पिछले प्रश्नपत्रों के प्रश्न और उनके हल

लिखित अभ्यास

ये प्रश्न पुराने बोर्ड प्रश्नपत्रों में पूछे जा चुके हैं। हर प्रश्न पहले खुद कॉपी पर हल कीजिए, फिर नीचे दिए हल से मिलाइए। हल में ज़रूरी स्तंभ और उनके योग ज़रूर दिखाइए।

माध्य से छूटी बारंबारता

इस वितरण का माध्य 18 है। अज्ञात बारंबारता $f$ ज्ञात कीजिए।

हल:

हर वर्ग का मध्य बिंदु लिखकर उसे बारंबारता से गुणा करते हैं।

ज्ञात बारंबारताओं का योग 44 है, इसलिए कुल बारंबारता $44+f$ हुई। इसी तरह गुणनफलों का योग $752+20f$ है।

$$18=\frac{752+20f}{44+f}$$

$$792+18f=752+20f$$

$$40=2f\Rightarrow f=20$$

तो अज्ञात बारंबारता 20 है। उत्तर सही है या नहीं, यह देख लेते हैं: कुल संख्या $44+20=64$ और योग $752+400=1152$ हुआ, और $1152/64=18$।

असतत सारणी का माध्य

निम्न आँकड़ों का माध्य निकालिए।

हल:

$$\bar x=\frac{\sum f_ix_i}{\sum f_i}=\frac{322}{40}=8.05$$

तो माध्य 8.05 है। ध्यान दीजिए, भाग कुल बारंबारता 40 से दिया है, मानों की संख्या 5 से नहीं।

बहुलक वर्ग से पूरा हल

इस वितरण का बहुलक ज्ञात कीजिए।

हल:

सबसे ज़्यादा बारंबारता 155 है, इसलिए बहुलक वर्ग 95–100 है। चित्र में क्षैतिज अक्ष पर वर्ग-सीमाएँ और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर बारंबारता दिखाई गई है।

अब $l=95$, $h=5$, $f_1=155$, $f_0=85$ और $f_2=110$।

$$Z=l+\frac{f_1-f_0}{2f_1-f_0-f_2}\times h$$

$$Z=95+\frac{155-85}{310-85-110}\times5$$

$$Z=95+\frac{350}{115}=95+\frac{70}{23}\approx98.04$$

तो बहुलक लगभग 98.04 है। यह मान बहुलक वर्ग 95–100 के अंदर ही है, इसलिए उत्तर ठीक बैठता है।

छोटे पद-विचलन से माध्य

इस वितरण का माध्य निकालिए।

हल:

बीच वाले वर्ग का मध्य बिंदु $a=18$ लेते हैं। चौड़ाई $h=2$ है, तो $u_i=(x_i-18)/2$ होगा।

$$\sum f_i=64$$

$$\sum f_iu_i=-21-12-9+0+20+10+12=0$$

$$\bar x=a+h\frac{\sum f_iu_i}{\sum f_i}=18+2\times\frac0{64}=18$$

तो माध्य 18 है। $\sum f_iu_i$ शून्य आया, इसलिए माध्य ठीक कल्पित माध्य के बराबर निकला। पहले प्रश्न में भी इसी वितरण का माध्य 18 ही दिया था।

प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का माध्य

प्रथम दस अभाज्य संख्याओं का समांतर माध्य ज्ञात कीजिए।

हल:

प्रथम दस अभाज्य संख्याएँ हैं: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29। ध्यान रहे, 1 अभाज्य संख्या नहीं है, इसलिए गिनती 2 से शुरू होती है।

$$\text{योग}=2+3+5+7+11+13+17+19+23+29=129$$

$$\bar x=\frac{129}{10}=12.9$$

तो समांतर माध्य 12.9 है।

संचयी सारणी से माध्यिका

निम्न प्राप्तांकों की माध्यिका निकालिए।

हल:

यह कम-से संचयी बारंबारता की सारणी है। अंक ऋणात्मक नहीं हो सकते, इसलिए पहला वर्ग 0–10 लेंगे। बाकी हर वर्ग की बारंबारता लगातार दो संचयी संख्याओं का अंतर है।

कुल $n=53$ है, तो $n/2=26.5$। 60 से कम अंक वाले 22 विद्यार्थी हैं और 70 से कम वाले 29, इसलिए 26.5वाँ स्थान 60–70 वर्ग में आता है। यही माध्यिका वर्ग है।

अब $l=60$, $cf=22$, $f=7$ और $h=10$।

$$M=l+\frac{n/2-cf}{f}\times h$$

$$M=60+\frac{26.5-22}{7}\times10$$

$$M=60+\frac{45}{7}=\frac{465}{7}\approx66.43$$

तो माध्यिका लगभग 66.43 अंक है।

चित्र में क्षैतिज अक्ष पर अंक और ऊर्ध्वाधर अक्ष पर संचयी संख्या है। 26.5 से खींची रेखा आलेख को 60 और 70 के बीच काटती है, और वहाँ से नीचे पढ़ा मान सूत्र वाले उत्तर से मेल खाता है।