अपनी तैयारी जाँचें: 25 प्रश्न

दोहराइए: पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन के सूत्र

1. पहले देखिए, क्या पूछा है

चादर, रंग या पालिश की बात हो, तो पृष्ठीय क्षेत्रफल चाहिए। अंदर की जगह या धातु की मात्रा पूछी हो, तो आयतन। क्षेत्रफल वर्ग इकाई में और आयतन घन इकाई में लिखिए। अलग निर्देश न हो, तो $\pi$ का मान $22/7$ लीजिए। उत्तर $\pi$ के रूप में माँगा हो, तो उसे वैसे ही रहने दीजिए।

2. घन और घनाभ

घन की भुजा $a$ हो, तो:

$$S_{\text{lateral}}=4a^2$$

$$S_{\text{total}}=6a^2$$

$$V=a^3$$

$$d=a\sqrt3$$

घनाभ की लंबाई $l$, चौड़ाई $b$ और ऊँचाई $h$ हो, तो:

$$S_{\text{lateral}}=2h(l+b)$$

$$S_{\text{total}}=2(lb+bh+hl)$$

$$V=lbh$$

$$d=\sqrt{l^2+b^2+h^2}$$

कमरे की चार दीवारें उसका पार्श्व पृष्ठ हैं। छत या फर्श भी माँगे हों, तो उन्हें अलग से जोड़िए।

3. बेलन और शंकु

बेलन का वक्र पृष्ठ $2\pi rh$ है, दोनों सिरों से बंद होने पर कुल पृष्ठ $2\pi r(h+r)$ है, और आयतन $\pi r^2h$। ऊपर से खुले बर्तन में केवल एक आधार जोड़िए।

शंकु में $h$ लंबवत ऊँचाई है और $l$ तिर्यक ऊँचाई:

$$l=\sqrt{r^2+h^2}$$

$$S_c=\pi rl$$

$$S=\pi r(l+r)$$

$$V=\frac13\pi r^2h$$

पृष्ठ के सूत्रों में $l$ लगता है और आयतन में $h$।

4. गोला और अर्धगोला

गोले का पृष्ठ $4\pi r^2$ और आयतन $4\pi r^3/3$ है।

अर्धगोले का वक्र पृष्ठ $2\pi r^2$, कुल पृष्ठ $3\pi r^2$ और आयतन $2\pi r^3/3$ है। कुल पृष्ठ में नीचे का समतल वृत्ताकार आधार भी गिना जाता है। व्यास दिया हो, तो आधा करके त्रिज्या लीजिए।

5. छिन्नक

$R$ बड़ी त्रिज्या, $r$ छोटी त्रिज्या और $h$ लंबवत ऊँचाई हो, तो:

$$l=\sqrt{h^2+(R-r)^2}$$

$$S_c=\pi(R+r)l$$

$$S=\pi(R+r)l+\pi R^2+\pi r^2$$

$$V=\frac13\pi h(R^2+r^2+Rr)$$

ऊपर से खुली बाल्टी में, जिसका ऊपरी सिरा बड़ा है, चादर का क्षेत्रफल $S_c+\pi r^2$ होता है। दोनों सिरों की परिधियाँ $C_1$ और $C_2$ दी हों, तो सीधे $S_c=(C_1+C_2)l/2$ लिखिए।

6. जोड़ना, खोखला करना और पिघलाना

ठोस जोड़ने पर आयतन जुड़ते हैं, पर जुड़ा हुआ आधार बाहरी क्षेत्रफल में नहीं गिना जाता। खोखला करने पर निकाला गया आयतन घटता है, पर अंदर खुली नई सतह क्षेत्रफल में जुड़ती है। समान त्रिज्या के दो अर्धगोले मिलकर एक गोला होते हैं। कैप्सूल में बेलन की लंबाई = कुल लंबाई − $2r$।

पिघलाकर नया ठोस बने और कुछ बर्बाद न हो, तो पुराना कुल आयतन = नया कुल आयतन। बराबर छोटे ठोसों की संख्या:

$$n=\frac{\text{बड़े ठोस का आयतन}}{\text{एक छोटे ठोस का आयतन}}$$

पृष्ठीय क्षेत्रफल बराबर रखना गलत होगा। कुएँ से निकली मिट्टी वाले सवाल भी आयतन बराबर रखकर ही हल होते हैं।

7. पाइप, अनुपात और इकाइयाँ

खोखले पाइप में धातु का आयतन $\pi(R^2-r^2)h$ है। भरे हुए पाइप से समय $t$ में निकला पानी = अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल × चाल × समय। इससे पहले सभी लंबाइयाँ और समय एक ही इकाई में बदल लीजिए।

गोलों की त्रिज्याएँ $m:n$ में हों, तो क्षेत्रफल $m^2:n^2$ और आयतन $m^3:n^3$ में होते हैं। बेलनों के लिए $V_1:V_2=r_1^2h_1:r_2^2h_2$ है।

$1$ घन सेमी $=1$ मिलीलीटर, $1000$ घन सेमी $=1$ लीटर और $1$ घन मीटर $=1000$ लीटर। अंतिम उत्तर के साथ सही इकाई लिखिए और सन्निकटन आख़िर में ही कीजिए।