ग की निम्न सीमा है, $f$ उसी वर्ग की बारंबारता है, $cf$ उससे पहले वाले वर्ग तक की संचयी बारंबारता है और $h$ वर्ग की चौड़ाई है। $cf$ में माध्यिका वर्ग की अपनी बारंबारता नहीं जुड़ती। सबसे ज़्यादा गलती यहीं होती है।

साधारण सूची वाला $(n+1)/2$ का नियम यहाँ मत लगाइए। वर्गीकृत आँकड़ों में हमेशा $n/2$ ही लिया जाता है।

8. समावेशी वर्गों को सतत बनाना

पूर्णांक आँकड़ों में अक्सर 1–10, 11–20, 21–30 जैसे वर्ग मिलते हैं। इन्हें समावेशी वर्ग कहते हैं। इनमें एक वर्ग 10 पर खत्म होता है और अगला 11 से शुरू होता है, यानी बीच में थोड़ी खाली जगह छूट जाती है। माध्यिका, बहुलक और ओजाइव के लिए इन्हें सतत बनाना पड़ता है। इसके लिए पड़ोसी वर्गों की सीमाओं का अंतर देखिए: $11-10=1$। इसका आधा, यानी 0.5, हर निम्न सीमा में से घटाइए और हर ऊपरी सीमा में जोड़िए।

अब वर्ग 0.5–10.5, 10.5–20.5, 20.5–30.5 बन जाएँगे। बारंबारता नहीं बदलती और मध्य बिंदु भी वही रहता है, पर सूत्र में लगने वाली निम्न सीमा बदल जाती है। इसीलिए माध्यिका निकालते समय 21 की जगह 20.5 लेना पड़ता है।

हर प्रश्न में आँख मूँदकर 0.5 मत जोड़िए-घटाइए। पहले देखिए कि वर्ग समावेशी हैं या पहले से सतत। 10–20, 20–30 जैसी सारणी पहले से सतत है, उसे बदलने की ज़रूरत नहीं।

9. बहुलक

साधारण सूची में हर मान कितनी बार आया, यह गिनिए। जो मान सबसे ज़्यादा बार आए, वही बहुलक है। अगर दो मान बराबर बार और सबसे ज़्यादा बार आएँ, तो दोनों बहुलक हैं, यानी हर सूची में एक ही बहुलक हो, यह ज़रूरी नहीं। सबसे बड़ी संख्या को बहुलक मान लेना गलत है।

बराबर चौड़ाई वाले वर्गीकृत आँकड़ों में जिस वर्ग की बारंबारता सबसे ज़्यादा हो, वह बहुलक वर्ग है। उस वर्ग के अंदर बहुलक का मान इस सूत्र से निकालते हैं:

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\times h$$

यहाँ $l$ बहुलक वर्ग की निम्न सीमा है और $h$ उसकी चौड़ाई। $f_1$ बहुलक वर्ग की बारंबारता है, $f_0$ उससे ठीक पहले वाले वर्ग की और $f_2$ ठीक बाद वाले वर्ग की। इस सूत्र में संचयी बारंबारता नहीं लगती।

बारंबारता का आयत-चित्र बनाइए तो सबसे ऊँचा आयत बहुलक वर्ग को दिखाता है। पर उस वर्ग का मध्य बिंदु अपने-आप बहुलक नहीं बन जाता। बहुलक वर्ग के अंदर कहाँ होगा, यह दोनों पड़ोसी वर्गों की बारंबारताओं से तय होता है, और यही काम ऊपर वाला सूत्र करता है।

10. माध्य, माध्यिका और बहुलक का संबंध

बहुत से वितरणों में इन तीनों के बीच यह अनुभवजन्य संबंध लगभग सही बैठता है:

$$Z\approx3M-2\bar x$$

इसी को उलटकर बाकी दोनों भी लिख सकते हैं:

$$M\approx\frac{Z+2\bar x}{3}$$

$$\bar x\approx\frac{3M-Z}{2}$$

परीक्षा में अक्सर दो माप देकर तीसरा पूछा जाता है और कहा जाता है कि इसी संबंध का प्रयोग कीजिए। वहाँ सीधे इसमें मान रखिए। पर याद रखिए कि यह एक अनुमान है, हर सूची पर लागू होने वाला पक्का नियम नहीं। अगर पूरे आँकड़े दिए हों, तो माध्यिका और बहुलक उनके अपने तरीके से ही निकालिए।

तीनों का आधार अलग है: माध्य सारे मानों को लेकर चलता है, माध्यिका बीच के स्थान को और बहुलक सबसे ज़्यादा बार आने वाले मान को। जिस सममित वितरण में एक ही बहुलक हो, उसमें तीनों एक ही जगह आ जाते हैं।

11. कम-से और अधिक-से सारणी

कम-से सारणी बताती है कि किसी सीमा से नीचे कितने प्रेक्षण हैं। जैसे 10 से कम अंक वाले 2, 20 से कम वाले 7 और 30 से कम वाले 15 विद्यार्थी हों, तो 10–20 वर्ग में $7-2=5$ और 20–30 वर्ग में $15-7=8$ विद्यार्थी हैं। संचयी सारणी को साधारण बारंबारता समझकर सीधे माध्य के सूत्र में मत डालिए। पहले इसी तरह घटाकर बारंबारता निकालिए।

अधिक-से सारणी बताती है कि किसी सीमा पर या उससे ऊपर कितने प्रेक्षण हैं। जैसे-जैसे सीमा बढ़ती है, ये संख्याएँ घटती जाती हैं। कुल 20 विद्यार्थियों में से 20 से कम अंक वाले 7 हों, तो 20 या उससे ज़्यादा अंक वाले $20-7=13$ होंगे। अधिक-से ओजाइव इन्हीं संख्याओं से बनता है।

किसी भी एक सीमा पर कम-से और अधिक-से संख्याओं का योग कुल $n$ होता है। सबसे छोटी सीमा पर कम-से संख्या 0 और अधिक-से संख्या $n$ होती है, और सबसे बड़ी सीमा पर इसका ठीक उलटा। आलेख बनाते समय इन दोनों सिरों को देखकर गलती जल्दी पकड़ में आ जाती है।

12. ओजाइव बनाना और माध्यिका पढ़ना

क्षैतिज अक्ष पर वर्ग-सीमाएँ और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संचयी बारंबारता लीजिए। दोनों अक्षों का नाम लिखिए और बराबर अंतर वाला पैमाना चुनिए। दोनों अक्षों के पैमाने अलग हो सकते हैं, पर एक ही अक्ष पर पैमाना बीच में मत बदलिए।

कम-से ओजाइव: हर वर्ग की ऊपरी सीमा के सामने उसकी कम-से संख्या अंकित कीजिए। शुरू में सबसे छोटी निम्न सीमा पर 0 का बिंदु भी लगाइए। यह आलेख ऊपर की ओर चढ़ता है।

अधिक-से ओजाइव: हर वर्ग की निम्न सीमा के सामने उसकी अधिक-से संख्या अंकित कीजिए और अंतिम ऊपरी सीमा पर 0 रखिए। यह आलेख नीचे की ओर उतरता है। नीचे के चित्र में Marks का मतलब अंक और Cumulative frequency का मतलब संचयी बारंबारता है।

एक ओजाइव से माध्यिका पढ़नी हो तो ऊर्ध्वाधर अक्ष पर $n/2$ से एक क्षैतिज रेखा खींचिए। वह आलेख से जहाँ मिले, वहाँ से क्षैतिज अक्ष पर लंब डालिए। दोनों ओजाइव एक ही आलेख पर बने हों, तो वे जहाँ एक-दूसरे को काटते हैं, उस बिंदु का क्षैतिज निर्देशांक माध्यिका है।

हाथ से बने आलेख से उत्तर अंदाज़े से ही पढ़ा जाता है, पर वह सूत्र वाले उत्तर के आस-पास होना चाहिए। ज़्यादा अंतर दिखे तो संचयी सारणी और पैमाना दोबारा देखिए। लिखित उत्तर में संचयी सारणी और अंकित बिंदु भी ज़रूर दिखाइए।

साधारण माध्य

पाँच विद्यार्थियों के अंक 4, 7, 9, 10 और 15 हैं। औसत अंक निकालिए।

हल:

सारे अंक जोड़कर विद्यार्थियों की संख्या से भाग देंगे।

$$\bar x=\frac{4+7+9+10+15}{5}=\frac{45}{5}=9$$

तो औसत अंक 9 हैं।

विषम और सम संख्या में माध्यिका

(क) 13, 5, 9, 7, 11 तथा (ख) 2, 10, 4, 8, 6, 12 की माध्यिका निकालिए।

हल:

(क) पहले आरोही क्रम में लिखते हैं: 5, 7, 9, 11, 13। यहाँ $n=5$ है, जो विषम है।

$$\frac{n+1}{2}=\frac{6}{2}=3$$

यानी तीसरा पद माध्यिका है। तीसरा पद 9 है, तो माध्यिका 9 है।

(ख) आरोही क्रम: 2, 4, 6, 8, 10, 12। यहाँ $n=6$ है, जो सम है, इसलिए बीच के दो पद, तीसरा और चौथा, लेंगे।

$$\text{माध्यिका}=\frac{6+8}{2}=7$$

तो माध्यिका 7 है। देखिए, 7 इस सूची में है ही नहीं, फिर भी माध्यिका यही है।

बहुलक पहचानना

आँकड़े 3, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 7 का बहुलक निकालिए।

हल:

हर मान कितनी बार आया, इसकी सारणी बना लेते हैं:

5 तीन बार आया है, जो सबसे ज़्यादा है। इसलिए बहुलक 5 है। सबसे बड़ा मान 7 है, पर वह सिर्फ़ एक बार आया है, इसलिए वह बहुलक नहीं है।

वर्गीकृत आँकड़ों का प्रत्यक्ष माध्य

निम्न वितरण का माध्य प्रत्यक्ष विधि से निकालिए।

हल:

हर वर्ग का मध्य बिंदु $x_i$ लिखकर उसे बारंबारता से गुणा करते हैं। जैसे 0–10 का मध्य बिंदु $(0+10)/2=5$ है।

$$\bar x=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}=\frac{470}{20}=23.5$$

तो वर्गीकृत वितरण का माध्य 23.5 है।

कल्पित माध्य विधि

वर्ग 10–20, 20–30, 30–40, 40–50, 50–60 की बारंबारताएँ क्रमशः 4, 6, 10, 8, 2 हैं। कल्पित माध्य विधि से माध्य निकालिए।

हल:

बीच वाले वर्ग का मध्य बिंदु 35 है, इसलिए कल्पित माध्य $a=35$ लेते हैं। हर मध्य बिंदु में से 35 घटाकर $d_i=x_i-a$ निकालेंगे।

$$\bar x=a+\frac{\sum f_id_i}{\sum f_i}=35+\frac{-20}{30}$$

$$\bar x=35-\frac23=\frac{103}{3}\approx34.33$$

तो माध्य लगभग 34.33 है। $\sum f_id_i$ ऋणात्मक आया, इसलिए माध्य 35 से थोड़ा कम निकला।

पद-विचलन से छोटी गणना

वर्ग 100–120, 120–140, 140–160, 160–180, 180–200 की बारंबारताएँ 3, 5, 9, 7, 6 हैं। माध्य निकालिए।

हल:

सभी वर्गों की चौड़ाई $h=20$ है। $a=150$ लेकर $u_i=(x_i-a)/20$ बनाते हैं।

$$\bar x=a+h\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}=150+20\times\frac8{30}$$

$$\bar x=\frac{466}{3}\approx155.33$$

तो माध्य लगभग 155.33 है। $u_i$ बनाते समय 20 से भाग दिया था, इसलिए सूत्र में 20 से गुणा करना ज़रूरी था।

माध्य से अज्ञात बारंबारता

मान 10, 20, 30 की बारंबारताएँ 3, p, 5 हैं। माध्य 22 है। p निकालिए।

हल:

कुल बारंबारता $3+p+5=8+p$ है और गुणनफलों का योग $10\times3+20p+30\times5=180+20p$ है। इन्हें माध्य के सूत्र में रखते हैं:

$$22=\frac{180+20p}{8+p}$$

$$176+22p=180+20p$$

$$2p=4\Rightarrow p=2$$

तो अज्ञात बारंबारता 2 है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: $p=2$ रखने पर कुल बारंबारता 10 और योग 220 होता है, और $220/10=22$।

माध्यिका वर्ग से माध्यिका

इस वितरण की माध्यिका निकालिए।

हल:

पहले संचयी बारंबारता का स्तंभ बनाते हैं।

यहाँ $n=20$ है, तो $n/2=10$। संचयी बारंबारता 7 के बाद सीधे 15 हो जाती है, यानी दसवाँ प्रेक्षण 20–30 वर्ग में है। यही माध्यिका वर्ग है।

अब $l=20$, $cf=7$, $f=8$ और $h=10$। ध्यान दीजिए कि $cf$ माध्यिका वर्ग से पहले तक की संचयी बारंबारता है, 15 नहीं।

$$M=l+\frac{n/2-cf}{f}\times h$$

$$M=20+\frac{10-7}{8}\times10=20+3.75=23.75$$

तो माध्यिका 23.75 है।

समावेशी वर्गों को सतत करना

पूर्णांक प्राप्तांकों के वर्ग 1–10, 11–20, 21–30, 31–40 हैं। बारंबारताएँ 3, 5, 8, 4 हैं। माध्यिका निकालिए।

हल:

ये वर्ग समावेशी हैं। एक वर्ग की ऊपरी सीमा और अगले वर्ग की निम्न सीमा में $11-10=1$ का अंतर है। इसका आधा $0.5$ हर निम्न सीमा में से घटाएँगे और हर ऊपरी सीमा में जोड़ेंगे।

यहाँ $n/2=10$ है और दसवाँ प्रेक्षण 20.5–30.5 वर्ग में आता है। इसलिए $l=20.5$, $cf=8$, $f=8$ और $h=10$।

$$M=20.5+\frac{10-8}{8}\times10=20.5+2.5=23$$

तो माध्यिका 23 है। अगर निम्न सीमा 21 ले लेते, तो उत्तर गलत आता।

बहुलक वर्ग और बहुलक

वर्ग 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 की बारंबारताएँ क्रमशः 4, 8, 12, 9, 7 हैं। बहुलक निकालिए।

हल:

सारे वर्ग बराबर चौड़ाई के हैं और सबसे ज़्यादा बारंबारता 12 है, इसलिए बहुलक वर्ग 20–30 है। चित्र में क्षैतिज अक्ष पर वर्ग-सीमाएँ और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बारंबारता है।

अब $l=20$, $h=10$, $f_1=12$, $f_0=8$ और $f_2=9$।

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\times h$$

$$Z=20+\frac{12-8}{24-8-9}\times10$$

$$Z=20+\frac{40}{7}=\frac{180}{7}\approx25.71$$

तो बहुलक लगभग 25.71 है। याद रखिए, 12 बारंबारता है, बहुलक का मान नहीं।

कम-से सारणी को सामान्य सारणी में बदलना

10, 20, 30, 40, 50 से कम अंक पाने वालों की संख्याएँ क्रमशः 3, 8, 20, 28, 30 हैं। किसी के अंक 0 से कम नहीं हैं। माध्यिका निकालिए।

हल:

ये संख्याएँ संचयी बारंबारताएँ हैं। हर वर्ग की बारंबारता पाने के लिए लगातार दो संचयी संख्याओं का अंतर लेंगे।

कुल $n=30$ है, जो आख़िरी संचयी संख्या है। सारी संचयी संख्याएँ जोड़कर $n$ नहीं निकाला जाता। अब $n/2=15$ है और 15वाँ प्रेक्षण 20–30 वर्ग में आता है।

$$M=20+\frac{15-8}{12}\times10=20+\frac{35}{6}$$

$$M=\frac{155}{6}\approx25.83$$

तो माध्यिका लगभग 25.83 अंक है।

अनुभवजन्य संबंध

एक वितरण का माध्य 20 और माध्यिका 22 है। अनुभवजन्य संबंध से बहुलक का अनुमान लगाइए।

हल:

अनुभवजन्य संबंध में मान रखते हैं:

$$Z\approx3M-2\bar x$$

$$Z\approx3\times22-2\times20=66-40=26$$

तो अनुमानित बहुलक 26 है। यह संबंध अनुमान ही देता है, इसीलिए उत्तर के साथ "अनुमानित" लिखा है।

कम-से ओजाइव पढ़ना

दिए वितरण का कम-से ओजाइव बनाकर माध्यिका पढ़िए।

हल:

पहले कम-से संचयी सारणी बनाते हैं, जिसमें सीमा 0 पर संख्या 0 रहती है।

क्षैतिज अक्ष पर अंक और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संचयी बारंबारता लीजिए। बिंदु $(0,0)$, $(10,2)$, $(20,7)$, $(30,15)$, $(40,19)$ और $(50,20)$ अंकित करके उन्हें क्रम से जोड़िए।

चित्र में Marks का अर्थ अंक है और Cumulative frequency का अर्थ संचयी बारंबारता। कुल संख्या 20 है, इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष पर 10 से क्षैतिज रेखा खींचकर ओजाइव तक जाइए और वहाँ से नीचे लंब डालिए।

यह लंब 20 और 30 के बीच गिरता है। इस रेखाखंड पर समानुपात से सटीक मान निकालें तो:

$$M=20+\frac{10-7}{15-7}(30-20)=23.75$$

तो आलेख से माध्यिका लगभग 23.75 है। हाथ से बने आलेख में थोड़ा-बहुत अंतर आ सकता है।

दो ओजाइव का प्रतिच्छेद

पिछले वितरण के कम-से और अधिक-से ओजाइव एक ही अक्ष पर बनाकर माध्यिका निकालिए।

हल:

अधिक-से संख्या निकालने के लिए कुल 20 में से उसी सीमा की कम-से संख्या घटाइए। जैसे 20 या उससे ज़्यादा अंक वाले $20-7=13$ विद्यार्थी हैं। दोनों सारणियों के बिंदु एक ही पैमाने पर अंकित कीजिए।

दोनों आलेख जहाँ एक-दूसरे को काटते हैं, वहाँ से क्षैतिज अक्ष पर लंब डालिए। उस बिंदु पर दोनों संचयी संख्याएँ 10 हैं और अंक लगभग 23.75।

तो माध्यिका लगभग 23.75 है। प्रतिच्छेद का ऊर्ध्वाधर निर्देशांक 10 सिर्फ़ विद्यार्थियों की संख्या है, उसे माध्यिका मत लिखिए।